苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质学案
展开二次函数、的图像
一、教学目的
- 会用描点法画二次函数的图像，掌握它的性质.
2.会用描点法画二次函数的图象，掌握它的性质.
3.渗透数形结合思想.
二、知识梳理
第一部分：二次函数的图像
1.一次函数的图像是一条 ，反比例函数的图像叫做 线.
2. 在平面直角坐标系中画出一次函数的图像.
①列表：
②
③
3.形如 的函数叫做二次函数.
4.当= 时，函数为二次函数.
5.某超市1月份的营业额为100万元，2、3月份营业额的月平均增长率为，求第一季度
营业额（万元）与的函数关系式是 .
【合作探究】
一、自主探索：
1.画二次函数的图像：
⑴列表：
… | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |
… |
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⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成一条平滑的曲线：
2.观察图像:
⑴这条曲线叫做 线.
⑵它是 对称图形，有 条对称轴，对称轴是 .
⑶它与对称轴的交点叫做 ，顶点坐标是（ ），顶点是最 点.
当= 时，y有最 值是 .
⑷该图像开口向 ；在对称轴的左侧，即 时，
随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，
随的增大而 .
⑸图象与轴有 个交点，交点坐标是（ ）.
⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成一条平滑的曲线：
3.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：①②
… | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |
… |
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观察图像指出它们的共同点和不同点： ⑴共同点： .
⑵ 的图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值.
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑶ 图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值.
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑷ 的图像与 的图像关于 成
对称.
二、探究归纳：
1.二次函数的图像是一条 ，它关于 对称；顶点坐标是 ，
说明当= 时，有最值是 .
2.当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
3.当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而
第二部分：二次函数的图像
1. 根据的图象和性质填表：
函 数 | 图 像 | 开口 | 对称轴 | 顶 点 | 增 减 性 | |
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| 向上 |
| （0,0） | 当 时，随的 增大而减少. 当时，随的 增大而 . | |
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| 直线 |
| 当 时，随的 增大而减少. 当 时，随 的增大而 . |
2.抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；取任何实数，对应的值
总是 数；当 时，抛物线上的点都在 轴的上方.
3.抛物线 的开口向 ；除了它的顶点，抛物线上的点都在 轴的 方，
它的顶点是图象的最 点；取任何实数，对应的值总是 数.
4.点A（-1，-4）在函数的图象上，点A在该图象上的对称点的坐标是 .
【合作探究】
一、自主探索：
1.画出二次函数的图象：
⑴列表：
… | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … | |
… | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | … | |
… |
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观察表中所填数据，你发现什么？
⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
2.观察左图:
⑴函数与的图象的 相同，
相同， 相同， 不同；
⑵函数可以看成的图象向
平移 个单位长度得到；
它的顶点坐标是 ，说明当= 时，
有最 值是 .
⑶猜想函数的与性质：
与的图象的 相同，
相同， 相同， 不同；
函数可以看成的图象向 平
移 个单位长度得到；
它的顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
二、探究归纳：
1.二次函数的图象是一条 ，它对称轴是 ；顶点坐标是 ，
说明当= 时，有最值是 .
2.当时，的图象可以看成是的图象向 平移 个
单位得到；当时，的图象可以看成是的图象向 平移 个单位得到.
3.当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 ；
当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
三、典例精讲
例1、已知=是的二次函数.
⑴当取何值时，该二次函数的图像开口向上？
⑵在上述条件下：①当= 时，= .
②当=8时，= .
③当-2<<3时,求y的取值范围是 .
④当4<<16时,求x的取值范围是 .
【课堂检测一】
1.画出下列函数的图像：
⑴ ⑵
… | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |
… |
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2.二次函数的图像开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 取任何
实数，对应的值总是 数.
3.点A（2，-4）在函数的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是 .
4.二次函数与的图像关于 对称.
5.若点A（1，）、B（，9）在函数的图像上，则= ，= .
6.利用函数的图像回答下列问题：
⑴当= 时，= .
⑵当=-8时，= .
⑶当-2<<3时,求y的取值范围是 .
⑷当-4<<-1时,求x的取值范围是 .
7.观察函数的图像，利用图像解答下列问题：
⑴在轴左侧的图像上任取两点A（x1，y1）、B(x2，y2)，
且使0>x1>x2，试比较y1与y2的大小；
⑵在y轴右侧的图像上任取两点C（x3，y3）、D(x4，y4),且使x3>x4>0，试比较y3与y4的大小.
8.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
⑴ 求的值；⑵写出顶点坐标和对称轴．
【课堂检测二】
1.在同一坐标系中画出下列函数的图象：①②
… | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |
… |
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观察左图:
⑴函数 的图象与 的图
像 相同， 相同， 相同，
不同；
⑵抛物线 可以看成是
的图象向 平移 个单位长度得到；
它的顶点坐标是 ，说明当= 时，
有最 值是 .
⑶抛物线 可以看成是
的图象向 平移 个单位长度得到；
它的顶点坐标是 ，说明当= 时，
有最 值是 .
2.抛物线y=-x2+3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的
左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；当x= 时，
y取得最 值，这个值等于 .
3..抛物线y=2x2-1的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称
轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；
当x= 时，y取得最 值，这个值等于 .
4.函数y=4x2+5的可由y=4x2的向 平移 个单位得到；y=4x2-11的可由 y=4x2的向 平移 个单位得到.
5..将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 .
四、巩固练习
第一部分：二次函数
⒈抛物线y=ax2与y=2x2形状相同，则a= 。
⒉已知函数y=ax2当x=1时y=3，则a= , 对称轴是 ，顶点是 , 抛物线的开口 ，
3.抛物线y=－x2的顶点坐标为 ；若点（a，-4）在其图象上，则a的值是 ；若点A（3，m）是此抛物线上一点，则m= ．
4．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为函数y=－x2的图象，是函数y=x2的图象绕 旋转得到的．
5.已知函数y=ax2的图象过点,则此图象上纵坐标为时的点的坐标为 .
6.对于二次函数y=ax2, 已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是
7.若抛物线y=ax2经过点P ( l，-2 )，则它也经过 （ ）
A. P1(-1，-2 ) B. P2(-l, 2 ) C.P3( l, 2) D.P4(2, 1)
8.对于的图象下列叙述正确的是 （ ）
A 的值越大，开口越大 B 的值越小，开口越小
C 的绝对值越小，开口越大 D 的绝对值越小，开口越小
9、已知关于的函数关系式（ 为正常数，为时间）如图，则函数图
象为 ( )
h h h h
o
o t t o t o t
t
A B C D
10．已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2，3)，你能确定它的开口方向吗？你能确定a的值吗
11．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
- 已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2
13.一个函数的图象是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（2,-8).
(l）求这个函数的解析式； (2）画出函数图象； (3）观察函数图象，写出这个函数所具有的性质。
五、拓展提升
第二部分：二次函数的图像
1.抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的
左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；当x= 时，
y取得最 值，这个值等于 .
2.抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称
轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；
当x= 时，y取得最 值，这个值等于 .
3将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象
向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象；将y=x2-7的图象向 平移 个单
位可得到 y=x2+2的图象.
4.将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数关系式是 .
5.点A（2,3）关于y轴的对称点的坐标是 ，点B（-2，-3）关于y轴的对称点
的坐标是 ，点C（a,b）关于y轴的对称点是 .
6.若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 .
7.已知是二次函数.
⑴当时，随的增大而减少，求的值.
⑵若有最大值，求该函数的表达式.
8.已知+3是二次函数，且当时，随的增大而减少．求该函数的表达式.
9.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.
⑴点A的对称点的坐标是 ，点B的对称点的坐标是 ；
⑵求该函数的表达式；
⑶若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值；
⑷点E（2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？
六、课后总结
尺规作图学案无答案： 这是一份尺规作图学案无答案，共11页。学案主要包含了知识梳理，例题精讲等内容，欢迎下载使用。
初三-圆-学案 无答案： 这是一份初三-圆-学案 无答案，共10页。学案主要包含了圆的知识梳理，典例精讲，解答与计算题，课后总结等内容，欢迎下载使用。
中位线（难）学案无答案： 这是一份中位线（难）学案无答案，共11页。学案主要包含了知识梳理，典例精讲，巩固练习，课后作业等内容，欢迎下载使用。
