人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理测试题

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1.2  空间向量的基本定理【题组一 基底的判断】1．(2020·山东微山县第二中学高二月考)已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是(　　)A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2C．，2，﹣ D．，+，﹣【答案】C【解析】对于A，因为2=(﹣)+(+2)，得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A不正确；对于B，因为2=(﹣)+(+2)，得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B不正确；对于C，因为找不到实数λ、μ，使=λ•2+μ(﹣)成立，故、2、﹣三个向量不共面，它们能构成一个基底，C正确；对于D，因为=(+)﹣(﹣)，得、+、﹣三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D不正确故选：C．2．(2018·安徽六安一中高二期末(理))已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是(  )A． B． C． D．或【答案】C【解析】∵，即与，共面，∴与，不能构成空间基底；故选C.3．已知是空间向量的一个基底，则与向量+，-可构成空间向量基底的是(    )A． B．C．+2 D．+2【答案】D【解析】由题意，向量都有向量为共面向量，因此A、B、C都不符合题意，只有向量与向量属于不共面向量，所以可以构成一个空间的基底，故选D.4．(2020·南昌市八一中学高二期末(理))为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为，所以共面，不能构成基底，排除B，对于D，，所以共面，不能构成基底，排除D，对于C，若共面，则，则共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故可以构成空间向量的一组基底，故选：C5．(2018·江西南昌二中高二期中(理))若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(  )A． B． C． D．【答案】C【解析】共面，故不能作为基底，故错误；共面，故不能作为基底，故错误；不共面，故可以作为基底，故正确；共面，故不能作为基底，故错误，故选C.【题组二 基底的运用】1．(2020·天水市第一中学高二月考(理))如图，平行六面体中，与交于点，设，则 (  )A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，∴，故选D．2．(2020·全国高一课时练习)若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为( )A．，， B．，，C．，， D．，1，【答案】A【解析】，由空间向量基本定理，得∴，，.3(2020·山东沂.高二期末)如图所示，，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，且，则__．【答案】【解析】因为，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，所以，，，，所以，，，，故答案为：．4．(2019·江苏鼓楼.南京师大附中高二期中)在正方体中，点O是的中点，且，则的值为________.【答案】【解析】在正方体中得，又因为所以所以.故答案为：【题组三 基本定理的运用】1．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足．(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点是否在平面内．【答案】(1)共面   (2)点在平面内．【解析】(1)如图，为的重心)为的三等分点)设中点为，则可知在上，且为的重心故知共面(2)由(1)知共面且过同一点.所以四点共面，从而点在平面内．2．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为________．【答案】【解析】如图所示,将直三棱柱补成直四棱柱,连接,则,所以或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为,所以, .在中,,所以所以故答案为: 3．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，求点与点之间的距离．【答案】或∴，∴或，故点与点之间的距离为或．4.已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．【答案】见解析【解析】连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又＝(＋)＝＝(a＋b＋c)，＝c－b.∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.∴⊥，即OG⊥BC．