苏科版5.5 用二次函数解决问题学案及答案

二次函数简单应用

待定系数法与方程

一、课堂导入

二、知识梳理

三、典例精讲

例1、抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.

；

例2、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.

（1）          求二次函数的图象的解析式；

（2）          设二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.

例3、如图，直线交轴于点A，交轴于点B，过A,B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0），

（1）求该抛物线的解析式；

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

四、巩固练习

五、课堂总结

二次函数的三种表达形式？

二次函数应用

一、课堂导入

   水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤。通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤。为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售。

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是       斤（用含x的代数式表示）；

销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

二、知识梳理

1、利润问题    2、面积问题     3、建立模型

(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．

(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．

(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．

(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．

(6)写出答案．

二、典例精讲

例1   商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件.

① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式；

② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？

③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？

（1）y＝(40－x) (20＋2x)＝－2x2＋60x＋800，（2）1200＝－2x2＋60x＋800，x1＝20，x2＝10　∵要扩大销售　∴x取20元，（3）y＝－2 (x2－30x)＋800＝－2 (x－15)2＋1250　　∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元；

例2   用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

，当x＝1时，透光面积最大为m2

例3   有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.

①求这条抛物线所对应的函数关系式.

②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？

（1）设y＝a (x－5)2＋4，0＝a (－5)2＋4，a＝－，∴y＝－ (x－5)2＋4，（2）当x＝6时，y＝－＋4＝3.4(m)；

三、巩固练习

1．关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是         ．

2. 某大学的校门如图所示，是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，你能计算出大学校门的高吗?

3、某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品．甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？（注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费）。

4、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计为 y（万元），且 y＝ax2＋bx，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.

5、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y＝－x2＋x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.

6、 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？

7、某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单元：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．

（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．

（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．

（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

综合练习

一、课堂导入

1、二次函数应用的题型：利润问题    面积问题     建立模型

2、a、b、c与二次函数的关系

二、知识梳理

二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．
（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．

三、典例精讲

例1  某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？

变式  如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．

例2   已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：

①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．

其中正确的个数是（　　）

变式   函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：

①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．

其中正确结论的个数为（　　）

三、巩固练习

1、如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？

2、如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？

3、在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN．其中DE在AB上，AC=8，BC=6．

（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？

4．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

（1）求y与x的函数表达式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；

（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

5．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：

①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．

其中说法正确的是（　　）

6．如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（　　）

7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：

①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．

其中正确结论的个数是（　　）

8．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与

y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：

①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．

其中正确的是（　　）

9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（　　）

①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．