高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型教案及反思

古典概型

【教学内容】

内容：古典概型的概念及概率计算公式。

内容解析：本节课是是学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下进行教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它曾是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论中占有相当重要的地位，它的引入，使我们可以解决一类随机事件（等可能事件）的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，有利于理解概率的概念，并能够解释生活中的一些问题。

本课题中古典概型是核心概念，但基本事件也是一个很重要的概念，它对学生正确认识与获得古典概型的概念起着十分关键的作用。

基本事件概念中有如下的两个特点：

（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

古典概型概念中的核心是它的两个特征：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；

（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）。

尤其是特征（2），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化古典概型的两个特征及概率计算公式。同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

【教学重点】

理解古典概型及其概率计算公式。

【教学目标】

目标：理解古典概型及其概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率。

目标解析：

1．借助掷硬币、骰子及例1的试验，使学生初步理解基本事件的两个特点，并由学生举例，通过比较、分析引导学生发现随机试验中出现的基本事件有等可能，也有不等可能的情形。

2．引导学生从具有等可能的基本事件的试验中概括出古典概型的两个特征。

3．从掷硬币、骰子试验的有关概率计算中归纳出古典概型的概率计算公式。

4．借助问题背景及动手操作，让学生不断体验基本事件与古典概型的特征充分认识到它们在运用古典概型概率计算公式中的重要性。

5．体验将问题转化为古典概型中的思想，尝试用概率知识解析实际问题，并积极探究有关概率中较复杂的问题，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神。

学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学了随机事件的概率，并亲自动手操作了掷硬币、骰子（包括同时掷两个）的试验，由此归纳出古典概型的两个特征不是难点，关键是以下问题：

1．学生在解决古典概型中有关概率计算时，往往会忽视古典概型的两个特征，错用古典概型概率计算公式，因此在教学中结合例2与问题2进行深入讨论，加深对基本事件（相对性）的理解，让学生真正体会到判断古典概型的重要性，其中可以利用试验、统计、列举等手段来帮助学生解决问题。

2．在归纳概率计算公式时，很多学生可能会不重视，想当然地得出结论，教学中应引导学生揭示公式得出的过程，尤其是基本事件的等可能性（可以借助图形引导学生直观认识），并学会从特殊到一般研究问题的方法。

3．学生初步学习概率，较难将实际问题模型（古典概型）化，因此在教学应重视培养学生建模的意识的能力。

【教学难点】

如何判断一个试验是否为古典概型， 如何将实际问题转化为古典概型问题。

【教学准备】

为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪、多媒体课件，学生准备硬币、骰子数枚。

【教学过程】

1．形成概念。

（1）基本事件：

分析抛掷一枚质地均匀的硬币与骰子的试验结果的特点：相互之间是互斥关系；任何事件都可以表示为它们的和。从而归纳出基本事件的概念。

例1

（1）从字母A、B、C、D中任意取出一个字母的试验中，有哪些基本事件？

（2）任意取出两个不同字母呢？

设计意图：使学生了解基本事件及列举法（画树状图是列举法的基本方法），列出所有基本事件，并为归纳古典概型提供更多背景。

由学生举例：说出试验中的基本事件，并补充一些不等可能的背景：如在掷一枚质地均匀骰子（其中四个面分别标有1、2、3、4，另两个面标有5）的试验中，基本事件分别是什么？

设计意图：让学生深入理解基本事件的意义，体会随机思想，并能认识到基本事件之间有等可能，也有不等可能，这里可以借助图形（如图：用一个圆表示必然事件，若等可能就将它等分，否则不等分）来直观说明。

（2）古典概型。

问题2  在掷一枚质地均匀的硬币或骰子及例1的试验中，基本事件分别有几个，它们之间有什么共同特征？

设计意图：借助具体试验中的基本事件，发现它们的共同特征，概括出古典概型的定义。

师生活动：通过引导，使学生逐步归纳出它们间的共性：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

定义：我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型(classical models of probability)，简称古典概型。

设计意图：使学生进一步理解古典概型概念中的两个特征的含义。

师生活动：由学生来判断并说明理由。

2．归纳公式。

问题2  我们知道：抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上的概率为，抛掷一枚质地均匀的骰子出现“1点”的概率为，由此能否得出古典概型中任何事件的概率计算公式？

设计意图：使学生从特殊问题入手（借助图形），归纳出古典概型概率计算公式。

师生活动：引导学生从特殊试验中发现任意两个基本事件都是互斥且等可能，从而可以得出任一基本事件的概率，又因为任何事件（包括必然事件）都可以表示为基本事件的和，利用概率的加法公式可以得出结果，并从中体会从特殊到一般归纳问题的思想。

古典概型计算任何事件A的概率计算公式为：

3．应用举例。

例3  单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案，请大家完成：

Throw two coins of the same quality with both appearing frontage to face，the probability is （   ）

(A)    (B)    (C)    (D)

设计意图：先统计全班学生选择A、B、C、D的人数（统计思想），再由学生判断该概率模型（只针对选择A、B、C、D）是不是古典概型，并发现：如果掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案；如果掌握了考察的部分内容，他可以提高选择的正确率；假设考生不会做，他只能随机选择一个答案（如某人没有学过英语，他只能猜），答对的概率最低（此时为古典概型），通过亲身感受使学生进一步体验统计与古典概型的意义，同时让学生充分认识到掌握知识的重要性。

探究：在物理考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？

设计意图：使学生通过相似问题背景的比较，进一步理解古典概型在解决概率问题中有关的思想方法。

师生活动：主要解决基本事件的个数，这里可以结合例1的结果。

问题3  抛掷一枚质地均匀的骰子，由骰子的点数为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权，公平吗？同时抛掷两枚质地均匀的骰子，由两枚骰子的点数之和为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权，公平吗？

设计意图：通过动手操作并利用统计手段（统计思想），使学生深入理解在使用古典概型的概率公式时，首先要正确认识试验中的基本事件（相对于研究问题而言），并判断该概率模型是不是古典概型，然后要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

师生活动：向每位学生分发一枚质地均匀的骰子，同桌合作做试验，结合试验中的统计数据，通过交流与讨论，尝试解决此问题。在分析此问题时，要引导学生充分认识到：解决同一问题可能有多个角度确定基本事件，但并不是都等可能，只有当它们符合古典概型时，才能运用概率计算公式。

例4  假设某人的储蓄卡的密码是由6个数字组成（每个数字可以是0，1，2，…，9中的任意一个），如果他完全忘记了密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？若他知道最后两个数字是自己的生日，结果又会怎样呢？

设计意图：使学生能将实际问题转化（化归思想）为古典概型，了解概率在实际中的应用及其中的化归思想。

练习  某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测到不合格产品的概率有多大？

设计意图：继续培养与提高学生能将实际问题转化为古典概型的能力，不断了解概率在实际中的广泛应用。

探究  随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率怎样变化？为什么质检人员一般都采用抽查的方式而不采用逐个检查的方法？

4．总结提高

（1）本节课学习的主要内容是什么？

（2）在应用古典概型解决概率问题时，应注意什么？

（3）学习了古典概型后，你觉得有哪些收获？

【作业布置】

1．一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率为_________。

2． 在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为_________。

3． 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，

（1）2个数字都是奇数的概率为_________；

（2）2个数字之和为偶数的概率为_________。

4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？，若试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？

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