高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义多媒体教学ppt课件

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1.了解物理学和几何学中两类变化率问题,领会其中由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.2.理解函数平均变化率的含义,会求函数在某一点附近的平均变化率.3.理解导数(瞬时变化率)的概念,会用导数的定义求函数在某点处的导数.4.通过对平均变化率及导数的定义的理解与运用,提高运算求解、直观想象与抽象概括的素养.
一、平均速度与瞬时速度【问题思考】
2.填空:(1)平均速度
(2)瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
3.做一做:如果质点A沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=3t2,那么质点A在t0=3时的瞬时速度为(　　)A.6B.18C.54D.81解析:∵s(t)=3t2,t0=3,∴s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3×32=18Δt+3(Δt)2.
二、函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率【问题思考】1.假设下图是一座山的剖面图,并建立如图所示的平面直角坐标系.设A是出发点,H是山的顶点,爬山路线用函数y=f(x)表示.自变量x表示某游客的水平位置,函数值y=f(x)表示此时游客所在的高度,则点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).
(1)该游客从点A爬到点B,自变量x和函数值y的变化量分别是多少?提示:自变量x的变化量为x2-x1,记作Δx;函数值的变化量为y2-y1,记作Δy.(2)由y的变化量的大小能否判断山路的陡峭程度?提示:不能.山路的陡峭程度也与自变量x的变化量有关.(3)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度?
3.填空:函数平均变化率的几何意义:
4.想一想:平均变化率可以是零吗?举例说明.提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
5.做一做:如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上,平均变化率最大的一个区间是　　　　　. 
解析:由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为 ,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].答案:[x3,x4]
三、函数f(x)在x=x0处的导数【问题思考】1.(1)函数在某点处的导数是一个变量还是一个定值?提示:是一个定值,是函数在该点的函数值的变化量与自变量的变化量比值的极限,不是变量.(2)函数y=f(x)的导数处处为0,是否说明函数y=f(x)为常数函数?提示:是.
3.做一做:已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=(　　)A.Δx-3B.(Δx)2-3Δx C.-3D.0
若把例题中的“v0”改为“v0=20”,求物体在t=3 s时的瞬时速度.
故物体在t=3 s时的瞬时速度为20-3g.反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤:第一步,求时间变化量Δt和位置变化量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);第二步,求平均速度;第三步,求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于常数v,即为瞬时速度.
【例3】 已知函数y=f(x)=x2+3.求:(1)f(x)在x=1处的导数;(2)f(x)在x=a处的导数.
【变式训练3】 求函数y=f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,
对导数的概念理解不清而致错
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:平均变化率 中的Δy是在自变量x的变化量为Δx时的变化量,它们是相对应的,若不一致,则会导致出错,如本例中自变量的变化量是(x0+2Δx)-x0=2Δx.
答案:C防范措施 1.整体意识,即注意分子与分母的整体形式,注意整体调配.2.注意培养数据分析和数学运算素养.
A.-2B.2C.-4D.4
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(　　)解析:Δy=f(2.1)-f(2)=0.41.故选B.答案:B2.函数f(x)=x2-1从x0到x0+Δx的平均变化率为(　　)A.2x0-1B.2x0+ΔxC.2x0Δx+(Δx)2D.(Δx)2-Δx+1
3.函数y=f(x)=x2+3x在x=2处的导数为　　　　　. 解析:∵y=f(x)=x2+3x,
从而函数在x=2处的导数为7.答案:7
4.一个物体沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s=1-t+t2,则物体在t=3 s时的瞬时速度为　　　　　.