2021学年7.3 离散型随机变量的数字特征一课一练

7.3  离散型随机变量的数字特征(精讲)

考法一 分布列均值与方差

【例1-1】(2020·广东高二期末)已知随机变量的分布列是

则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由分布列的性质可得，得，所以，，

因此，.故选：C.

【例1-2】．(2020·湖南长沙市·长郡中学高二月考)随机变量X的分布列如表所示，若，则(    )

A．9 B．7 C．5 D．3

【答案】C

【解析】，

由随机变量的分布列得：

，解得，，

．

．

故选：．

【举一反三】

1．(2021·江西高二期末(理))已知随机变量的分布列为：设，则的数学期望的值是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，根据分布列的性质，可得，解得，

所以随机变量的期望为，

又由，所以随机变量的期望为

故选：C.

2．(2020·防城港市防城中学高二期中(理))已知X的分布列为：

设，则Y的数学期望的值是(    )

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】由题意，根据分布列的性质，可得，解得，

所以随机变量的期望为，

又由，所以随机变量的期望为

故选：B.

3．(多选)(2020·山东聊城市·高二期末)若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】因为随机变量服从两点分布，且，所以，

，所以，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D不正确.

故选：ABC

4．(多选)(2020·江苏扬州市·高二期末)已知随机变量的分布列是

随机变量的分布列是

则当在内增大时，下列选项中正确的是(    )

A． B．

C．增大 D．先增大后减小

【答案】BC

【解析】对于，，，故错误；

对于，，，故正确；

对于，，

当在内增大时，增大，故正确；

对于，，

，

当在内增大时，单调递增，故错误．故选：．

考法二 实际应用中的分布列与均值

【例2】(2020·广东佛山市·佛山一中高二期中)年初，习近平在《告台湾同胞书》发表周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量单位：吨，以、、、、、、分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中的值；

(2)在年平均销售量为、、、的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取家大型农贸市场，求年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取多少家？

(3)在(2)的条件下，再从、、这三组中抽取的农贸市场中随机抽取家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在组，求随机变量的分布列与期望和方差.

【答案】(1)；(2)年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取、、家；(3)分布列见解析，，.

【解析】(1)由频率和为，即，解得；

(2)年平均销售量在的农贸市场有(家)，

同理可求年平均销售量、、的农贸市场有、、家，

所以抽取比例为，

从年平均销售量在的农贸市场中应抽取(家)，

从年平均销售量在的农贸市场中应抽取(家)

从年平均销售量在的农贸市场中应抽取(家)，

即年平均销售量在、、的农贸市场中应各抽取、、家；

(3)由(2)知，从、、的大型农贸市场中各抽取家、家、家，

所以随机变量的可能取值分别为、、、，

则，，

，，

的分布列如下表所示：

数学期望为，

方差为.

【举一反三】

1．(2020·山西朔州市·应县一中)为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元(不足1小时的部分按小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望，方差.

【答案】(1)；(2)分布列见解析，，.

【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，

两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，

两人都付元的概率为.

则两人所付费用相同的概率为；

(2)设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，

则，，

，，

.

所以，随机变量的分布列为

.

.

2．(2020·青铜峡市高级中学)某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为等七组.其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人．

(I)根据此频率分布直方图求；

(II)组织者从这组的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列、均值及方差.

(Ⅲ)已知和这两组各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率

【答案】(I)40(II)见解析(Ⅲ)

【解析】(I)这组频率为，所以

(II)这组的参加者人数为，

，

,

,

(Ⅲ)这组的参加者人数为

这组的参加者人数为

恰有1名数学老师的概率为

考法三 均值方差做决策

【例3】．(2020·全国高二单元测试)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：

(1)求a，b的值；

(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．

【答案】(1)a＝0.3；b＝0.4；(2)2.3；2；0.81；0.6；甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．

【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知

a＋0.1＋0.6＝1，

∴a＝0.3.

同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.

(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，

E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，

D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，

D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.

由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．

【举一反三】

1．(2020·陕西西安市·长安一中)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

【答案】(1)；(2)①分布列详见解析，，；②都有道理，理由详见解析.

【解析】

(1)当日需求量时，利润.当日需求量时，利润.

所以关于的函数解析式为.

(2)①X可能的取值为60，70，80，并且，，.

X的分布列为

X的数学期望为.

X的方差为.

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y的数学期望为.

Y的方差为由以上的计算结果可以看出，，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.

另外，虽然，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利涧(单位：元)，那么Y的分布列为

Y的数学期望为.

由以上的计算结果可以看出，，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.

2．(2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中)甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表：

乙公司送餐员送餐单数频数表：

若将频率视为概率，回答下列两个问题：

(1)记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；

(2)小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.

【答案】(1)详见解析；(2)推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.

【解析】(1)设乙公司送餐员送餐单数为，

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，，

故的所有可能取值为、、、、，

故的分布列为：

故.

(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为：

，

则甲公司送餐员日平均工资为元，

因为乙公司送餐员日平均工资为元，，

所以推荐小王去乙公司应聘.