2022届湖南省长沙市长郡中学高三下学期一模考试数学试题及答案

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ 卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x+y+3=0垂直，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
5．数学上定义的距离都意味着最短，如平面上两点的距离定义为连接两点的线段的长度，球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC，PA=AB=4．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，则B，C两点的球面距离是（ ）
A．B．C．D．
6．教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．60种B．78种C．54种D．84种
7．若双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
8．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式：
，（其中，，，），
现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A．sin33°B．sin30°C．sin36°D．sin39°
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．变量y与x之间的线性相关系数
C．预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元
D．该人工智能公司这5年的利润的方差小于2
10．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
11．棱长为的正方体的展开图如图所示．已知H为线段BF的中点，动点P在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A．BM与AN是异面直线
B．AF与BM所成角为60°
C．平面CDEF⊥平面ABMN
D．若AM⊥HP，则点P的运动轨迹长度为6
12．已知函数对任意都有，且函数的图象关于（−1，0）对称．当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点（k，0）（）中心对称
B．函数的最小正周期为2
C．当时，
D．函数在（）上单调递减
第 Ⅱ 卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．已知椭圆C：（），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________．
14．已知，则________．
15．在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是上一点，则的取值范围为________．
16．设，圆：（）与y轴正半轴的交点为，与曲线的交点为（，），直线与x轴的交点为A（，0），若数列的通项公式为，要使数列成等比数列，则常数p=________．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的周长为，面积为，求边c的长度．
18．（12分）已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为．
19．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=AB，∠PAD=∠BAD，E、F分别是AB、CD的中点，AD=2，PF=3，PE=．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）若PB=，求二面角B−PC−A的余弦值．
20．（12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、…、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为，试求的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N（μ，），其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差s2，经计算s2=42.25．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：
，，

21．（12分）已知抛物线：（）和圆C：，点P是上的动点，当直线OP的斜率为1时，△POC的面积为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若M、N是y轴上的动点，且圆C是△PMN的内切圆，求△PMN面积的最小值．
22．（12分）已知函数（）．
（1）若在定义域内有2个零点，求a的取值范围；
（2）若，函数在定义域内单调递减，求a的取值范围．
第x年
1
2
3
4
5
利润y/亿元
2
3
4
5
7