广东省深圳市福田区2022年中考数学模拟试卷(word版含答案)

广东省深圳市福田区2022年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是

A.  B.
C.  D.

2. 如图是由个相同的小立方块组成的立体图形，则它的俯视图是

A. B. C. D.

3. 已知甲种植物的花粉的直径约为米，乙种花粉的直径为甲种的倍，则乙种花粉的直径用科学记数法表示为米．

A.  B.  C.  D.

4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 已知一组数据：，，，，，下列说法不正确的是

A. 方差是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 极差是

6. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法正确的是

A. 邻边相等的平行四边形是矩形
B. 一组邻边相等的矩形是正方形
C. 一组邻边互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形

8. 如图，与关于点位似，且相似比为：，已知点的横坐标为，则点的横坐标为

A. B.   C.   D.

9. 如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，且，点为线段上一点不含端点现有一动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位长度的速度运动到点，则动点运动到点的最短时间需秒．

A.  B.  C.  D.

10. 如图是长方形纸片，，将纸片沿折叠成图，再沿折叠成图，则为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 因式分解：______．
12. 已知方程有两个相等的实数根，则 ______ ．
13. 在等腰三角形中，，边上的中垂线交边于点，垂足为点，的平分线交边于点，交于点，连接交于点则下列结论正确的是______．
    表示周长；；若，则；
    若，则图中有个等腰三角形；若，则．

14. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为，则点的坐标为______．
    
    
     

15. 如图，在▱中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动分别运动到点，即停止，与相交于点，与相交于点则在此运动过程中，线段的长始终等于______．

三、解答题（本大题共7小题，75分）

16. 计算：．
    
    
    
     
17. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
18. 今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽以下分别用、、、表示这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图、图两幅统计图尚不完整，请根据统计图解答下列问题：
    
    参加抽样调查的居民有多少人？
    将两幅不完整的统计图补充完整；
    若居民区有人，请估计爱吃粽的人数．
    若有外型完全相同的、、、粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是粽的概率．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在平面内，给定不在同一直线上的点，，，如图所示．点到点，，的距离均等于为常数，到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连接，．
    求证：；
    过点作，垂足为，作，垂足为，延长交图形于点，连接若，判断直线与图形的位置关系，并说明理由．

20. 某水果超市欲购进甲，乙两种水果进行销售．甲种水果每千克的价格为元，如果一次购买超过千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的价格为元千克．设水果超市购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
    ______；
    求与之间的函数关系式；
    若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额元最少？

21. 阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：
    如图，已知是的切线，是的直径，延长交切线与，连接、、．
    因为是的切线，是的直径，所以，所以．
    又因为，所以．
    在与中，又因为：，所以∽，所以，即．
    问题拓展：
    Ⅰ如果不经过的圆心如图等式，还成立吗？请证明你的结论；
    综合应用：
    Ⅱ如图，是的外接圆，是的切线，是切点，的延长线交于点；
    当，且时，求的值；
    是的中点，交于点求证：．

22. 如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
    求点、点、点及抛物线的顶点坐标；
    当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形？
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：设，则，，，
，
，
故选：．
不妨设，分别求出，，的大小即可．
本题考查了绝对值和有理数的大小比较，利用举例子的方法进行比较是解答本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：几何体的俯视图是中图形，
故选：．
根据俯视图是从物体的上面看，所得到的图形解答即可．
本题考查的是几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题应得到从上面看的图形．
 

3.【答案】
 

【解析】试题分析：用乘以，然后根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数解答，确定的值是易错点．
．
故选D．
 

4.【答案】
 

【解析】试题分析：不等式的解集是，大于应向右画，且包括时，应用点表示，不能用空心的圆圈，表示这一点，据此可求得不等式的解集以及解集在数轴上的表示．
不等式移项，得
，
合并同类项得
，
系数化，得
；
包括时，应用点表示，不能用空心的圆圈，表示这一点；
故选D．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
分别计算该组数据的方差、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案．
本题考查了数据的方差、中位数、众数及极差，属于基础题，比较简单，解题的关键是：熟记相关的定义与公式．
【解答】
解：，
，故A选项不正确；
中位数为，故B不符合题意；
众数为：，故C不符合题意；
极差为：，故D不符合题意．
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】解：原式，
故选：．
原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、邻边相等的平行四边形是菱形，
结论不正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
结论B正确；
C、由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形，
结论不正确；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
结论不正确．
故选：．
A、由邻边相等的平行四边形是菱形，可得出结论不正确；
B、由一组邻边相等的矩形是正方形，可得出结论B正确；
C、由选项C的论述结合菱形的判定定理，可得出结论不正确；
D、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得出结论不正确．
此题得解．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
与的相似比为：，
，
点的横坐标为，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，根据∽求出，得到答案．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到∽是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：过点作轴，则过点作于点，作于，直线交轴于．



，．
，
，
，
直线的解析式为，
由解得或，
，
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，
，
，
，
，即运动的时间值等于折线的长度值．
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
则动点运动到点的最短时间需，
故选：．
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，作辅助线，将转化为；再由垂线段最短，得到垂线段与直线的交点，即为所求的点．
本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，垂线段最短，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，四边形为矩形，
，，；
如图，；
如图，，
故选：．
如图，证明，；进而证明，即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质、矩形的性质等几何知识点是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】
 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：
由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式，当根的判别式的值大于，一元二次方程有两个不相等的实数根；当根的判别式等于，一元二次方程有两个相等的实数根；当根的判别式小于，一元二次方程没有实数根．
 

13.【答案】
 

【解析】解：是的垂直平分线，
，

，故正确；
是的角平分线，
是的角平分线，
当时，有，故错误；
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，故正确；
，
为等腰三角形，
是的垂直平分线，
，
为等腰三角形，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，，
是的垂直平分线，
，
，，
和是等腰三角形，
是的角平分线，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，
为等腰三角形，
综上共有个等腰三角形，故错误；
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，故正确，
故答案为：．
根据垂直平分线的性质得到，通过等量代换即可判断正确；当时，有，故错误；根据等腰三角形的性质得到，由内角和为即可求正确；根据等腰三角形的判定可以得到等腰三角形共有个，故错误；根据等腰三角形的性质和三角形内角和为可以求出，故正确．
本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是根据垂直平分线和角平分线的性质得到相等的角，进而得到等腰三角形．
 

14.【答案】
 

【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
点在第二象限，
点的坐标为．
故答案为．
过点作轴于，过点作轴于，根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后根据点在第二象限写出坐标即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动，
，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为．
由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
．
 

【解析】分别进行二次根式的化简、零指数幂及负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可．
本题考查了实数的运算，要求熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，熟记一些特殊角的三角函数值．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：根据题意得：人；

如图所示；

根据题意得：人；

如图，

得到所有等可能的情况有种，其中第二个吃到的恰好是粽的情况有种，
则粽，
答：他第二个吃到的恰好是粽的概率是．
 

【解析】根据条形统计图中的数据求出调查的居民人数即可；
根据总人数减去爱吃、、三种粽子的人数可得爱吃的人数，然后再根据人数计算出百分比即可；
求出占的百分比，乘以即可得到结果；
画树状图得出所有等可能的情况数，找出他第二个吃到的恰好是粽的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】证明：如图中，

由题意图形是使得外接圆，
，
，
．

解：结论：是的切线．
理由：如图中，连接．

，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
 

【解析】由题意图形是使得外接圆，利用圆周角定理即可解决问题．
结论：是的切线．利用垂径定理的推论证明是直径，证明即可解决问题．
本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】
 

【解析】解：由图象可得，
，
故答案为：；
由知，，
当时，，
当时，，
由上可得，与之间的函数关系式是；
当时，，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，；
当时，，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，；
，
当购进甲种水果千克，乙种水果千克时，才能使经销商付款总金额元最少．
根据题意和图象中的数据，可以计算出的值；
根据函数图象中的数据，可以计算出与之间的函数关系式；
根据题意，可以分别计算出两种情况下的最小值，然后比较大小即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

21.【答案】解：Ⅰ当不经过的圆心时，等式 仍然成立．
证法一：如图，连接并延长交于点，，连接、，
，，
∽，
，
即，
由图知，，
．

证法二：如图，过点作的直径，连接，，，
是的切线，
，
，
即，，
．
，
，
，
∽，
所以，
即 ．

Ⅱ由得，，，，
，
，
负值无意义，舍去．
．

证法一：过点作，交于点，
，．
为的中点，
，
，
．
 ，
，
即．

证法二：过点作，交于点，
，．
为的中点，
，
，
．
 ，
，
即．
 

【解析】Ⅰ证法一：如图，连接并延长交于点，，连接、，易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，由图知， ，即可证得结论；
证法二：如图，过点作的直径，连接，，，由是的切线，易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
Ⅱ由得， ，，，即可求得 ，继而求得答案；
证法一：过点作，交于点，由平行线分线段成比例定理即可求得，，又由 ，即可证得结论；
证法二：过点作，交于点，由平行线分线段成比例定理即可求得，，又由 ，即可证得结论．
此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】解：在中，令得，令得或，
，，，
，
抛物线的顶点坐标为；
点与点关于轴对称，
，
设直线为，将，代入得：
，解得，
直线为，
点的坐标为，
，，
四边形是平行四边形，
的中点即是的中点，
而的中点为，的中点为，
，解得舍去或，
的值为．
 

【解析】由直接可得，，，配成顶点式，即可得抛物线的顶点坐标为；
根据点与点关于轴对称可得，用待定系数法得直线为，从而知，，由四边形是平行四边形，可得，即可解得的值．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形性质等知识，解题的关键是根据四边形是平行四边形得到对角线中点重合，从而列出方程解决问题．