初一第二章有理数学案9-无答案

规律题

一、教学目标

1. 培养学生的观察能力、动手能力、创新能力以及交往协作能力，并提高其分析问题和解决问题的能力。

2.经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过验算验证规律的过程。

3.在解决问题的过程中体验类比、转化等思维方法，培养学生良好的思维品质。

二、知识梳理

归纳 ----- 猜想 -----  找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是(1)通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2)猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。

三、典例精讲

一、数字规律

例1：观察下列一组数：，，，，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k个数是            ．

练习1.有一列数…，那么第7个数是        ．

例2.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a＋b＋c=          ．

练习2 (1)填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C =        ．

例3.从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下：

        加数m的个数  和(S)

        1—————→2=1×2

        2————→2＋4=6=2×3

        3———→2＋4＋6=12=3×4

        4——→2＋4＋6＋8=20=4×5

        5—→2＋4＋6＋8＋10=30=5×6

      (1) 按这个规律，当m=6时，和为          ；

      (2) 从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为          ；

      (3) 应用上述公式计算：

         ①2＋4＋6＋…＋200；                     ②202＋204＋206＋…＋300．

练习3.观察下列等式：

        第1个等式：a1==×(1－)；第2个等式：a2==×(－)；

        第3个等式：a3==×(－)；第4个等式：a4==××(－)；

        …

        请回答下列问题：

        (1) 按以上规律列出第5个等式：a5=          =          ；

        (2) 用含n的代数式表示第n个等式：an=          =          (n为正整数)；

        (3) 求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．

四、巩固练习1

1.观察下列等式：

    ；

    ；

    ；

    …………

则第（是正整数）个等式为________.

2.观察数表

根据表中数的排列规律，则字母所表示的数是____________．

二、图形规律

归纳 ----- 猜想 -----  找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是(1)通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2)猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。

例1.小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数既是三角形数又是正方形数的是    (    )

A．2010         B．2012           C．2014          D．2016

练习1下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（     ）

    A.21          B.24               C.27                 D.30

例2.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:

(1)第5个图形有多少颗黑色棋子?

(2)第几个图形有2016颗黑色棋子?请说明理由.

.

练习2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（    ）

A．13 = 3+10 B．25 = 9+16      C．36 = 15+21    D．49 = 18+31

例3.人们经常利用图形的规律来计算一些数的和. 如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17，它们有下面的规律：

 1+3=22 ； 1+3+5=32 ； 1+3+5+7=42 ；1+3+5+7+9=52 ；……                      

      请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形；

（2）请你按照上述规律，计算第条黑折线与第条黑折线所围成的图形面积；

（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形.

1+8=32 ；

1+8+16=52 ；

1+8+16+24=72 ；

1+8+16+24+32=92 .                 

练习3.如图，上列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第 (1)个图形中面积为1的正方形有2个，第 (2) 个图形中面积为1的正方形有5个，第 (3)个图形中面积为1的正方形有9个……按此规律．则第 (n) 个图形中面积为1的正方形的个数为       ．

五、巩固练习2

3.观察图，解答下列问题.（本题10分）

  （1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，……，第六层有11个圆圈.如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？

  （2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？

（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法.

比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，

由此得，1 + 3 = 22.

同样，

由前三层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 = 32.

由前四层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 + 7 = 42.

 由前五层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52.

                   ……

根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来.

（4）计算：1 + 3 + 5 + … + 99的和；

（5）计算：101 + 103 + 105 + … + 199的和.

             ——综合题型

归纳 ----- 猜想 -----  找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是(1)通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2)猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。

在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是    (    )

       A．4，2，1        B．2，1，4        C．1，4，2       D．2，4，1

如图所示是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2016次输出的结果为         

对于有理数、，定义运算：

  （1）计算的值

（2）填空：（填“＞”或“＝”或“＜”）

 （3）相等吗？若相等，请说明理由。

若规定一种新运算为,如果,那么       .

方方与同学做游戏，他把一张纸剪成9块，再从所得的纸片中任取一块再剪成9块；然后再从所得的纸片中任取一块，再剪成9块……这样类似地进行下去，能不能在第n次剪出的纸片恰好是2016块?若能，求出这个n的值；若不能，请说明理由．

某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（    ）粒。

A、   B、   C、    D、

六、巩固练习3

1.根据下图所示的程序计算代数式的值，若输入x的值为1.5，则输出的结果为 (    )

A．－           B．          C．          D．

2.小明拿若干张扑克牌变魔术，将这些扑克牌平均分成三份，分别放在左边、中间、右边，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中，第二次从右边一堆中拿出一张放在中间一堆中，第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中，使左边的扑克牌张数是最初的2倍．

    (1) 若一开始每份放的牌都是8张，按这个规则变魔术，则最后中间一堆剩          张牌．

    (2) 此时，小慧立即对小明说：“你不要再变这个魔术了，只要一开始每份放任意相同张数的牌 (每堆牌不少于两张)，我就知道最后中间一堆剩几张牌了，我想到了其中的奥秘!”请你帮小慧揭开这个奥秘．(要求：用所学的知识写出揭秘的过程)

3. a为有理数，定义运算符号：当a>0时， a=-a;当a<0时， a=a;a=0时， a=0,根据这种运算，则（1+2 ）等于（  ）

拓展提升

1．  观察下列图形并填表:

2.观察下列等式：

        9-1=8；16-4=12；25-9=16；36-16=20；…

      这些等式反映的是正整数间的某种规律，若n表示正整数，将这一规律用n的式子表示为__________．

3. 观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝        ．（n为正整数）
4. 从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时），它们的和是        。
5. 一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_           （n为正整数）．
6. 观察下列球的排列:●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…,从第一个球起,到第2007个球止,共有●______个.

7.摆棋子----用棋子摆出下列一组图形：

●

                            ●                ●  ●

●            ●  ●            ●      ●

●        ●  ●        ●      ●        ●          ●

●  ●    ●  ●  ●    ●  ●  ●  ●    ●  ●  ●  ●  ● 

  ⑴          ⑵              ⑶                  ⑷

按照这种方法摆下去，摆第n个图形用              枚棋子，摆第100枚棋子用               枚棋子。

8.正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字          ．

9.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有    个小圆．