初中数学第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明达标测试

5.3.2 命题、定理、证明

基础对点练

知识点1 命题

1.下列语句中是命题的是（       ）

A．作线段AB=CD B．两直线平行

C．对顶角相等 D．连接AB

【答案】C

【解析】

【分析】

根据命题的定义，对一件事情做出判断的语句叫做命题，进行判断

【详解】

解：A、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题；

B、没有对一件事情做出判断，所以不是命题；

C、对顶角相等是命题，故C正确；

D、连接AB，是描叙性语言，它不是命题．

故选：C．

【点睛】

本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

2.下列命题是真命题的是（       ）

A．相等的角是对顶角

B．同角的余角相等

C．两直线平行，内错角互补

D．互补的角是同旁内角

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对顶角的定义，余角的性质，平行线的性质等知识一一判断即可．

【详解】

解：、相等的角是对顶角，是假命题，本选项不符合题意．

、同角的余角相等，是真命题，本选项符合题意．

、两直线平行，内错角互补，是假命题，本选项不符合题意．

、互补的角是同旁内角，是假命题，本选项不符合题意．

故选：．

【点睛】

本题考查对顶角的定义，同角的余角相等，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3.下列命题中是假命题的是（       ）．

A．等角的补角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行

C．对顶角相等 D．同位角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等角的补角，平行线的性质，对顶角的性质，进行判断．

【详解】

A. 等角的补角相等，是真命题，不符合题意；

B. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；

C. 对顶角相等，是真命题，不符合题意；

D. 两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意；

故选D．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质及补角的定义等知识．

4.命题“如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0”是__________（填“真命题”或“假命题”）

【答案】真命题

【解析】

【分析】

根据“a的相反数是-a”确定命题的正误即可．

【详解】

解：∵a，b互为相反数，

∴b=-a，

∴a+b=a+（-a）=0，

∴命题“如果a，b互为相反数，那么a+b=0”是真命题，

故答案为：真命题

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解a的相反数是-a．

5.（1）命题“两锐角之和一定是钝角”的题设：_____，结论：_____；

（2）命题“内错角相等，两直线平行”的题设：_____，结论：_____．

【答案】     两个角是锐角     两个角的和为钝角     内错角相等     两直线平行

【解析】

【详解】

试题分析：把命题改写成“如果…，那么…”的形式，然后根据如果后面的是题设，那么后面的是结论写出即可．

解：（1）命题“两锐角之和一定是钝角”的题设：两个角是锐角，结论：两个角的和为钝角；

（2）命题“内错角相等，两直线平行”的题设：内错角相等，结论：两直线平行．

两个角是锐角，两个角的和为钝角；内错角相等，两直线平行．

点评：本题考查了命题与定理，把命题改写成“如果…，那么…”的形式是解题的关键，难度较小．

6.下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的是_____（填序号）

【答案】①③

【解析】

【详解】

分析：分别根据平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论对各小题进行逐一分析即可．

详解：①符合对顶角的性质，故①正确；

       ②两直线平行，内错角相等，故②错误；

       ③符合平行线的判定定理，故③正确；

       ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故④错误．

       故答案为①③．

点睛：本题考查的是平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论，熟知以上各知识点是解答此题的关键．

7.判断下列语句是否是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论，同时判断其真假

（1）作直线AB的垂线．

（2）相等的角是对顶角．

（3）你喜欢数学吗？

（4）OC平分∠AOB．

（5）两直线平行，内错角相等．

（6）同角的补角相等．

【答案】（1）是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；（2）是命题；如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；题设是两个角相等；结论是这两个角是对顶角；此命题是假命题；（3）表示疑问的句子，没有对事情做出判断，所以此语句不是命题；（4）陈述了一个事情，没有做出判断，不是命题；（5）是命题；如果两平行线被第三条直线所截，那么内错角相等；题设是两平行线被第三条直线所截，结论是内错角相等；此命题是真命题；（6）是命题；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；题设是两个角是同一个角的补角，结论是这两个角相等；此命题是真命题．

【解析】

【分析】

判断语句是否为命题要紧扣两条：（1）命题必须是一个完整的陈述句；（2）必须对某件事情做出肯定或否定的判断．这二者缺一不可．

【详解】

（1）是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；

（2）是命题；

改写：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；

题设：两个角相等；结论：这两个角是对顶角；

此命题是假命题；

（3）表示疑问的句子，没有对事情做出判断，所以此语句不是命题；

（4）陈述了一个事情，没有做出判断，不是命题；

（5）是命题

改写：如果两平行线被第三条直线所截，那么内错角相等；

题设：两平行线被第三条直线所截；结论：内错角相等；

此命题是真命题；

（6）是命题

改写：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；

题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等；

此命题是真命题．

【点睛】

本题考察了命题的概念，判断语句是否为命题的两个条件是做题的关键．

知识点2 定理、证明举反例

8.判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例.反例中的可以为（    ）

A.       B.       C.       D.

【答案】A

9.（2021年浙江省宁波市鄞州区中考模拟九年级数学试题（一模））已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（       ）

A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°

【答案】C

【解析】

【分析】

从两个角的是180°，两个角既不是锐角，也不是钝角的去分析判断即可

【详解】

∵90°+90°=180°，

∴两个角互补，

∵90°，90°都是直角，

∴这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角是假命题，

故选C．

【点睛】

本题考查了互补，锐角，直角，钝角的分类，命题的真伪，熟练掌握互补的定义，角的分类是解题的关键．

10.举例说明命题“如果，那么．”是假命题，______，______，______．（写出一组即可）

【答案】     1     2     -2

【解析】

【分析】

根据不等式的性质举反例说明即可．

【详解】

解：a=1，b=2，c=-2，

则ac＞bc，a＜b，

故答案为：1，2，-2．

【点睛】

本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题．

11.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．

（1）两个锐角的和是锐角；

（2）邻补角是互补的角；

（3）同旁内角互补．

【答案】（1）是假命题，见解析；（2）是真命题；（3）是假命题，见解析

【解析】

【分析】

（1）锐角之和可以为钝角；

（2）根据邻补角定义“另一边互为反向延长线的角叫做邻补角”进行解答即可判断；

（3）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补进行解答即可判断．

【详解】

（1）两个锐角的和是锐角，假命题．反例为：与的和为；

（2）邻补角是互补的角，真命题．理由：根据邻补角的定义“互为邻补角的两个角之和为平角”，即互补；

（3）同旁内角互补，假命题．反例为：任意一个三角形的两个内角都是相对于它们所夹边的同旁内角，但它们之和小于，故不互补．

【点睛】

本题考查了真假命题，解题的关键是要正确的判断出命题的真假．

12.如图，直线AB、CD被直线EF所截，GH是∠EGC的平分线，∠EGH=56°，∠EIB=68°，说明AB∥CD的理由．

解：因为GH是∠EGC的角平分线（                 ）

所以∠EGH=∠HGC=56°（                                     ）

因为CD是条直线（已知）

所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（                      ）

所以∠IGD=68°

因为∠EIB=68°（已知）

所以__________=__________（                    ）

所以AB∥CD（                                                     ）

【答案】角平分线的意义，平角的意义，∠IGD，∠EIB，等量代换，同位角相等，两直线平行

【解析】

【分析】

根据题意和图形，可以写出解答过程中空格中需要填写的内容，本题得以解决．

【详解】

解：因为GH是∠EGC的角平分线（       已知       ）

所以∠EGH=∠HGC=56°（角平分线的意义）

因为CD是条直线

所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（平角的意义）

所以∠IGD=68°

因为∠EIB=68°

所以__∠IGD __=__∠EIB __（等量代换）

所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

【点睛】

本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

能力达标练

13.对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ）

A.，   B.，   C.，   D.，

【答案】B

14.对于同一平面内的三条直线，，，给出下列5个论断：①∥；②∥；③；④∥；⑤.以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，组成一个你认为不正确的命题是                  （      ）

A.已知①②，则④   B.已知①②，则⑤   C.已知②④，则①   D.已知③⑤，则②

【答案】B

15.下列命题中是真命题的是（       ）

A．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等

B．两条平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行

C．同旁内角相等，两直线平行

D．若线段与没有交点，则AB∥CD

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质即可依次判断.

【详解】

A. 两条平行直线被第三条直线所截，所得的同位角相等，故该选项错误；

B. 两条平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行，故该选项正确；

C. 同旁内角互补，两直线平行，故该选项错误；

D. 在同一平面内，直线与没有交点，则AB∥CD，故该选项错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质及判定．

16.如图，给出下列论断①AB∥CD②AD∥BC③∠A+∠B=180°④∠B+∠C=180°其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题为__

【答案】如果AD∥BC,那么∠A+∠B=180 º（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，得到：若（1）AB∥DC则有（4）∠B+∠C=180；由（2）AD∥BC可以得到（3）∠A+∠B=180°．反之，根据平行线的判定，也成立．

【详解】

根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，得到：若AD∥BC则有∠A+∠B=180°（答案不唯一）；

【点睛】

题是一个开放性问题，根据条件自己编题目，是中考中经常出现的问题．

17．（江苏省泰州市医药高新区2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，①ABCD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC．

（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；

（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．

【答案】（1）条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④（答案四选一即可）；（2）真命题，理由见解析（答案不唯一）

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得出有四种情况，分别为：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④．

（2）条件为②③④时，可通过内错角互补证出结论①成立，故为真命题；条件为①③④，①②④和①②③时，可通过两条直线平行，内错角互补等量代换证出相应结论成立，故都为真命题．

【详解】

（1）由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④．

（2）解：当选取条件②③④，结论：①时

∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC

∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2

又∵∠1+∠2=90°

∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°

∴ABCD

当选取条件①③④，结论：②时

∵ABCD

∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°

∵∠1+∠2=90°

∴∠ABE+∠CDE=90°

又∵DE平分∠BDC

∴∠CDE=∠2

∴∠ABE+∠2=90°

∴∠ABE=∠1

∴BE平分∠ABD

当选取条件①②④，结论：③时

∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC

∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2

∵ABCD

∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°

∴2∠1+2∠2=180°

∴∠1+∠2=90°

当选取条件①②③，结论：④时

∵ABCD

∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°

∵∠1+∠2=90°

∴∠ABE+∠CDE=90°

又∵BE平分∠ABD

∴∠ABE=∠1

∴∠1+∠CDE=90°

∴∠CDE=∠2

∴DE平分∠BDC

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，灵活运用内错角互补等量代换出角的和差关系是解决本题的关键．

拓广探索突破

18.如图，已知在△ABC中，∠1=∠2．

（1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；

（2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；

（3）如果“已知在△ABC中，∠1=∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？

【答案】（1）AC∥BE；（2）∠1=∠ABE或∠1=∠DBE；（3）是真命题

【解析】

【详解】

（1）AC∥BE；

（2）∠1=∠ABE或∠1=∠DBE；

（3）是真命题，理由如下：

因为BE是△ABC的外角平分线，

所以∠ABE=∠DBE，

又∵∠ABD是三角形ABC的外角，

所以∠ABD=∠1+∠2，

即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2，

又∵∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，

所以∠ABE=∠1

所以AC∥BE