2020--2021学年北师大版八年级下册数学第一章：三角形的证明 综合测评卷 附答案

这是一份2020--2021学年北师大版八年级下册数学第一章：三角形的证明 综合测评卷 附答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共32分）
1. 两个直角三角形全等的条件是
A. 一锐角对应相等B. 两锐角对应相等
C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等

2. 用反证法证明“若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”，第一步应假设
A. a∥bB. a 与 b 垂直
C. a 与 b 不一定平行D. a 与 b 相交

3. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 D 是 BC 边的中点，分别以 B，C 为圆心，大于线段 BC 的长度一半的长为半径画圆弧，两弧在直线 BC 上方的交点为 P，直线 PD 交 AC 于点 E，连接 BE，则下列结论：① ED⊥BC；② ∠A=∠EBA；③ EB 平分 ∠AED；④ ED=AB 中，一定正确的是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

4. 如图，FD⊥AO 于点 D，FE⊥BO 于点 E，下列条件：① OF 是 ∠AOB 的平分线；② DF=EF；③ DO=EO；④ ∠OFD=∠OFE．其中能够证明 △DOF≌△EOF 的条件的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

5. 到 △ABC 的三个顶点距离相等的点是 △ABC 的
A. 三边垂直平分线的交点；B. 三条角平分线的交点；
C. 三条高的交点；D. 三边中线的交点.

6. 已知如图，△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，△ABC 和 △DBC 的周长分别是 60 cm 和 38 cm，则 △ABC 的腰和底边长分别为
A. 24 cm 和 12 cmB. 16 cm 和 22 cmC. 20 cm 和 16 cmD. 22 cm 和 16 cm

7. 如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70∘，则 ∠DAO+∠DCO 的度数是
A. 70∘B. 110∘C. 140∘D. 150∘

8. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，且 D 为 BC 上一点，CD=AD,AB=BD，则 ∠B 的度数为
A. 30∘B. 36∘C. 40∘D. 45∘
二、填空题（共10小题；共40分）
9. 如图，D 是线段 AC，AB 的垂直平分线的交点．若 ∠ACD=30∘，∠BAD=50∘，则 ∠BCD 的大小是 ．

10. 如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，点 D 是 BC 的中点．将 △ABD 绕点 A 旋转后得到 △ACE，那么线段 DE 的长度为 ．

11. 在 △ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，BD 平分 ∠B 交 AC 于点 D，DE⊥BC 于点 E，若 BC=10，则 △DEC 的周长是 ．

12. 已知等边三角形 ABC 的边长是 2，以边 BC 上的高 AB1 为边作等边三角形，得到第一个等边三角形 AB1C1；再以等边三角形 AB1C1 的边 B1C1 上的高 AB2 为边作等边三角形，得到第二个等边三角形 AB2C2；再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2 上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边三角形 AB3C3，⋯，如此下去，这样得到的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 ．

13. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ．

14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36∘，则该等腰三角形的底角的度数为 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，D，E 为斜边 AB 上的两个点，且 BD=BC，AE=AC，则 ∠DCE 的大小为 （度）．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，AD 是 ∠BAC 的平分线．若 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是 ．

17. 一轮船以每小时 20 海里的速度沿正东方向航行．上午 8 时，该船在 A 处测得某灯塔位于它的北偏东 30∘ 的 B 处（如图），上午 9 时行到 C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里（结果保留根号）．

18. 在 △ABC 中，AB=22，BC=1，∠ABC=45∘，以 AB 为一边作等腰直角三角形 ABD，使 ∠ABD=90∘，连结 CD，则线段 CD 的长为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
19. 如图，△ACB 和 △ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD≡90∘，D 为边 AB 上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．

20. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC=90∘，D 为 AC 边上的中点，过点 D 作 DE⊥DF，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 的长．

21. 如图，在 △ABC 中，AB=BC，点 D 在 AB 的延长线上．
（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作 ∠CBD 的平分线 BM；
②作边 BC 上的中线 AE，并延长 AE 交 BM 于点 F．
（2）由（1）得：BF 与边 AC 的位置关系是 ．

22. （1）如图（1），已知在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点 D，E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在 △ABC 中，AB=AC，D，A，E 三点都在直线 m 上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中 α 为任意锐角或钝角．请问结论 DE=BD+CE 是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D，E 是 D，A，E 三点所在直线加上的两动点（D，A，E 三点互不重合），点 F 为 ∠BAC 平分线上的一点，且 △ABF 和 △ACF 均为等边三角形，连接 BD，CE，若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断 △DEF 的形状．

23. 如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，可以说明：△ACN≌△MCB，从而得到结论：AN=BM．现要求：
（1）将 △ACM 绕 C 点按逆时针方向旋转 180∘，使点 A 落在 CB 上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（1）所得到的图形中，设 MA 的延长线与 BN 相交于点 D，请你判断 △ABD 的形状，并说明理由．

24. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，点 D 在 AC 上，已知 ∠BDC=45∘，BD=102，AB=20．求 ∠A 的度数．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. B
4. D
5. A
6. D
7. D
8. B【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA．
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD．
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180∘，
∴5∠B=180∘．
∴∠B=36∘．
第二部分
9. 10∘
10. 33
11. 10
12. 334n 或 3322n 等
13. 75∘ 或 15∘
14. 63∘ 或 27∘
【解析】分为两种情况锐角三角形和钝角三角形
15. 45
【解析】设 ∠DCE=x，∠ACD=y，则 ∠ACE=x+y，∠BCE=90∘-∠ACE=90∘-x-y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y．
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90∘-x-y+x=90∘-y．
在 △DCE 中，∠DCE+∠CDE+∠DEC=180∘，
∴x+90∘-y+x+y=180∘．
解得 x=45∘，
∴∠DCE=45∘．
16. 245
【解析】如图，过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q．
∵AD 是 ∠BAC 的平分线．
∴PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10．
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245．
17. 203
18. 5 或 13
【解析】
过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，在 Rt△BCE 中，由勾股定理得 CE=BE=22，
∴ DE=BD-BE=AB-BE=322．
在 Rt△DCE 中，由勾股定理得 CD=CE2+DE2=5．
过点 C 作 CE⊥BD，交 DB 的延长线于点 E．
在 Rt△BCE 中，由勾股定理得 CE=BE=22，
∴ DE=BD+BE=AB+BE=522．
在 Rt△DCE 中，由勾股定理得 CD=CE2+DE2=13．
综上所述，线段 CD 的长为 5 或 13．
第三部分
19. （1） ∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE．
即 ∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
（2） ∵△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45∘．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45∘．
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=90∘．
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知 AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2．
20. 连接 BD，如图．
∵ 在等腰直角三角形 ABC 中，D 为边 AC 上的中点，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45∘．
∴∠C=45∘．
∴∠ABD=∠C．
又 DE⊥DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF．
∴∠FDC=∠EDB．
在 △EDB 和 △FDC 中，
∠EBD=∠C,BD=CD,∠EDB=∠FDC,
∴△EDB≌△FDCASA．
∴BE=FC=3．
∴AB=7，则 BC=7．
∴BF=4．
在 Rt△EBF 中，EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
21. （1） ①如图所示：BM 即为所求；
②如图所示：AF 即为所求．
（2） BF∥AC
【解析】∵ AB=BC，
∴ ∠CAB=∠C．
∵ ∠C+∠CAB=∠CBD，∠CBM=∠MBD，
∴ ∠C=∠CBM．
∴ BF∥AC．
22. （1） ∵ BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴ ∠BDA=∠CEA=90∘．
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠BAD+∠CAE=90∘，
∵ ∠BAD+∠ABD=90∘，
∴ ∠CAE=∠ABD．
又 AB=AC，
∴ △ADB≌△CEA．
∴ AE=BD，AD=CE．
∴ DE=AE+AD=BD+CE．
（2） 成立．∵ ∠BDA=∠BAC=α，
∴ ∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘-α．
∴ ∠DBA=∠CAE．
∵ ∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，
∴ △ADB≌△CEA．
∴ AE=BD，AD=CE，
∴ DE=AE+AD=BD+CE．
（3） 由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵ △ABF 和 △ACF 均为等边三角形，
∴ ∠ABF=∠CAF=60∘．
∴ ∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．
∴ ∠DBF=∠FAE．
∵ BF=AF，
∴ △DBF≌△EAF．
∴ DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴ ∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60∘．
∴ △DEF 为等边三角形．
23. （1）
（2） 结论“AN=BM”还成立．理由如下：
∵ CN=CB，∠ACN=∠MCB=60∘，CA=CM，
∴ △ACN≌△MCB．
∴ AN=BM．
（3） △ABD 是等边三角形，四边形 MDNC 是平行四边形．理由如下：
∵ ∠DAB=∠MAC=60∘，∠DBA=60∘，
∴ ∠ADB=60∘．
∴ △ABD 是等边三角形．
24. 在 Rt△BDC 中，
∵ sin∠BDC=BCBD，
∴ BC=BD⋅sin∠BDC=102×sin45∘=102×22=10．
在 Rt△ABC 中，
∵ sinA=BCAB=1020=12，
∴ ∠A=30∘．