2022年上海市嘉定区中考数学诊断试卷(word版含答案)

上海市嘉定区2022年中考数学诊断试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 实数，，，，，中，无理数的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 二次函数  的图象的顶点坐标是

A.  B.  C.  D.

4. 八班学霸君统计了去年月“书香巴蜀”活动中全班同学的课外阅读数量单位：本，绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是

A. 众数是 B. 极差是
C. 中位数是 D. 每月阅读数量超过的有个月

5. 下列命题中，为假命题的是

A. 若两个角是邻补角，则它们互补 B. 互余的两个角的和是
C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 垂直于同一直线的两直线平行

6. 下列四个命题，
   符号不同的两个数是相反数；
   是的相反数；
   互为相反数的两个数一定不相等；
   任何一个正数的相反数都是负数．
   其中正确的命题的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共36分）

7. 的相反数是______，的立方根是______．
8. 如图，在平面直角坐标中，函数其中，的图象经过的顶点，函数其中的图象经过顶点，轴，的面积为，则的值为______．

9. 已知，那么 ______ ．
10. 方程的解是______．
11. 已知反比例函数，当时，随增大而增大，那么一次函数的图象经过______ 象限．
12. 如果是从，，，四个数中任取的一个数，那么关于的方程的根为正数的概率为______．
13. 如图，正五边形内接于圆，为弧上的一点点不与点、重合，则的度数为______ ．
    
     

14. 某校随机抽取名同学进行关于“创全”的调查问卷，通过调查发现其中人对“创全”了解的比较全面，由此可以估计全校的名同学中，对于“创全”了解的比较全面的约有______人．
15. 如图，正方形的边长为，点在边上，，过点作，分别交、于、两点．若点、分别为、的中点，则的长为______．
    
     

16. 如图，在中，，那么 ______ 填“，或”．
    
     

17. 如图，在中，是斜边上的中线，若的两条边分别为和，则的长为______．
     

18. 如图，在矩形中，，，点是中点，点是边上的任意一点，当的周长最小时，则的长为______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
20. 计算：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，四边形中，度，是上一点，且，，
    与全等吗？请说明理由；
    证明：；
    判断的形状？并说明理由．
     

22. 某玻璃器皿厂根据需要，打算设计一种容积为的圆锥形漏斗，要求漏斗口面积不得少于．
    写出漏斗深与漏斗口面积之间的函数表达式；
    如果漏斗口直径设计为，那么漏斗深应是多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在平行四边形中，，相交于点，点，在上，且，连接，．
    求证：≌；
    连接，，若，线段满足什么条件时，四边形为正方形．

24. 已知与构成一次函数关系，当时，，当时，．
    求与之间的函数关系式；
    当时的函数值．
    
    
    
    
     
25. 如图，四边形中，，，，，以为圆心，为半径作圆，延长交于点，延长交于点，连接，交于点．
    求证：为的切线；
    求的值；
    求线段的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：实数，，，，，中，无理数有：、，共两个．
故选：．
根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据即可得出答案．
此题考查了无理数的概念，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
 

2.【答案】
 

【解析】根据去括号、合并同类项、负整数指数幂等知识点进行判断．本题考查了去括号、合并同类项和负整数指数幂的知识点，基础题，需要掌握．

A、，故错误；

B、这两个式子不是同类项不能相加减，故错误；

C、，故错误；

D、故正确，

故选D

3.【答案】
 

【解析】二次函数的解析式为：，

其图像的顶点坐标是。

故选择。

4.【答案】
 

【解析】解：由折线图可知：众数为，极差是，中位数是，个月中有有个月阅读数量超过，
故选：．
根据众数、中位数、极差的定义即可判断．
本题考查众数、中位数、极差的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
 

5.【答案】
 

【解析】解：若两个角是邻补角，则它们互补，此命题为真命题，所以选项不符合题意；
B.互余的两个角的和是，此命题为真命题，所以选项不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，此命题为真命题，所以选项不符合题意；
D.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，此命题为假命题，所以选项符合题意．
故选：．
根据邻补角的定义和互补的定义对进行判断；根据互余的定义对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；利用反例对进行判断．
本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

6.【答案】
 

【解析】解：符号不同的两个数是相反数，利用互为相反数两数的和为，故此选项错误；
是的相反数，利用互为相反数两数的和为，故此选项正确；
互为相反数的两个数一定不相等，当两数为，仍符合题意，故此选项错误；
任何一个正数的相反数都是负数，此选项正确．
故其中正确的命题的个数是．
故选：．
利用互为相反数的定义分别分析得出即可．
此题主要考查了命题与定理，正确把握互为相反数的定义是解题关键．
 

7.【答案】 
 

【解析】解：的相反数是：；
的立方根是：．
故答案为：；．
直接利用相反数以及立方根的性质计算得出答案．
此题主要考查了相反数的性质以及立方根，正确把握相关性质是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设点，则
故答案为：
设点，则，由三角形面积公式可求的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，利用参数表示点，点坐标是本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
．
故填．
要求的值，就要利用已知条件，这就要利用完全平方公式把这个代数式转化成已知条件．
本题考查了完全平方公式，整理成公式结构形式是利用公式的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：原方程变形为：即

或
时不满足题意．
．
故答案为：．
本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到，再对方程进行因式分解即可解出本题．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．
 

11.【答案】第一、二、四
 

【解析】解：反比例函数，当时，随增大而增大，
，
，
一次函数的图象经过第二、四象限，且与轴交于正半轴，
一次函数的图象经过第一、二、四象限；
故答案是：第一、二、四．
由反比例函数的性质可判断的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限．
此题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
 

12.【答案】
 

【解析】解：将方程两边都乘以，得：，
解得，
方程的解为正数，
且，
则且，
所以在所列的个数中，能使此方程的解为正数的有、这个数，
则关于的方程的根为正数的概率为，
故答案为：．
解分式方程得，由方程的根为正数得出且，即且，再从所列个数中找到符合条件的结果数，从而利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握解分式方程的能力及随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，．

是正五边形，
，
，
故答案为：．
连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查样本估计总体，理解用样本估计总体的含义和掌握其公式是解答本题的关键．
首先计算调查的人中了解的比较全面的所占的百分比．再进一步估算全校名学生中了解的比较全面的人数即可．
【解答】
解：根据题意知，全校的名同学中，对于“创全”了解的比较全面的约有人，
故答案为：．  

15.【答案】
 

【解析】解：作于点，作于点，作交的延长线于点，如右图所示，
正方形的边长为，，，点、分别为、的中点，
，，，
，，，
，，，，
∽，
，
即，
解得，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得和的长，然后根据勾股定理即可求得的长．
本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接，，
由垂径定理得，，，
，
，
又，
，
，
，
即，，
故答案为：．
利用垂径定理和直角三角形边角关系得出，进而得出即可．
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，掌握垂径定理、直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，，，
．
点为斜边的中点，
．
故答案是：．
根据勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案．
此题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

18.【答案】
 

【解析】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，
在矩形中，，，点是中点，
，
，，
，即，解得，
．
故答案为：．
作点关于直线的对称点，连接交于点，再根据∽即可求出的长，进而得出的长．
本题考查的是轴对称最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出点关于直线的对称点，再根据轴对称的性质求出的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
 

19.【答案】解：原式
．
 

【解析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：原式
；
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整数方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
 

21.【答案】≌，
，
，
在和中，
≌；
证明：≌，

，，
；
是等腰直角三角形，
≌，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
 

【解析】试题分析：由可得，进而可利用证明≌；
根据全等三角形的性质可得，，再利用等量代换可得；
根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，进而得到，从而证明是等腰直角三角形．
 

22.【答案】解：由题意得：，
故．

漏斗口直径设计为，
，
．
 

【解析】直接利用圆锥的体积公式列出函数关系式即可；
首先根据直径求得底面积，然后代入求得的反比例函数的解析式，从而求得．
本题考查了反比例函数的应用及圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的体积公式，难度不大．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
在与中，
，
≌；
解：当时，四边形为正方形，
由知，，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形是菱形，
，
四边形为正方形．
 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
由知，，，得到四边形为平行四边形，求得，得到，根据正方形的判定定理即可得到结论．
此题主要考查了平行四边形的判定和性质，以及矩形的判定，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

24.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将、代入得，
解得：，
与之间的函数关系式为．

当时，．
 

【解析】根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式即可；
将代入一次函数关系式中，求出值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数关系式；将代入一次函数关系式求出值．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
为的切线；

解：如图，过点作于，
，
由知，，
，
四边形为矩形，
，
矩形是正方形，
，
在中，，根据勾股定理得，，
，
，
，
；

如图，
过点作于，则，，
在中，，，
，
，
，
，
∽，
，
由知，，
，
，
，
在中，．
 

【解析】利用两直线平行，同旁内角互补求出，再用，即可得出结论；
过点作于，判断出四边形为正方形，得出，再利用勾股定理求出，进而求出，再判断出，即可得出结论；
过点作于，则，，利用三角函数求出，进而得出，再判断出∽，得出，进而求出，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，平行线的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数．