高考数学考前冲刺专题《双曲线》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《双曲线》夯基练习

一 、选择题

1.双曲线－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y－1=0垂直，则双曲线的离心率为(　　)

A.        B.          C.        D.＋1

2.若双曲线－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)

A.         B.       C.         D.

3.已知点P，A，B在双曲线－=1(a＞0，b＞0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为(　　)

A.          B.      C.2          D.

4.设F1，F2分别是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)

A.x±y=0         B.x±y=0      C.x±2y=0        D.2x±y=0

5.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2=1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=(　　)

A.1        B.2       C.4         D.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)

A.－=1         B.－y2=1    C.－=1        D.x2－=1

7.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆＋=1有公共焦点，则C的方程为(　　)

A.－=1      B.－=1      C.－=1      D.－=1

8.设F1、F2分别为双曲线－=1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(　 　)

A.4         B.3         C.2          D.1

9.已知离心率为的双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2=16，则双曲线实轴长是(　 　)

A.32           B.16           C.84          D.4

10.已知F1，F2是双曲线E：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是直线x=上一点，△F1PF2是顶角为θ的等腰三角形，若cos θ=，则双曲线E的离心率为(　　)

A.        B.2         C.        D.3

11.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是(　　)

A.(1，＋∞)        B.(0，1)    C.(0，)        D.(，＋∞)

12.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为(　　)

A.         B.       C.         D.

二 、填空题

13.设F1，F2分别是双曲线x2－=1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，

若|AF2|=2且∠F1AF2=45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于      .

14.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2=的切线，

若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________.

15.设F1，F2分别为双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为c2，则该双曲线的离心率为________.

16.已知F为双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且·=0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________.

0.高考数学考前冲刺专题《双曲线》夯基练习（含答案）参考答案

一 、选择题

1.答案为：B；

解析：由已知得=2，所以e= = ，故选B.

2.答案为：D.

解析：因为双曲线－=1(a＞0，b＞0)的渐近线为y=±x，所以根据一条渐近线经过点

(3，－4)，可知3b=4a∴=.∴e=.

3.答案为：A；

解析：根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，

P(x，y)，所以－=1，－=1，两式相减得=，即=，

因为直线PA，PB的斜率之积为，所以kPA·kPB=·===，

所以双曲线的离心率为e===.故选A.

4.答案为：B；

解析：假设点P在双曲线的右支上，

则∴|PF1|=4a，|PF2|=2a.

∵|F1F2|=2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，

∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.

在△PF1F2中，由余弦定理得4a2=16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，

∴c2－2ac＋3a2=0，∴e2－2e＋3=0，∴e=，∴=，

∴c2=3a2，∴a2＋b2=3a2，∴b2=2a2，

∴=，∴双曲线的渐近线方程为x±y=0，故选B.

5.答案为：A；

解析：如图，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，

可知|PF1|=|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|=2，

从而|QF2|=2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|=1.故选A.

6.答案为：D；

解析：因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b，|OA|=a，所以ab=2，

又双曲线C的离心率为，所以 =，即b2=4a2，解得a2=1，b2=4，

所以双曲线C的方程为x2－=1，故选D.

7.答案为：B；

解析：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－=k(k＞0)，即－=1，

∵双曲线与椭圆＋=1有公共焦点，∴4k＋5k=12－3，解得k=1，

故双曲线C的方程为－=1，故选B.

8.答案为：D；

解析：连接PF2，OT，则有|MO|=|PF2|=(|PF1|－2a)=(|PF1|－6)

=|PF1|－3，|MT|=·|PF1|－|F1T|=|PF1|－=|PF1|－4，

于是有|MO|－|MT|=－=1，故选D.

9.答案为：B；

解析：由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y=x上，

由题意可知|F2M|==b，所以|OM|==a.

由S△OMF2=16，可得ab=16，即ab=32，又a2＋b2=c2，=，

所以a=8，b=4，c=4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.

10.答案为：B；

解析：由题意知∠PF1F2=θ或∠PF2F1=θ，设直线x=与x轴的交点为D，则D（，0），

因为△F1PF2是顶角为θ的等腰三角形，cos θ=，若∠PF1F2=θ，则有|F1F2|=|PF1|=2c，

在Rt△PDF1中，|DF1|=|PF1|cos θ，即c＋=2c×，所以离心率e==2；

若∠PF2F1=θ，则有|F1F2|=|PF2|=2c，在Rt△PDF2中，|DF2|=|PF2|cos θ，

即c－=2c×，不合题意.综上，双曲线E的离心率为2.

11.答案为：A；

解析：解法一：不妨设椭圆：＋=1(a1＞b1＞0)，离心率为e1，半焦距为c，

满足c2=a－b；双曲线：－=1(a2＞0，b2＞0)，离心率为e2，半焦距为c，

满足c2=a＋b.不妨设P是它们在第一象限的公共点，点F1，F2分别为它们的左、右焦点，则由椭圆与双曲线的定义得：⇒在△F1PF2中，

由余弦定理可得=－，整理得4c2=3a＋a，

即3＋=4，即3＋=4，则=4－3，由

得，令t=，则t==∈，

∴·=·=－3t2＋4t=－3＋∈(0，1)，

ee∈(1，＋∞)，即e1e2的取值范围为(1，＋∞).

12.答案为：A；

解析：如图1，由已知条件得，△ABF2的周长为32，因为|AF2|=2a＋|AF1|，|BF2|=2a＋|BF1|，|AF1|=|BF1|=，所以4a＋=32，＋a=8，b2＋a2－8a=0，得(a－4)2＋b2=16.设k=，则k表示点(a，b)与点(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图2，易知kmax=.故选A.

二 、填空题

13.答案为：4.

解析：由题意可得|AF2|=2，|AF1|=4，则|AB|=|AF2|＋|BF2|=2＋|BF2|=|BF1|.

又∠F1AF2=45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，

则|AB|=|BF1|=2，所以其面积为×2×2=4.

14.答案为：2.

解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=x，由题意可知该切线方程为y=－(x－c)，

即ax＋by－ac=0.又圆(x－a)2＋y2=的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切线的距离d===，又e=，则e2－4e＋4=0，解得e=2.

15.答案为：.

解析：设M(x,)，根据矩形的性质，得|MO|=|OF1|=|OF2|=c，

即x2＋()2=c2，则x=a，所以M(a，b).

因为△AMN的面积为c2，所以2××a×b=c2，所以4a2(c2－a2)=c4，

所以e4－4e2＋4=0，所以e=.

16.答案为：

解析：因为·=0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F′，

则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|=|NF′|，|MN|=2c.

不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|=2a，

所以|MF|－|NF|=2a.因为S△MNF=|MF|·|NF|=ab，所以|MF|·|NF|=2ab.

在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2=|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|=|MN|2，

所以(2a)2＋2·2ab=(2c)2，把c2=a2＋b2代入，并整理，得=1，所以e==.