2021届江西省九江市高三第三次模拟考试理科数学卷及答案（文字版）

九江市2021年第三次高考模拟统一考试

数学试题（理科）

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

2. 若复数满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 研究与试验发展（R&D）是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先．如图是我国近五年（2016-2020年）R&D经费支出统计图，则下列说法中错误的是（    ）

A. 近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系

B. 近五年，R&D经费支出的中位数为19678

C. 2020年R&D经费支出相对于2016年增长超过50%

D. 2020年，R&D经费支出增长速度最快

【答案】D

4. 已知等比数列的前项和为，且满足，，则（    ）

A.  B. 9 C.  D. 27

【答案】D

5. 已知椭圆焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

6. 函数，的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

7. 已知曲线：，曲线：部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. 将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线

B. 将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线

C. 将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线

D. 将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线

【答案】B

8. 如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点，都有；④存在点，使得平面．其中正确的是（    ）

A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④

【答案】C

9. 在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，，分别为双曲线左右支上一点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

10. 蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法．某同学根据蒙特·卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率的值，每次用计算机随机在区间内取两个数，共进行了次实验，统计发现这两个数与能构成钝角三角形的情况有种，则由此估计的近似值为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

11. 如图所示，在三棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

12. 已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（    ）

A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有极大值 D. 有极小值

【答案】A

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 曲线在处的切线方程为_________．

【答案】

14. 二项式的展开式中的系数为_________．

【答案】

15. 已知点、是圆上的两点，且，则_________．

【答案】

16. 已知正项数列的前项和为，，且，设，则数列前项和的取值范围为_________．

【答案】

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 中，三内角，，所对边分别为，，，已知，为锐角．

（1）求大小；

（2）若为边上靠近点的三等分点，且，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

18. 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，、均为等边三角形，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

19. 年月日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于年前达到峰值，努力争取年前实现碳中和．某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表．

（1）现从株树苗中，按售价分层抽样抽取株，再从中任选三株，求售价之和高于元的概率；

（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布，并用该企业采购的株树苗作样本，来估计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且．

①若该育苗基地共有株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，得到数列，求的估计值．

②若从该育苗基地银杏树树苗中任选株，记树苗高度超过的株数为，求随机变量的分布列和期望．

参考数据：若，，，．

【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，期望为.

20. 在直角坐标系中，已知抛物线：，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．当在轴上时，．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）求点到直线距离的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

21. 已知函数．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）讨论在内零点的个数．

【答案】（Ⅰ）的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）当 时，在内没有零点，当，在内有唯一零点.

22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，记曲线与公共弦所在直线为．

（1）求直线的极坐标方程；

（2）设过点的直线与直线交于点，与曲线交于点（异于原点），求的值．

【答案】（1）；（2）.

23. 已知函数最大值为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若正实数，满足，求的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.