二次函数与韦达定理习题无答案

二次函数与韦达定理

韦达定理即一元二次方程中根与系数的关系。

对于，若其两根为，则有；

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，

，

，

，

等等．韦达定理体现了整体思想．

类型1：交点间的距离

【例1】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．

（1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；

（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想．

【例2】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式．

【练】如图，抛物线C1：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物线C1沿y轴翻折得新抛物线C2，过点C作直线l交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N，若MN＝8，求直线l的解析式．

类型2：对称问题

【例3】如图，已知抛物线y＝x2－2x－3，直线y＝kx－1与抛物线交于P,Q两点，且y轴平分线段PQ，求k的值．

【练】如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3，过点D（0，－）的直线与抛物线交于点M,N，与x轴交于点E，且点M,N关于点E对称，求直线MN的解析式．

类型3：与面积结合

【例4】如图，抛物线y＝x2－4x＋5顶点为M，平移直线y＝x交抛物线于点H,K，若S△MHK＝3，求平移后直线的解析式．

类型4：与三角函数结合

【例5】抛物线过点P（1，－2） Q（－1，2）且与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点连AC、BC

（1）求a与c的关系式

（2）若（O为坐标原点），求抛物线解析式。

（3）是否存在满足条件tan∠CAB·tan∠BCO＝1的抛物线？若存在请求出抛物线的解析式；若不存在请说明理由。

【课后反馈】

1．如图，已知抛物线C：y＝x2－2x＋4和直线l：y＝－2x＋8，直线y＝kx（k＞0）与抛物线C交于A,B两点，与直线l交于点P，分别过A,B,P作x轴的垂线，垂足依次为A1、B1、P1，若＋＝，求u的值．

2．如图1，抛物线C1：y＝x2＋4x＋3顶点为M，抛物线C2与抛物线C1开口方向相反，形状相同，顶点为N，且M,N关于点P（0，2）对称．

（1）求抛物线C2的解析式；

（2）直线y＝m交抛物线C1于点A,B，交抛物线C2于点C,D，若AB＝2CD，求m的值；

3.已知：二次函数y=ax2+bx+c和函数y=-bx（a、b、c为常数且a≠0)，二次函数的图象开口向上，经过点p(1,0)与y轴交点在轴的下方。

（1）求证：a+b+c=0

（2）求证：二次函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=-bx的图象有两个不同的交点。
（3）设A(x1,y1),B(x2,y2)为(2)中的两个交点，d=、,求d与t之间的函数关系式；若a＞b＞c,求t的取值范围。
 

4.如图，函数y=px2+qx+r（其中p，q，r为常数）的图象分别与x轴，y轴交于A，B，C三点，D为抛物线的顶点，且∠ACB=90°，OA＞OB．
（1）试确定p，q，r的符号；
（2）求证：q2-4pr＞4；
（3）D点与经过A，B，C三点的圆的位置关系如何？请证明你的结论．

5.已知：抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)

(1)  若抛物线的顶点在第一象限，试确定b、c的符号；

(2)  若抛物线与x轴有两个交点，且两交点的横坐标是两个相邻的整数，求证：

(3)  在（2）的条件下，且，求抛物线的解析式。