2020届江西省景德镇市高三第三次质检数学（理）试卷（解析版）

这是一份2020届江西省景德镇市高三第三次质检数学（理）试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
景德镇市2020届高三第三次质检试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合的子集的个数为（    ）A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D【解析】【分析】通过解不等式，得到集合A，进而得出.因为集合中有3个元素，故其子集个数为个.【详解】由得，则，则的子集个数为个.故选：D.【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题.2.已知i为虚数单位，若，则实数a的值是（    ）A.  B. –1 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求出的值.【详解】，且，，即.故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.3.用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根据随机生成的10组三位数：654  439  565  918  288  674  374  968  224  337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个之间的数字的三位数，即表示未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果.【详解】题中规定：1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，在10组三位随机数：654  439  565  918  288  674  374  968  224  337中，439  918  288  374这4组随机数仅含有一个的数，即表示未来三天仅有一天降雨，根据古典概型的概率计算公式可知，其概率.故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.4.设是等比数列的前n项和，若，则首项（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】将已知两式相减，可得出，则该等比数列的公比为，再将用和来表示，即可解得的值.【详解】由得，即，则该等比数列的公比为，，即，.故选：B.【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.属于基础题.5.已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合可得，再利用平方关系，即可求出.【详解】，即，由二倍角公式可得，，，则又，且 .故选：C【点睛】本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（    ）（取，）A. 16 B. 17 C. 24 D. 25【答案】B【解析】【分析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的倍，故折线长度构成一个以为公比的等比数列，写出其通项公式，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式，即可得解.【详解】设初始长度为，各次构造后的折线长度构成一个数列，由题知，，则为等比数列，，假设构造次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即 ，，【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.7.已知，为两个不同平面，，为两条不同直线，则下列说法不正确的是（    ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，且，则【答案】B【解析】【分析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解.【详解】对于A，，，根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两直线平行，选项A正确；对于B， ，，根据线面垂直的定义以及线面平行的判定定理可知或，故选项B错误；对于C， ，，根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理可得，故选项C正确；对于D，由和可知或，又，则由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知，，故选项D正确.故选：B.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基础题.8.已知是数列的前n项和，且点在直线上，则（    ）A.  B.  C.  D. 3【答案】B【解析】【分析】由题得，利用，求出且，，从而判断出数列是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即可求出比值.【详解】点在直线上，，当时，，两式相减，得：且，又当时，，则，是首项为1，公比为3的等比数列，，.故选：B.【点睛】本题考查了数列中由与的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前项和公式，属于中档题.9.双曲线的两条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】设双曲线的渐近线方程为，求出圆的圆心和半径，利用直线于圆相切的几何性质，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，再结合双曲线中，求出离心率.【详解】由得，则该圆的圆心为，半径，设双曲线的渐近线方程为：，渐近线与圆相切，，又，，则，离心率.故选：D.【点睛】本题考查了由直线与圆的相切求参数的问题，求双曲线的离心率，属于中档题.10.已知正数a、b满足，则的最大值是（    ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】将当作整体，在原式的两边同时乘以，使这一部分配凑基本不等式的条件，从而得到一个关于的二次不等式，求解即可.【详解】由，得，，当且仅当，即时，等号成立，，则.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，将看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.11.已知点A是抛物线上位于第一象限的点，F是其焦点，AF的倾斜角为60°，以F为圆心，AF为半径的圆交该抛物线准线于B、C两点，则的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 18【答案】A【解析】【分析】由抛物线方程可得其焦点，则由AF的倾斜角为60°可写出直线方程，求出点.点到准线的距离即为中边上的高为6.圆F的半径，圆心到准线的距离为3，则弦长，由三角形的面积公式即可求解.【详解】由得焦点，准线：，的倾斜角为60°，直线，点A是抛物线上位于第一象限的点则由 得，点到准线的距离，且，又焦点到准线的距离为3，则圆与准线相交的弦长，.故选：A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆相交求弦长的问题，属于中档题.12.已知函数满足，当时，，则函数在上的零点个数的值域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先由求出时，.再将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的公共点的问题，利用数形结合思想，即可判断出公共点个数，求出函数，从而求出的值域.【详解】由知，设，则， 则，，令=0，即，函数的零点个数，即为函数与直线交点个数，若与函数的图象相切，设切点为，则切线斜率，，故不能相切，若 与函数的图象相切，设切点为，则切线斜率，，故也不能相切，又，，则，，，则值域为.故选：B.【点睛】本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，的系数是__________.【答案】【解析】【分析】由，利用二项式定理求出和的展开式中的系数，相加即可得出结果.【详解】，的展开式通项为，的展开式通项为，令，得，，因此，的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题.14.已知数列满足，且，则该数列的前9项之和为__________.【答案】34【解析】【分析】对分奇偶进行讨论，得出数列是常数列，数列是公差为的等差数列，然后用分组求和法，即可求解.【详解】，当为奇数时，，则数列是常数列，；当为偶数时，，则数列是以为首项，的等差数列，.故答案为：34.【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 面， ,则三棱锥外接球的表面积是_____________ .【答案】【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球∵是边长为的正三角形∴的外接圆半径， 设球的半径为，因为面， ,所以，∴外接球的表面积为，故答案为点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设函数，则满足的实数a的取值集合为__________.【答案】或【解析】【分析】由知，当时，，当时，.令，对进行分类讨论，结合分段函数解析式，求出的值，再进一步求出.【详解】当时，，当时，令，若，，与已知解析式相符，，即；若，则由，得或，当时，，；当时，，. 故答案为：或.【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.若的内角A，B，C的对边为a，b，c，且.（1）求；（2）若的面积为，求内角A的角平分线AD长的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式化角为边，再由余弦定理求出；（2）由（1）的结论及的面积为，求出和.再由二倍角公式求出.将拆分成两个三角形和，利用面积相等，求出，再利用基本不等式求出其最大值.【详解】解：（1）由正弦定理，及，可得，即，由余弦定理得：；（2）由，得 ，，，则，由 得，，当且仅当时，等号成立，即.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式的应用，属于中档题.18.如图，正方体的棱长为4，点E、F为棱CD、的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面ACF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，易证四边形是平行四边形，从而证得，则根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系.求出平面的一个法向量，和，利用空间向量法，即可求线与平面所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：取中点，连接、，易知，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）如图所示，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设为平面的一个法向量，则，即 令，得 ，故：与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题.19.为抗击新冠疫情，某企业组织员工进行用款捐物的爱心活动.原则上每人以自愿为基础，捐款不超过400元.现项目负责人统计全体员工数据后，下表为随机抽取的10名员工.的捐款数额.员工编号12345678910捐款数额124862155313219540090300225   （1）若从这10名员工中任意选取3人，记选到的3人中捐款数额大于200元的人数为X，求X的分布列和数学期望：（2）以表中选取的10人作为样本.估计该企业全体员工的捐款情况，现从企业员工中依次抽取8人，若抽到k人的捐款数额小于200元的可能性最大，求k的值.【答案】（1）分布列见详解， ；（2）5【解析】【分析】（1）由题中的随机分布表可知，10名员工中，捐款数额大于200元的有4人，的所有可能取值为0，1，2，3，服从超几何分布，由此能求出的概率分布列及数学期望；（2）从8人中抽取的捐款数额小于200元的人数为随机变量，则，假设最大，可列出不等式组，求出的值.【详解】解：（1）由题知，10名员工中，捐款数额大于200元的有4人，则随机变量服从超几何分布，的所有可能取值为0，1，2，3 ， ，， ，则的分布列为X0123P  ；（2）以样本估计总体的捐款金额小于200的概率，设为从8人中抽取的捐款数额小于200元的人数，，，要使其取得最大值，则需： ，解得 ，又，故，即依次抽取8人，若抽到5人的捐款数额小于200元的可能性最大.【点睛】本题考查了服从超几何分布的离散型随机变量的分布列以及期望的求法，二项分布等基础知识，考查了组合数的计算公式、不等式的性质，考查了数据分析能力、推理能力及计算能力.属于中档题.20.已知点，是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上一点，当时，面积达到最大，且最大值为.（1）求椭圆C的标准方程﹔（2）直线与y轴交于点Q，与椭圆交于M，N两点，若，求实数m的值.【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得，以及，再结合，联立方程即可求出、、的值，进而写出椭圆的标准方程；（2）将直线的方程代入椭圆的方程。利用韦达定理及向量的坐标运算，求得的值.【详解】解：（1）由题可知，当点在短轴端点时，的面积最大值为①，此时，所以②，又③，联立①②③，解之得，，所以椭圆的标准方程为；（2）设，， 由 化简得：，，即，，，，则，与联立解得：，，代入，解得：，满足，.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.21.已知函数，.（1）当时，求曲线与的公切线方程：（2）若有两个极值点，，且，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用求导，分别求出两条曲线的切线方程.由题知两条切线重合，则可列出方程组，解得两个切点的横坐标，从而求出切线方程；（2）求的导函数，其零点即为极值点，，则.根据，可设，解得，由此构造函数，利用导函数求出的值域，也即是的范围.由构造函数，求出其值域，也即是实数的取值范围.【详解】解：（1）时，，设曲线上的切点为，则切线方程为，设曲线上的切点为，则切线方程为由两条切线重合得 ，则 ，所以，公切线方程为；（2），，设其零点为，，，，令，可得，则 令，，又令，，则单调递减，，，单调递减， ，易知， ，令，，则在上递增，【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线，利用导函数求函数的最值问题.其中多次构造函数，利用导函数分析单调性，进而求最值是较大的难点，本题难度较大.（二）选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长. 【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用对圆C参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．【详解】（1）圆C的普通方程为，又，所以圆C的极坐标方程为.（2）设，则由解得，，得；设，则由解得，，得；所以【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23.如图，AB是半圆的直径，O为AB的中点，、C在AB上，且，.（1）用x、y表示线段OD，CD的长度：（2）若，，，求的最小值.【答案】（1），；（2）2【解析】【分析】（1）为直径，，为半径，则.中，利用勾股定理，可求出；（2）中，则，即可得.再令，同理可得，由此解得.【详解】解：（1）直径，则半径， 在中，，即；（2）由（1）知，，即，当且仅当时，等号成立，，令则（当且仅当时，等号成立），的最小值为2.【点睛】本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题.