人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用教案配套课件ppt

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用教案配套课件ppt，共37页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，合作探究释疑解惑，易错辨析，答案B，随堂练习等内容，欢迎下载使用。
1.理解函数的最值的概念.2.了解函数的最值与极值的区别与联系.3.会用导数求在给定区间上函数的最值.4.通过利用导数研究函数的最值,进一步提升直观想象、逻辑推理与运算求解的数学素养.
一、函数f(x)在区间[a,b]上的最值【问题思考】1.如图,观察函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,你能找出f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值吗?提示:能,函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(x3),最大值是f(b).2.填空:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
二、求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上最值的步骤【问题思考】1.函数y=f(x),x∈[a,b]的图象如图所示.(1)观察函数y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值.提示:极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4).
(2)结合图象判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值、最小值?若存在,分别是多少?提示:存在,函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(x3).(3)函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值或最小值一定是某极值吗?提示:不一定,也可能是区间端点的函数值.(4)怎样确定函数f(x)在区间[a,b]上的最小值和最大值?提示:比较极值与区间端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值.
2.填空:求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.想一想:如果函数y=f(x)在开区间(a,b)上只有一个极值,且为极小值,那么函数在开区间(a,b)上有最值吗?提示:有最小值,无最大值.设x0是函数的极小值点,则函数f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,故函数f(x)在x0处取得最小值.
4.做一做:函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[-2,1]上的最大值、最小值分别是(　　)A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16解析:y'=6x2-6x-12,令y'=0,解得x=-1或x=2(舍去).当x=-2时,y=1;当x=-1时,y=12;当x=1时,y=-8,所以ymax=12,ymin=-8.故选A.答案:A
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)闭区间上的函数一定有最值.( )(2)函数的极值只能在区间内取得,而函数的最值可以在区间端点处取得.( )(3)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值.( )
【例1】 求函数f(x)=-x4+2x2+3在区间[-3,2]上的最大值与最小值.解:因为f(x)=-x4+2x2+3,所以f'(x)=-4x3+4x.令f'(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0或x=1.在区间[-3,2]上,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.
所以,函数f(x)在区间[-3,2]上的最大值是4,最小值是-60.
把本例中“区间[-3,2]”改为“区间[0,2]”求相应问题.解:令f'(x)=0,解得x=-1(舍去)或x=0或x=1.在区间[0,2]上,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.
所以函数f(x)在区间[0,2]上的最大值是4,最小值是-5. 反思感悟 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点:(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内;(2)研究函数的单调性,正确确定函数的极值和端点函数值;(3)比较函数的极值与端点函数值大小,确定最值.
【变式训练1】 求函数f(x)=e-x-ex在区间[0,a]上的最大值与最小值,其中a>0,且为常数.
【例2】 已知函数f(x)=(x-k)ex,k为常数.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.解:(1)函数f(x)的定义域为R.由f(x)=(x-k)ex,得f'(x)=(x-k+1)ex.令f'(x)=0,解得x=k-1.当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当00,∴函数f(x)在区间(-1,2]上单调递增.∴f(2)和f(-1)分别是函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是f(2)=22+a=20,解得a=-2.∴f(x)=-x3+3x2+9x-2.∴f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
求最值时忽视“端点值”而致错【典例】 已知函数f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R),且f'(-1)=0,则函数y=f(x)在区间 上的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　. 错解:f(x)=x3+ax2+x+a,f'(x)=3x2+2ax+1.f'(-1)=3-2a+1=0,解得a=2.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
防范措施 求函数的最值时,若函数的定义域是闭区间,则需比较极值点处的函数值与端点处的函数值的大小;如本例中需比较极值与端点处函数值的大小才能确定出最值.若函数的定义域是开区间,且只有一个极值点,则该极值点就是最值点.
当x∈(0,e)时,y'>0,则函数y在区间(0,e)上单调递增;当x∈(e,+∞)时,y'