高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第一课时达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第一课时达标测试，共12页。
3.1.1 椭圆【题组一 椭圆的定义】1．(2020·全国高三其他(理))已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.(填出所有正确命题的序号)【答案】②④【解析】设点P的坐标为：P(x，y)，依题意，有：，整理，得：，对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，椭圆方程为：，则，解得：，符合；对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，不可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.所以，正确命题的序号是②④.2．(2018·福建高二期末(理))已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，﹣4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)A．(x≠0) B．(x≠0)C．(x≠0) D．(x≠0)【答案】B【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B (0，﹣4)，C (0，4)，∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选B．3．(2020·全国高三其他(文))已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，所以.又，如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.故选：B4．(2019·湖北襄阳。高二期中)椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.【答案】【解析】根据题意，椭圆，其中，，则，点在椭圆上，若，则，在△中，，，，则，则有，故答案为．5．(2020·上海高二课时练习)椭圆上一点到左焦点的距离为2，是的中点，则等于______【答案】【解析】：根据椭圆的定义：,所以,是中点，是的中点，所以．【题组二 椭圆定义的运用】1．(2019·吉林省实验高二期末(理))方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是        (    )A． B． C． D．【答案】B【解析】方程x2＋ky2＝2可变形为：，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：，解得.易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.故选B.2．(2018·天津静海一中高二期末(理))已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　)A． B．C． D．【答案】D【解析】，且，所以或．故选D．3．(2019·福建城厢.莆田一中高二期中)“”是“方程表示的曲线为椭圆”的(    )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程表示椭圆，则，解得：或 或是的真子集，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B4．(2020·四川射洪中学高二期中(文))若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为(    )A． B．2 C． D．【答案】D【解析】由于方程为椭圆，且焦点在轴上，所以，解得，所以，长轴长为.故选：D5．(2020·湖北江岸.武汉二中高二期末)是方程表示椭圆的(    )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若方程表示椭圆，则有，解得且所以是方程表示椭圆的必要不充分条件故选：B6．(2020·江西九江一中高二月考(理))方程表示椭圆的一个必要不充分条件是(　　)A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．m＜0【答案】A【解析】若方程表示椭圆，则m＞0且m≠4，∴m＞0是方程表示椭圆的一个必要不充分条件，故选：A7．(2019·浙江高三其他)已知p：方程表示椭圆，q：.则p是q的(    )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示椭圆，则解得且，易知可以推出，但是不能推出，故是的充分不必要条件．故选：A.8．(2020·广西钦州一中高三开学考试(理))设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=(    )A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】，，由椭圆定义，，由⊥得，的面积为4，则，即，，即,解得，即，故选：C.【题组三 椭圆的标准方程】1．(2020·四川青羊.树德中学高三月考(文))已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为(    )．A． B． C． D．【答案】C【解析】根据椭圆的定义知的周长为，∴，又，，∴，∴椭圆的标准方程为．2．(2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末)过点且与有相同焦点的椭圆的方程是( )A． B．C． D．【答案】A【解析】椭圆，∴焦点坐标为：( ，0)，(-，0)，c=，∵椭圆的焦点与椭圆有相同焦点设椭圆的方程为：=1，∴椭圆的半焦距c=，即a2-b2=5结合，解得：a2=15，b2=10∴椭圆的标准方程为 ，故选A．3．(2020·上海高二课时练习)中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点(3，0)的椭圆方程为(    ).A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】因为焦距为8，所以，即又因为椭圆的焦点在轴上，且过点(3，0)，所以 ，所以椭圆的方程为.故选：B4．(2019·山西高三开学考试(文))在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为(  )A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，的周长为16，即,根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选：D．5．(2020·福建高二期末(文))焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数的值为(  )A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解析】焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 故答案为：D.6．(2020·河北衡水中学高考模拟(文))已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为　　A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意椭圆：的离心率为得，椭圆的长轴长与焦距之和为6，，
解得，，则，所以椭圆的标准方程为：，故选D7．(2020·海林市朝鲜族中学高三课时练习)已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是A． B．或C． D．以上均不正确【答案】A【解析】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)，
代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为+x2=1．故选A．8．(2020·全国高二课时练习)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)A． B．或C． D．或【答案】B【解析】由已知，∴.∵，∴.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是或.【题组四 离心率】1．点P(x，y)是椭圆(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2≤90°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)A．0<e≤ B．≤e<1C．0<e<1 D．e＝【答案】A【解析】方法一：∵点P(x，y)是椭圆上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2≤90°，∴以为直径的圆与椭圆至多有一个公共点，∴，∴，∴，∴，∴．故选A．方法二：由题意得当点P为短轴的端点时，∠F1PF2最大，只要此时∠F1PF2≤90°即可，这时|PF1|＝|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，在△PF1F2中由余弦定理得，∴a2＋a2≥4c2，解得，∴．故选A．2．(2020·四川高三一模(理))已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为(     )A． B． C． D．【答案】B【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，整理可得：则：.本题选择B选项.3．(2020·河北新华.石家庄二中)若焦点在轴上的椭圆 的离心率为，则(   )A．31 B．28 C．25 D．23【答案】D【解析】焦点在x轴上，所以 所以离心率 ，所以 解方程得m=23所以选D4．(2020·四川省南充市白塔中学高二月考(文))在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 (    )A． B． C．2 D．【答案】A【解析】 可得：，又    故椭圆的左右焦点分别为：，和是椭圆的左右焦点由顶点B在椭圆，根据椭圆的定义可得：根据正弦定理：，“角化边”，故选：A.5．(2020·四川内江.高二期末(理))已知椭圆的右顶点为，左焦点为，若以为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆的焦距为，则，，因为圆以为直径，所以半径，圆心到原点的距离为，因为以为直径的圆过短轴的一个顶点，所以，即，化简得，，，则，，，解得或(舍去)，故选：B.10．(2020·全国高三课时练习(理))已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率(   )A． B． C． D．【答案】A【解析】∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2，∴=2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=，∴|PF2|=，则|PF1|==，由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，∴解得c=a，∴e==．