2022通辽高三4月模拟考试数学（文科）word含答案

高三数学考试（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

2．已知，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

3．椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为，则椭圆C的离心率为（    ）

A．  B．  C．  D．

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ）

A．1  B．  C．2  D．

5．若实数x，y满足约束条件则的最小值为（    ）

A．0  B．  C．-3  D．-1

6．已知命题，，命题，．则下列命题中为真命题的是（    ）

A．  B．  C．  D．

7．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、惠 更斯三人各自得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（，e为自然对数的底数）．若，，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A．2  B．1  C．  D．-1

9．若函数在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（    ）

A．B．C．D．

10．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（    ）

A．向左平移个单位长度得到   B．向左平移个单位长度得到

C．向右平移个单位长度得到  D．向右平移个单位长度得到

11．新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示．下列结论不正确的是（    ）

A．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量

B．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增

C．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿

D．第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数

12．如图，在直角梯形ABCD中，，，，将直角梯形ABCD沿对角线BD折起，使平面平面BCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（    ）

A．0  B．  C．  D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．设向量，，且，则______．

14．双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线E的离心率为______．

15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中记载的鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体．如图所示的为一个鳖臑的正视图和侧视图，已知△ABC为直角三角形，且D为BC的中点，△EFG为等腰直角三角形，若此鳖臑的体积为，则其外接球的体积为______．

16．已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为______．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日开幕，北京也就此成为全球唯一一座既举办过夏季奥运会、又举办冬季奥运会的城市．为做好本次奥运会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据考核成绩可以把学生分为A，B，C，D四个等级，最终的考核情况如下表：

（1）将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其等级为A的概率；

（2）从报名的100名学生中，根据考核情况利用分层抽样法抽取10名学生，再从这10名学生中选取2名进行考核座谈会，求这2人等级相同的概率．

18．（12分）

已知数列的前n项和为，且．

（1）证明：为等比数列．

（2）若，求数列的前n项和．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，，，，，，．

（1）证明：平面ABCD．

（2）若M为PD的中点，求P到平面MAC的距离．

20．（12分）

已知函数．

（1）若在上不单调，求a的取值范围；

（2）若的最小值为-2，求a的值．

21．（12分）

已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在抛物线E上，且．

（1）求抛物线E的标准方程．

（2）过F的直线与抛物线E交于A，B两点，与准线l交于C点，若直线PA，PB，PC的斜率分别为，，，证明：是，的等差中项．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且两曲线与交于M，N两点．

（1）求曲线，的直角坐标方程；

（2）设，求．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）若关于m的不等式有解，求实数x的取值范围；

（2）若对任意的实数x，不等式恒成立，求实数n的取值范围．

高三数学考试参考答案（文科）

1．B 因为，，所以．

2．C 因为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限．

3．C 因为，所以．因为的周长为，所以，所以，故椭圆C的离心率为．

4．C 因为，所以，所以，所以．因为，所以．

5．C 作出不等式组对应的可行域（图略）可知，当直线经过点时，z取得最小值-3．

6．D 因为命题p，q均为假命题，所以为真命题．

7．D 因为为偶函数，所以，因为，且在上单调递增，所以．

8．A ，；，；，；，；…．所以S的值以-1，，2的形式循环，当时，输出的．

9．B 因为函数在R上是奇函数，所以，所以，经检验，满足题意．因为为减函数，所以，所以的大致图象为B．

10．D 由图可知，，则，所以．

由，，得，所以．

函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以D正确．

11．C 与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量为万，第四次总人数增长量为万，A正确．显然，对比这7次全国人口普查结果，我国城镇人口数量逐次递增，B正确．第三次全国人口普查城镇人口数约为万，C不正确．第七次全国人口普查城镇 人口数约为万，D正确．

12．B 在直角梯形ABCD中，因为，，，所以，取BD的中点F，连接AF，则．

又因为平面平面BCD且交于BD，所以平面BCD．

过C作，且使，连接AE，EF，BE，则为所求的角．

在Rt△AFC中，．在Rt△AFE中，．

因为，所以△AEC为直角三角形．

所以，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为．

13．5 因为，所以，所以．

14．2 因为双曲线E的渐近线与圆C相切，所以圆心到双曲线E的渐近线的距离，故．

15．  由正视图和侧视图可知该鳖臑的直观图如图所示，，Q为ON的中点．设，则，,，．

所以该鳖臑的体积为．由，得．

因为其外接球的直径为，所以外接球的体积为．

16．或 设l与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，消去b，整理得，解得或．当时，l的方程为；当时，l的方程为．

17．解：（1）由题知，任意抽取1人，抽到A等级学生的概率为．

（2）由题知，抽取的10名学生中A，B，C，D等级的人数分别为1，3，4，2．

记这10人分别为A，，，，，，，，，，

从中抽取2人的所有情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共45种，

其中同等级的情况有，，，，，，，，，，共10种．

所以这2人等级相同的概率为．

18．（1）证明：因为，所以当时，；

当时，，

所以，所以．

即是首项为1，公比为3的等比数列．

故．

（2）解：由（1）知，

所以

．

19．（1）证明：由题可知△ABC为等边三角形，所以，．

在△ACD中，由余弦定理得，所以，所以．

因为，且，所以平面PAC．

因为平面PAC，所以．

因为，且AB，CD相交，所以平面ABCD．

（2）解：因为，，，所以△ACD的面积为．

因为M为PD的中点，，．

所以三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为．

在△MAC中，，，所以△MAC的面积为．

记D到平面MAC的距离为d，则，所以．

因为P到平面MAC的距离与D到平面MAC的距离相等，所以P到平面MAC的距离为．

20．解：（1）．

若在上单调，则只能在上恒成立，

所以在上恒成立，

所以，即．

因为在上不单调，所以a的取值范围是．

（2）．

①当时，，在上单调递增，此时无最值．

②当时，令，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以的最小值是，则．

令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以方程只有一个根，

故a的值为-1．

21．（1）解：由抛物线的定义知．

因为在抛物线E上，所以，所以，

所以抛物线E的方程为．

（2）证明：由（1）知，，．

由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，，．

联立方程组得，

则，．

因为，所以．

因为，，

所以，

所以，

故是，的等差中项．

22．解：（1）由曲线的参数方程，得，

即曲线的直角坐标方程为．

由曲线的极坐标方程，得，

即的直角坐标方程为．

（2）因为在曲线上，

所以曲线的参数方程为（t为参数），

代入的直角坐标方程，得．

设M，N对应的参数分别为，，则，，

所以．

23．解：（1）因为关于m的不等式有解，

所以，即．

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时．

综上所述，实数x的取值范围是．

（2）因为

当时，函数单调递增，则；

当时，函数单调递减，则，即；

当时，函数单调递减，则．

综上所述，函数的最大值，

由题知，，所以，解得或．

因此，实数n的取值范围为．