二次函数学案无答案

题型一：二次函数与圆

【题型点拨】

1、抓住圆的概念，圆周角的性质定理以及直线与圆的位置关系等；

2、利用切线长定理以及垂径定理求解相关线段的长度以及利用K型相似或全等求解相关点坐标；

3、利用点到直线的距离公式表示动点圆的轨迹：（x-a）+（y-b）=R。

例1、如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

练习：1、在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣+1交于点C（4，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．

（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．

2. 如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；

（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

题型二：二次函数与三角形

【疑难点拨】

1.首先要明确各种三角形的性质以及判定；

2.理解等腰三角形的特征，明确腰相等，可以任意两腰相等；（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 ；（2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。

3.理解直角三角形的特征，明确有一个角是直角，可以是任意的内角；

4.先研究三角形的性质，再将三角形放到二次函数图像中进行综合运用；

 5.充分运用数学结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。

6. 二次函数和等腰三角形考察的重点一般是以点，线段为依托，动点和函数相结合产生的问题。而与直角三角形组成的一般就是构造相似，构造圆以及勾股定理相组合的考点。

7. 抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点， 使能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。(1)抛物线上的点能否构成等腰三角形;(2)抛物线上的点能否构成直角三角形;(3)抛物线上的点能否构成相似三角形;解决这类问题的基本思路:假设存在，数形结合，分类归纳，逐-考察。

例2、（与相似）如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A.B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．

问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

（与等腰）2.如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

3、（与直角）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．

（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；

（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

练习1. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．

（1）求a、b的值；

（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；

（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A.B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．

（1）求A.B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B.D两点间的一个动点（点P不与B.D两点重合），PA.PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A.B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．

①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

题型三：二次函数与四边形

 有关平行四边形的存在性问题

(1)已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。

(2)已知两个定点，两个动点的情况

已知点C(0,2), B(4,0)，点A为X轴上一个动点，试在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形（画出草图即可）

分以下几种情况：（1）以BC为对角线，BE为边；（2）以CE为对角线，BC为边；（3）以BE为对角线，BC为边；

(3)方法归纳：

先分类；（按对角线和边）

再画图；（画草图，确定目标点的大概位置）

后计算。（可利用三角形全等性质和平行四边形性质，准确求点的坐标）

例3、如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习1. 如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；

（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；

（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．

3、如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

题型四：二次函数与角关系问题

例4、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2−2ax+3与x轴负半轴交于A，与x轴的正半轴交于点B，与y轴的正半轴交于点C，且AB=4.

(1)如图1，求a的值；

(2)如图2,连接AC,BC,点D在第一象限内抛物线上,过D作DE∥AC,交线段BC于E,若DE=5√EC，求点D的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接DC并延长，交x轴于点F，点P在第一象限的抛物线上，连接PF，作CQ⊥PF，交x轴于Q，连接PQ，当∠PQC=2∠PFQ时，求点P的坐标。

练习1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

题型五：二次函数与最值

例5、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

练习1、已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

2、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；

（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．

题型六：二次函数与韦达定理

韦达定理即一元二次方程中根与系数的关系。

对于，若其两根为，则有；

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，

，

，

，

等等．韦达定理体现了整体思想．

例6．已知抛物线y=x与直线y=(k+2)x-(2k-1).

(1)证明：无论k为何实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点；

(2)设该抛物线与直线的两个不同的交点分别为A(x，y)，B(x,y).若x、x均为整数，求实数k的值

练习1、在直角坐标系中,抛物线y=x+mx−m(m>0)与x轴交于A. B两点,若A. B两点到原点的距离分别为OA、OB,且满足1/OB−1/OA=2/3，求m=        。

2：已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经

过点，方程的两根为，，且。

（1）求抛物线C1的顶点坐标.

（2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有.

（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设，

是C2上的两个不同点，且满足： ，，.请你用含有的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。

（参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则P，Q两点间的距离）

题型六：二次函数与几何三大变换

【疑难点拨】

1.图像平移

(1)沿Y轴平移

向上平移n个单位：

二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h)2+k+n

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 y=ax2+bx+c+n

向下平移n个单位：

二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h)2+k+n

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为y=a(x-h)2+k-n

(2沿x轴平移

向左平移m个单位：

二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h+m)2+k

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c

   向右平移m个单位：

二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为y=a(x-h-m)2+k

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c

2.图像对称

 (1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

3.图像旋转

绕原点旋转180°顶点纵横坐标与a全部符号变相反

绕顶点旋转180°顶点坐标符号不变，a符号变相反

例6．如图，抛物线y=与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且对称轴为，点D为顶点，连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）若对称轴右侧抛物线上一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标；

（3）连接BC交DE于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为，设Q点的运动时间为（）秒，求使得△PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的时对应的值．

备用图

2、已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.

（1）求的值；

（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于轴左侧的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G．当直线与图象G有3个公共点时，请你直接写出的取值范围.

3、如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

4.如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．

（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；

（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；

（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．

（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）

5.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′.

（1）求抛物线C的函数解析式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围.

（3）如图②，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点是P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由.

6、将抛物线沿c1：沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c2的表达式．
（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
 

7．如图14，抛物线y=x2+bx+c顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A(－3，0)和B．将抛物线y=x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

（1）写出点B的坐标及求抛物线y=x2+bx+c的解析式；（4分）

（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；（4分）

（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大．

如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．（4分）