2021学年5.1 导数的概念及其意义教案配套ppt课件

这是一份2021学年5.1 导数的概念及其意义教案配套ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，合作探究释疑解惑，规范解答，随堂练习，答案B等内容，欢迎下载使用。

1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线,并会求其方程.5.通过对导数几何意义的理解与运用,进一步提高直观想象与运算求解的素养.
一、导数的几何意义【问题思考】1.如图,(1)割线P0P的斜率k是多少?
(2)割线P0P,P0P1,P0P2,P0P3,哪条割线的斜率与P0T的斜率最接近?提示:割线P0P3.
3.做一做:已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f'(1)=(　　)A.4B.-4C.-2D.2解析:由导数的几何意义,知f'(1)=2,故选D.答案:D
二、导函数的概念【问题思考】1.函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)与它的导函数f'(x)相同吗?它们有什么区别与联系?提示:不相同.(1)两者的区别:由导数的定义,知f'(x0)是一个具体的值,f'(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在区间I上的一个新函数,所以两者的区别是:前者是数值,后者是函数.(2)两者的联系:函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)是其导函数f'(x)在x=x0处的函数值.
2.填空:从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同.( )(2)若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线不存在.( )(3)y=f'(x)在x=x0处的函数值就是函数y=f(x)在x=x0处的导数值.( )(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
【例1】 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　)解析:已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在区间[a,b]上单调递增,由导数的几何意义可知,函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上各点处的切线的斜率是逐渐增大的,只有A选项符合.答案:A
反思感悟 函数的单调性与导数的关系(1)若函数y=f(x)在区间(a,b)上任一点处的导数值都大于零,则y=f(x)的图象在区间(a,b)上呈上升趋势,y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,若函数y=f(x)在区间(a,b)上任一点处的导数值都小于零,则y=f(x)的图象在区间(a,b)上呈下降趋势,y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.当函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数值都等于零时,函数y=f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分.(2)若f'(x)在区间(a,b)上单调递增,则f(x)的图象是向下凸的,如例1选项A中图象.若f'(x)在区间(a,b)上单调递减,则f(x)的图象是向上凸的,如例1选项B中图象.若f'(x)在区间(a,b)上是常数函数,则f(x)的图象是一条线段.
【变式训练1】 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　)A.f'(xA)>f'(xB)B.f'(xA)=f'(xB)C.f'(xA)kB,根据导数的几何意义有f'(xA)>f'(xB).故选A.答案:A
反思感悟 求曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程的方法(1)求函数f(x)在x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0).(2)列点斜式得出切线方程.
【例3】 求过点(-1,0)与曲线y=x2相切的直线方程.
反思感悟 求曲线y=f(x)过某点的切线方程的方法(1)设出切点M(x0,f(x0)),求函数f(x)在x0处的导数f'(x0),得切线的斜率k=f'(x0).(2)写出过切点M的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),将已知点的坐标代入切线方程,列出关于x0的方程,解出x0的值,即得切点的坐标.(3)根据x0的值求得切线方程.
【变式训练2】 曲线y=x2+x+1在点(1,3)处的切线方程是　　　　　　.
∵点(1,3)在曲线上,∴切线的斜率k=y'|x=1=2×1+1=3.∴所求切线方程为y-3=3(x-1),即3x-y=0.答案:3x-y=0
【例4】 已知抛物线y=2x2+1.(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°?(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x-y-2=0?
本例中条件不变,求抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0?解:∵切线与直线x+8y-3=0垂直,∴切线的斜率为8.
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤:(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将x0代入曲线方程求出y0得切点坐标.
【变式训练3】 设P0为曲线f(x)=x3+x-2上一点,且曲线在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,求点P0的坐标.解:设P0(x0,f(x0)).
导数的几何意义的综合应用【典例】 求曲线y= 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
反思感悟 导数的几何意义的综合应用(1)导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点;(2)导数的几何意义的综合应用题的解题关键是求函数在某点处的导数,即切线的斜率,注意结合相关知识(如函数、方程、不等式等)求解.
【变式训练】 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.求:(1)直线l2的方程;(2)由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
1.函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)是(　　)A.在x=x0点的函数值的增量与自变量增量的比B.一个函数C.导函数f'(x)在x=x0处的函数值,是一个常数D.函数在x=x0点到它附近一点之间的平均变化率解析:由导数的定义知,应选C.答案:C
3.抛物线y=2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为　　　　　. 解析:y'=4x,k=y'|x=1=4.答案:44.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y= x+2,则f(1)=　　　　　,f'(1)=　　　　　. 
(1)曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)曲线过点P(2,4)的切线方程;(3)斜率为4的曲线的切线方程.