数学五年级下册分数的意义教学设计及反思

《分数的意义》教学设计

教学目标

1.在动手操作中让学生体验，感悟并理解单位“1”；在不断的比较中，引导学生深入理解分数的意义；体会分子，分母与分数单位的具体含义。

2.在联系生活的实践中，能正确解释在生活情境中分数的含义；学会用分数来描述生活中的事物。

3.在分析、比较、辨析的活动中，培养学生的观察、抽象与概括能力。

教学过程

一、复习引入,在一个图形中表示分数

结合1/4这个分数，请你说一说，对于分数你已经知道了哪些知识。

（课件出示）

这些图，哪些能用1/4表示，哪些不能？请说明理由。

【设计意图】开门见山，直接以一个学过的分数导入新课，探寻学生的学习起点，复习旧知，为新课的学习做好铺垫。

二、教学新知,在一些图形中表示分数

 1.在操作中初步体验单位“1”的含义

（1）呈现学习任务

   先圈出若干个圆 ‚再将你所圈的若干圆的1/4涂上颜色。

（2）独立实践研究

（学生活动：每名同学的桌上有四张学习纸，告知学生一张纸上可画一种方法，若画完不够的可继续向老师要学习纸。时间为3分钟。）

【设计意图】在三年级时学生已经学习过分数，有了初步的认识。面对一个分数，学生更关注“平均分成几份”而很少关注这个分数表示“谁的几分之几”，即单位“1”的来历。因此，笔者设计了以上环节，不仅仅是让孩子充分感受单位“1”的变化，而且引导学生理解“在表示分数之前必须考虑把几个圆看做一个整体”，进而关注“把谁看做一个整体”，也就是确定好单位“1”。

 2.在对比中深入感悟“单位1”的含义

（1）选取典型，促进学生对概念本质的理解

（出示学生作品）

（引导说清楚：把4个圆平均分成4份，表示其中的1份，就是这4个圆的1/4。）

师（追问）：涂色部分是这4个圆的（1/4 ），那空白部分是这4个圆的（3/4 ），1/4+3/4=1，这个“1”指得是1个圆吗？

生：不是，是4个圆了，把4个圆看成了一个整体。

（2）类比材料，加深学生对概念本质的理解

圈8个，涂上两个圆的颜色.

师：比较观察，1号图和2号图有什么不同点？有什么相同点？

师（总结）：虽然他们研究的整体不一样，1份所代表的结果也不一样，但是他们都平均分成了4份。

（3）变式材料，巩固学生对概念本质的理解

生1：把2个圆作为一个整体，平均分成4份，表示其中的一份，就是这2个圆的1/4。

生2：把6个圆平均分成4份，表示其中的一份，就是这6个圆的1/4。

师：这幅图的一份是清晰的看出来了，那其他的三份在哪里？谁能将它分出来让大家看明白。（生演示将6个圆平均分成4份）

 出示圈5个，表示出其中的1/4。

【设计意图】对于孩子们寻找的1/4，笔者分三步进行反馈：从圆的数量等于均分数（原有认知）——圆的数量大于均分数（扩展单位“1”的概念）——圆的数量不是均分数的倍数（对于单位“1”本质意义的理解），帮助学生逐步建立“一个整体”的概念，使学生对于单位“1”数学模型的抽象提炼和数学定义的归纳概括更加顺理成章。

 3.概括提升,在对比中加深对单位“1”的理解

（1）概括延伸，强化学生对概念的应用

师：1号图的1/4表示的是（1）个圆，2号图的1/4表示的是（2）个圆，怎么回事呢？

生：整体不一样，1份是1个圆的整体是4个圆，1份是2个圆的整体是8个圆。

师（追问）：如果表示的是3个圆，那么这个整体可能是（    ）。若表示的是7个圆，那么整体又可能是（    ）。

师：如此思考，那你们觉得这个整体还可能是？

生：32、36、64、240、400……

师：是啊！这个整体可以表示很多很多的数。数学上把这样的整体叫做单位“1”。

师：数学上这些不同数量的圆可以表示单位“1”，生活当中还可以把什么表示成单位“1”。

【设计意图】作为数学学习的促进者, 针对学生的回答适时追问:“同样是1/4, 为什么前面是1个圆, 而这里却是2个圆呢? ”“也可以是3个圆, 你觉得行吗? ”这些适时追问，不断将学生的数学思维引向深入, 突出教学的重点：单位“1”的不同导致分数所表示的量的不同。为孩子们后续学习分数应用题做好铺垫。

（2）总结比较，整理回顾单位"1”的研究过程

出示三年级时表示的和本节课表示的。

师：这些是三年级时学过的的表示方法，这些是五年级学习的表示方法，有什么不一样？

三、巩固练习,突破分数单位的意义

1.基础练习，理解分数单位的意义

出示：

独立完成——集体口答汇报

比较三幅图的异同。

小结：三个分数的分数大小是一样的（灰色部分），但是他们的分数单位是不一样的（课件中用蓝色强调）。

2.综合练习，深化分数单位的应用

出示：

想一想：涂色部分可以用哪个分数来表示？

师：同样一幅图，怎么可以表示出这么多的分数？他们不同点在哪里？

四、拓展提升，完善分数意义的理解

1. 借助数轴，表示分数。

师：这是一条数轴，我们把“0”到“1”看作单位“1”，那“1/4”在哪？2/4,3/4呢？

2．观察分数，发现规律。

在这条数轴上可以表示多少个分数？你发现了什么？

 如果把“0”到1/2这一段看作“A”段，1/2到1这段看作“B”段，那么黑板上的分数分别在哪一段？为什么？

师：如果这个点在“1”～“2”之间,那应该用什么分数表示呢？看来有关分数的知识还很多，有待我们进一步学习和探索。

【设计意图】通过练习将分数回归到数轴上来，将分数的认识“去情境化”，引领学生把分数看成真正的“数”来认识，为后续学习积累丰厚的经验。学生通过对数轴上分数的观察发现，为“分数大小比较”、“分数的基本性质”学习积累了经验；同时发展了数感，渗透了极限等数学思想方法，为今后的学习埋下伏笔。

五、追根溯源，感受分数产生发展渊源

视频播放分数产生的来源及分数表示的演变过程。（内容为书60页、62页“你知道吗?”）

【设计意图】在三年级下册学习“分数的初步认识”时，孩子们对分数的产生有了一定的了解，这里通过视频这种孩子们喜闻乐见的方式再来回忆、感受分数产生的来源，可以让学生更全面地了解分数的意义：“分数”首先是一个具体的数，分数还可以表示部分与整体的关系，分数还是两个数的商或者两个数的比……从而完善孩子们知识结构。另外，通过对分数的产生、演变过程的了解，学生也丰富了对分数历史的了解，扩大了知识面。

 《分数的意义》教学设计

01

教学内容

分数的意义

02

教学目标

1.理解单位1，在情境中理解分数单位的意义。

2.在动手操作中，感悟理解分数的意义。

3.在理解分数意义的过程中，渗透数形结合的思想方法，培养学生抽象概括能力。

03

教学重难点

理解单位“1”，理解分数的意义，认识分数单位。

04

教学过程

一、初步感知单位“1”

1）1的畅想

师：看到1你想到了什么？ 我们周围哪些物体的数量可以用1表示？

师：班级里45个人能用1表示吗？15个苹果呢？……

小结：不管数量多少都可以看成是一个整体，用1表示。 所以1不仅可以表示一个物体，还能表示一些物体组成的一个整体。

2）感知单位“1”

出示三种不同颜色的圆片：

师：如果是2个红圆表示1，其他两种颜色用几来表示呢？ 如果是4个黄圆看成1呢？

追问：都是这么多的蓝色圆片为什么一会儿是4，一会儿是2呢？

小结：1是度量标准，也就是单位，可以直接说成单位“1”（板书：单位“1”）.

【说明】单位“1”是一个重要概念，正确理解单位“1”是准确理解分数意义的前提。本环节从学生最熟悉的自然数1入手，由1联想，调动起学生已有的认知：一个物体可以用1表示。由“45个人能用1表示吗”引发学生运用整体的眼光认识一些物体。从而让学生对1有了新的认识，不仅能表示一个物体，还能表示一些物体组成的一个整体。三种不同颜色的圆片是认识整体“1”过渡到认识单位“1”的桥梁。2个红色圆片表示“1”或4个黄色圆片表示“1”时，蓝色圆片分别用什么数表示？学生在思考过程中进一步明白“1”作为一个比较标准的作用，由于把“1”作为一个度量标准，所以才有“有几个‘1’就用几表示”的认识，并有了这样的体会：因为度量标准“1”不同，所以结果不同。

二、教学分数的意义

1）认识分数单位

师: 这个单位“1”和分数有着密切的关系。今天，我们就带着单位“1”来学习分数的意义（板书课题：分数的意义）。

播放视频：古人用绳子量一段长度，发现不能正好量完。

师:不能正好量完怎么办？

预设：将绳子对折，就是平均分成几段再量。

【说明】通过视频再现古人用绳子测量物体长度的方法，脱离了具体情境中用具体数量创设分数产生的情景，使分数的产生变得更自然。当不够单位“1”，同时又无法用小数表示时，学生自然而然想到分数，这样能让学生在一个相对抽象的基础上真正意识到分数产生的必要性。

分着分着,分数就产生了。如果将绳子看成单位“1”，用线段表示如下：

引导学生边看图边思考下列问题。

①测量中，不能用单位“1”刚好量完，怎么办？

把这根绳子平均分成了几份？每份是多少？

②这时产生了新的测量标准1/4。请用这个新测量单位测第二条线段，估计量几次？这条线段长多少？

验证：课件演示1个1/4，2个1/4，3个1/4是3/4.

同样的方法验证第三条第四条线段，分别得到4/4，5/4。

③观察3/4，4/4，5/4这三个分数是以什么为计数单位数出的？

想一想用1/4还能数出哪些分数呢？

小结：这些分母是4的分数都是以1/4为单位数出来的，1/4就是它们的分数单位。

④回忆这些分数是怎么来的？

师：我们把单位“1”平均分，产生了1/4这样的分数单位，用分数单位度量，产生了3/4，5/4，6/4一系列的分数。

⑤如果一个分数是3/5，它的分数单位？有几个1/5？2/7的分数单位呢？△/100的分数单位呢？

追问：分数单位有什么共同特点？

【说明】从古人的绳子到线段让学生经历了数学抽象化的过程。由单位“1”不能正好量出，于是产生了分数1/4，用1/4这个新的度量标准继续测量，于是产生了一系列以4为分母的分数。这个过程中学生先用1/4进行估测，再用1/4数出三条线段的长度，由“估”到“数”，不仅培养了学生的数感，而且充分体会到分数就是分数单位叠加的过程，依次叠加就可以数出很多很多的分数，这些数出来的分数分母都是一样的，只是分子在不断地增加。正因为对分母是4的分数的充分认识，学生才会感叹分数原来和整数一样是数出来的，并能很快找到其它分数的分数单位，理解分子就是分数单位的个数。

2）构建分数的意义

①出示9个相同的圆，要求从中选出几个表示出它的1/4.

读懂题意，明确要求：

先圈出若干个圆；再将所圈的若干个圆分一分，涂出它的1/4.

预设：

A、 圈4个涂1个

B、 圈8个涂2个

C、 圈2个涂半个

D、 圈1个涂1/4个

E、 圈6个涂1.5个

引导学生理解每一幅作品，结合具体的作品尝试用1/4说一说。空白部分又如何表示呢？

②比较：

对比这些作品，你有什么发现？它们有什么相同和不同之处？

预设：

不同点：单位“1”的具体含义不同；每幅作品圈的个数不同，涂色的个数也不同。

相同点：都是用1/4表示涂色部分。

质疑：为什么都能用1/4表示呢？

③概括分数意义

结合具体分数学生尝试概括分数意义，教师相应小结。

【说明】本环节提供充足的时间和空间让学生在圈一圈、分一分、涂一涂的操作活动中

表示出对分数1/4的不同理解。虽然教师给定了9个圆的素材，但仍然是一个开放的活动。由于单位“1”代表的具体个数由学生确定，因此出现了多种不同情况。有圈出1 个、4个、8个等容易平均分成4份的，也有圈出2个、6个的情况。这些不同作品为更好地理解1/4的意义提供了很好的课堂教学资源。学生对分数意义的理解在画图、语言表述，辨析中一层层深入，最终能自主尝试概括出分数意义。针对“部分学生尝试圈出3个、5个，后来改圈4个”的课堂现象，教师进行适时追问：为什么同学们圈出的圆大多是4个、8个、1个呢？3个、5个圆能不能看成单位“1”表示出1/4呢？抓住课堂意外生成，让学生加深了对分数意义的本质理解：无论是多少个圆都能看成一个整体，都能平均分成4份表示出一份，只是4个、8个等这样的个数容易操作而已。

④先分一分，再用分数表示涂色方框。

反馈：你表示出了什么分数？你是怎么分的？

预设：1/2，2/4，4/8.

问:同样是8个方框里涂了4个框，为什么分数不一样？

小结：表示一个分数，既要关注单位1是什么，还要关注单位1平均分的份数，表示的份数。

三、巩固练习

生活中的分数

资料1：我国小学生中，睡眠不足的人数大约占总人数的2/3.

资料2：小学生每天的睡眠时间应占一天总时间的3/8.

说一说你的感受。

四、课后小结

关于分数，你有哪些新认识？

No.5

看一看：聪明的乌鸦

有这样一则著名的故事，某天,一位苏格兰乡绅发现一只乌鸦在他的暸望塔上筑巢,觉得十分讨厌,决定用枪把它打下来。但是,乡紳每次想接近乌鸦时,乌鸦就远远地飞到一棵树上,边唱歌边得意地看着乡绅。

“哼,难道我真拿你没办法吗?"乡绅思索良久,终于想出一条妙计。

他请来邻居帮忙。两人一起躲进塔楼,之后一个人离开,另一个人继续在里面。可是,乌鸦仍然呆在树枝上。第二天,三个人躲进塔楼，然后两个人陆续离开,但乌鸦还是没与有上当。第三天,来了四个人,三个人陆续离开,还是没有骗过乌鸦。直到最后,五个人躲进塔楼,四个人陆续离开。这下,乌鸦数不清了,就飞回了塔楼。

至于乌鸦的最终下场如何,故事并没有交代。也许经过这次有趣的实验,那位乡绅觉共得鸟鸦还蛮可爱的,于是决定让它留下来继续筑巢吧。

鸟类拥有简单的计数能力,那么人类呢?事实上,并非所有人类部落都发展了计数技术,好多原始文明只能分辨几个小数目,数目多的话就只能叫“许多”了，这本领还比不上现在的幼儿园小朋友。人类学家发现,塔斯马尼亚岛土著所知道的数就是“1,2,很多”。澳大利亚的一些土著到近代才有数的概念,而且也只有初步的认识。他们的计数无非是“1,2,3,4,5,6,许多”。尽管他们也生存了下来,但谈不上创造了高级的文明

人之区别于其他动物,其根本是什么?有人说是劳动,有人说是道德,有人说是符号(如语言、文字等),这些答案都或多或少有些道理。但无论如何,只有当人类发明文字和数字之后,人类的文明オ真正开始起步。

《分数的意义》教学设计

教材内容：新人教版五年级下册

教学目标

1.了解分数的产生，理解分数的意义。

2.理解单位“1”的含义，认识分数单位，能说明 一个分数中有几个分数单位。

3.在理解分数含义的过程中，渗透比较、数形结合等数学思想方法，培养学生的抽象概括能力。

教学重难点

教学重点：理解分数的意义。

教学难点：理解单位“1”，认识分数单位。

学情分析

（1）学生的思维特点

    五年级学生已经具备丰富的合情推理的能力，他们的抽象逻辑思维在很大程度上还需要直观形象思维的支撑。

（2）学生的知识基础

    从整体来看，分数的意义是在学生已经经历了分数的初步认识和积累了丰富的感性经验的基础上进行教学的。因此分数的意义已经在五年级学生的头脑中形成了概念。同时，五年级的学生已经有了一定的自学能力，并能通过已往学过的知识，在动手操作活动中发现和解决一些问题。

（3）学生的学习经验

    学生具备电子书包的使用经验，会操作联想平板电脑和交互式电子白板，参加“Aiclass”教学平台相关培训，有基本的数学语言表达能力。

教学方法

    本课坚持以学生为主体,教师为主导的原则。采用启发诱导、探究等教学法,并穿插自学、练习。通过动手操作、直观演示,让学生充分感知,再经过比较、归纳,突破许多物体组成的一个整体也可以看作单位1这一难点,层层推进、步步深入,并在此基础上理解分数的意义,培养了学生的多种能力。

教学过程

一、直奔课题

1、了解分数的产生

师：课件出示，问：同学们这个是什么数？（分数）分数的产生是怎样呢？来，我们看视频了解一下。（播放微课视频）

师:同学们，看完视频你有什么感想？（请2-3名生说）你真棒！三年级我们初步认识了分数，这节课我们继续来研究分数的意义（板书课题）

二、探究新知， 理解分数的意义

1、认识分数

师：分数有几部分组成，谁知道？请你说 ， 谁听懂了？请你说。

2、描述分数的意义

师：我们已经了认识了这个分数，请你用自己喜欢的方式表示的含义，请看要求：

①选取学具，用阴影部分表示的含义  

②拍照上传

③同桌交流你表示的的含义

反馈：请4名生说

生1：一个图形

师：请你说一说你表示的1/4的含义（同意吗？你真棒！）

生2：一条线段

师：你也来说一说你表示的1/4的含义（手势判断）

生3 ：一些物体（4根香蕉）

师问：他表示对了吗？（指着香蕉让生手势判断）谁来说说他表示的1/4的含义？

生4：8个面包

师：请你来说说你表示的1/4的含义，同意吗？掌声送给他。

师：同学们，真能干！请大家仔细观察这些作品（指着课件上的4副作品），它们有什么相同点？又有什么不同点？（先独立思考再同桌交流）指名3-4名生反馈

相同点：都是平均分，（对只有平均分才能用分数表示）平均分成的份数相同。

不同点：分的物体不同，物体数量也不同，每一份的数也不同。

3、强化单位“1”

师：它们分别把什么物体平均分成了4份？（指着4副图说）

学生说一种，贴一种（也就是一个图形，数学中我们把这样的一条线段叫做一个计量单位，像4根香蕉，8个面包这样的就是一些物体）

师：我们把一个图形，一个计量单位，一些物体（手板书）看作一个整体（贴整体），这个整体（手指着说）我们可以用自然数1表示，我们通常把它叫做单位“1”。（贴单位“1”）

想一想：我们还可以把什么看成单位“1”？（请4-5生说）

你们说的都是一个物体，对，一个物体也可以看成单位“1”（贴一个物体）

预设：没有人说一些物体则问：除了一个物体还可以把什么看作单位“1”？

请你说。你真棒！

小结：单位“1”（指着说）小到一一粒尘埃，大到整个宇宙空间，无所不能，平均分谁，谁就是单位“1”。

4、理解分数的意义

师：请看这个单位“1”，你还能表示出不同的分数吗？动手圈一圈，涂一涂，并与同桌交流你所表示的分数的含义。（规范学生：把（）看作单位“1”，平均分成几份，表示这样的几份，就是它的几分之几。）

反馈：选4副作品展示（1/2  2/4  1/8  n/8）

生1： 生2： 生3：  生4：

师：同一个单位“1”为什么可以用不同的分数来表示？

请你说！请你说！预设：平均分的分数不同，取的分数也不同。

小结：把单位1平均分成了几份，分母就是几，表示这样的几份，分子就是几。

师：你能用一句话来概括什么是分数吗？想一想（停顿一下）四人小组交流（师巡听后指名说）

反馈：生1： 生2：  生3：重复强化

师：对！边说边边板书分数的意义：

把一个整体（也就是单位“1”）平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。

5、认识分数单位

课件出示书上做一做：圈一圈，涂一涂，填一填，完成后提交。

一堆糖

平均分成2份，每份是这堆糖的（     ）；

平均分成3份，2份是这堆糖的（     ）；

平均分成4份，3份是这堆糖的（     ）；

平均分成6份，5份是这堆糖的（     ）。

提交完后师问：请看，这位同学都做对了吗？你们呢？看来同学们都会运用分数的意义来解决问题，那你知道什么是分数单位？

请打开课本46页，找一找什么叫分数单位（找完击掌）

问：找到了吗？请你说！（请一名生说并板书全班齐读）

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。

师：请看！（指着以上分数）这些分数的分数单位分别是什么？（生说师板书分数单位在该分数的后面）

师：你知道分数单位与分数之间有什么联系吗？

问：请看这幅图（指着1/2的图），为什么这样圈？

生：

师：真能干！6颗是一份，这一份就是这堆糖的1/2。那这幅图（指着2/3的图）一份有几颗？

生：

师：4颗是一份，一份就是它的1/3也就是2/3的分数单位。那2/3里面有几个这样的分数单位呢？（2个）

师：对！取了2份就有2个这样的分数单位（指着图说后板书2个）

师：你知道这两个分数（指着3/4,5/6）与它们的分数单位有什么联系吗？

生：3/4里面有3个1/4，5/6里面有5个1/6。

师：仔细观察，你有什么发现？（指着板书说）

想一想（停顿一下）四人小组交流

请4-5名生说

小结：不管把单位“1”平均分成几份，只取一份的数就是分数单位，也就是几分之一，取几份就有几个这样的分数单位。

三、巩固练习

1、请同学们书架练习2，独立完成（投影一份正确的答案全班对）

师：同学们真会学习！2/7的分数单位是1/7，有两个这样的分数单位，那5个这样的分数单位是多少？23个1/1000是？同学们真聪明！

2、课件出示：每组共有几根胡萝卜？请你补充完整。（独立完成）

师：为什么每份的数量一样，而单位“1”的总数量不一样呢？请3 名生强化    生1： 生2： 生3：  （平均分的份数不同）

小结：是的，每一份的数量一样，平均分的份数越多，单位“1”的总数量就越大。

3、（1）课件出示：    

师：露出来的部分是单位“1”的1/4，你能摆一摆，并说一说它的整体是怎样的吗？独立完成并提交，指名说说你是怎么摆的？

（2）课件出示：

师：请看，露出的部分是单位“1”的2/3请你摆一摆遮挡部分有几个圆？摆完说一说遮挡部分是单位“1”的几分之几。（独立完成提交并同桌交流）

反馈：指名说你是怎么想的？

师问：你如何快速的解决这个问题？（请2-3名生说）

小结：只要知道平均分的份数和一份的数量就可以求出单位“1”的总数量，

反馈：展示一名正确的作业并说说你是怎么想的？

四、全课总结

师：这节课你有什么收获？

③数学小故事

数学家华罗庚

     华罗庚出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师.

     少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出.19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路.晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建

设事业奋斗终生！华爷爷悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物.下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学

     游戏：有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明.他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色.

     3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢？为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽.但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌踏了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子.看到这里。同学们可能会拍手称妙吧.后来，华爷爷还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干(不少于n)项白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解.他并告诫我们：复朵的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃.