江苏省六市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁)2022届高三下学期第二次调研考试数学试题评讲

2022届高三第二次调研测试

1．     设全集，集合，，则

【答案】C

2． 已知复数z满足z ( 1 2i ) i ( 1 z )，则z 

【答案】A

3． 已知| a | ，| b | ，(a b)(a b) ，则a与b的夹角为

【答案】B

4． 时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研

究表明，当气温上升到20 °C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 °C

时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5 ~ 17时

的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式，

则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（）

【答案】B

5． 设，若，则

【答案】B

6． 已知等差数列{ an }的公差为d，前n项和为Sn，则“d > 0”是“Sn  S3n > 2S2n”的

【答案】C

7． 在平面直角坐标系xOy中，点A( 1，0 )，B ( 9，6 )，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，

CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P．已知点Q在点P

的轨迹上，且∠OAQ  120°，则| AQ | 

【答案】A

8． 已知f ( x )是定义域为R的偶函数，f ( 5.5 ) 2，g ( x ) x f ( x )．若g ( x 1 )

是偶函数，则g ( 0.5 ) 

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9． 已知一组数据，，…，的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到

一组新数据，，，…，，则

【答案】AD

10．若，则

【答案】ABD

11．在正六棱锥PABCDEF中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则

【答案】BCD

12．已知直线y a与曲线y相交于A，B两点，与曲线y相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为，，，则

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若tan θ 3sin 2θ，θ为锐角，则cos 2θ _______．

【答案】

14．设函数f ( x )若f ( f ( a ) ) 4，则a _______．

【答案】ln2

15．已知双曲线(a > 0，b > 0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)

是双曲线右支上的两点，．记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1，C2，若C1 C2 ，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为_______．

【答案】

16．某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为_______，体积为_______ cm3．

（第一空2分，第二空3分）

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题10分）

在中，内角所对的边分别为，．

（1）若，，求C；

（2）点在边上，且，证明：CD平分．

【解】（1）在中，由正弦定理，得．（有一即可，没有扣一分）

因为，所以．                          ……2分

又，所以．

在中，由余弦定理，得．

……4分因为（没有范围扣一分），所以．           ……5分

（2） 解法1：在中，由正弦定理，得，

即①．                                   

在中，同理可得，②．        ……7分

因为，所以．

又，由①②，得．              ……9分

因为，

所以，即平分．                ……10分

解法2：设的面积分别为，

因为，所以．                           ……7分

又，，            

故，

所以．                             ……9分

因为，

所以，即CD平分．               ……10分

18．（本题12分）

如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，°，．

（1）证明：平面平面ABC；

（2）求二面角的正弦值．

【解】（1）取AC的中点O，连结，OB，．

因为，°，

所以△为正三角形，（没有扣一分）

所以，且．  ……2分

在正三角形中，同理可得，

，且．

所以∠A1OB为二面角的平面角．             ……4分

又因为，所以，所以∠A1OB 90°．  

所以平面平面ABC．                        ……6分

（综合法求二面角，必须分三步一作二证三计算，每缺少一项扣2分）

（2）由（1）知，．

以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，．

在三棱柱中，，．

设平面的法向量，

则

令，得，，

所以平面的一个法向量

m．                                       ……8分

又平面的一个法向量．                  ……9分

且．                  ……10分

设二面角的大小为，根据图形可知，为钝角，（可以不交代）

所以，

所以二面角的正弦值为．               ……12分

19．（本题12分）

已知数列{ an }的前n项和为．

（1）从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{ an }的通项公式；

① 数列是等差数列；

② 数列是等比数列．

( 注：如果选择多个方案进行解答，按第一个方案解答计分．)

（2）记，求数列{bn }的前n项和．

【解】（1） 若选①：因为，所以，

所以，即．…2分

所以．

又当时，，得，，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．      ……4分

所以，所以．          ……6分

若选②：因为，所以，

所以，即．…2分

所以，所以．

又当时，，得，所以，

所以．

所以数列是以为首项，为公比的等比数列．   ……4分

所以，所以．        ……6分

（如果第一问没有证明出来，然后借助它求出通项公式的2分可以给，同时若计算出第二问，正常给分）

（2） 方法1：由（1）知．    ……7分

因为．                   ……10分

所以数列{ bn }的前n项和

．…12分

方法2：由（1）知．   ……7分

所以．

   ……10分

所以数列{ bn }的前n项和

．        ……12分

（如果第一问没有证明出来，然后借助它求出通项公式的2分可以给）

20．（本题12分）

某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰．比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果．在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立．

（1）求甲恰好经过三局进入复赛的概率；

（2）记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望．

【解】（1）记“甲恰好经过三局进入复赛”为事件A，

则在甲与乙的比赛中，第一、二局为和棋，第三局甲胜，

所以．                               ……3分

答：甲恰好经过三局进入复赛的概率为．                 ……4分

（设1分，式子2分，答1分）

（2）随机变量X的所有可能取值为．                   ……6分

则；

；

；

．                               ……10分

所以，X的概率分布列为

所以．              ……12分

（算对一个概率给1分）

21．（本题12分）

已知曲线C由和两部分组成，所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，右焦点为F，与x轴相交于点D，四边形的面积为．

（1）求a，b的值；

（2）若直线与相交于A，B两点，| AB | 2，点在上，求面积的最大值．

【解】（1）因为与x轴相交于点D，所以．

设所在椭圆的右焦点为，所以．

又因为所在椭圆的离心率，所以．

所以，．                                    ……1分

所以，．

所以四边形的面积．   ……2分

又因为四边形的面积，所以，

即，解得，

所以．                                        ……4分

（2）由（1），得曲线．

当直线斜率不存在时，

不妨设，，

此时的面积，

当且仅当时等号成立．                            ……5分

当直线l斜率存在时，由的对称性，不妨设l的方程为，

由消去，得．

设，，，，

所以     ……6分

所以．

所以

．                       ……7分

又因为，所以，

整理得，．                                 ……8分

因为，所以，．

作斜率为k的直线与半圆相切，切点为P，此时的面积最大，

设直线方程为（），

因为，所以．                        ……9分

因为直线与直线AB距离，

设，则．…11分

所以面积的最大值为，当且仅当时等号成立，

此时直线AB的方程为，点．

综上，的面积的最大值为2．                       ……12分

22．（本题12分）

已知函数f ( x )．

（1）当时，求曲线f ( x )在点( 1，f ( 1 ) )处的切线方程；

（2）若f ( x )，求实数a的取值范围．

【解】（1）函数f ( x )定义域为，

当时，，．       ……2分

所以，．

所以所求的切线方程为，即．……4分

（2）当时，．

设，则，

令，得，所以在上是减函数；令，得

，所以在上是增函数，所以，．

又因为，，所以，所以．

所以符合题意．                                   ……7分

当时，函数．

设，则，

所以在上是增函数，

又因为，，且函数在上的图象

是不间断的，所以存在，使得，所以．

所以                    ……9分

① 当时，，所以，

所以在上是减函数．

② 当时，， 所以，

所以在上是增函数．  

由①②，得，又因为，所以，

解得，所以．

综上， 实数a的取值范围是．                 ……12分