2021年黑龙江省各市中考数学真题汇编——专题5三角形与四边形

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2021年黑龙江各市中考数学真题汇编——专题5三角形与四边形
一．选择题（共6小题）
1．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
2．（2021•绥化）下列命题是假命题的是（　　）
A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（　　）

A．5.5 B．5 C．4 D．3
4．（2021•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为855．其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
5．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△EOG的面积为（　　）

A．4 B．5 C．2 D．3
6．（2021•绥化）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
二．填空题（共13小题）
7．（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 　 　．
8．（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 　 　．
9．（2021•大庆）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 　 　．
10．（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 　 　．（只需写出一个条件即可）

11．（2021•黑龙江）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝　 　．

12．（2021•牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 　 　．

13．（2021•哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为 　 　．
14．（2021•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　 　．

15．（2021•黑龙江）菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　 　．
16．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　 　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

17．（2021•绥化）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝　 　．
18．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使平行四边形ABCD是矩形．

19．（2021•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使矩形ABCD是正方形．

三．解答题（共5小题）
20．（2021•牡丹江）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F做FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC=2（EC+FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　 　．

21．（2021•哈尔滨）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．
（1）如图1，求证：CE＝BH；
（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．

22．（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝　 　°，写出图中两个等腰三角形：　 　（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 　 　；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM=　 　；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．

23．（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．
（1）求证：△CDE≌△CBH；
（2）当HBHD=15时，求FDFC的值；
（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．

24．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE=43，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年黑龙江各市中考数学真题汇编——专题5三角形与四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
2．（2021•绥化）下列命题是假命题的是（　　）
A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意，
故选：C．
3．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（　　）

A．5.5 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵四边形ABFC是平行四边形，
∴BE＝EC．
∵OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线．
∴OE=12AB，OE∥AB．
∴OGBG=OEAB=12．
∴OGOB=13．
∴S△AOGS△AOB=13，
∵AO＝OC，
∴S△AOB=12S△ABC，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴FC＝AB，FB＝AC．
在△ABC和△FCB中，
AB=CFBC=CBAC=FB，
∴△ABC≌△FCB（SSS）．
∴S△ABC＝S△FCB=12S平行四边形ABFC=24．
∴S△AOG=13S△AOB=13×12S△ABC=16×24=4．
故选：C．
4．（2021•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为855．其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O是BD中点，
∵点F是DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF∥BE，OF=12BE，
∵CE＝4，OF＝6，
∴GF=12CE＝2，故①正确；
BE＝2OF＝12，
∵正方形ABCD中，
∴△DBC是等腰直角三角形，
而OF∥BE，
∴△DOG是等腰直角三角形，
∴OD=2OG，故②正确；
∵BC＝BE﹣CE＝8，正方形ABCD，
∴DC＝8，∠DCE＝90°，
Rt△DCE中，
tan∠CDE=CEDC=48=12，故③正确，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴CF＝DF=12DE，
∴∠CDF＝∠FDC≠45°，
∵∠ACD＝∠BDC＝45°，
∴∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；
Rt△DCE中，DE=DC2+CE2=45，
∴CF=12DE＝25，
∵△CDE的面积为12CE•DC=12×4×8＝16，F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积为8，
设点D到CF的距离为x，则12x•CF＝8，
∴12•x×25=8，解得x=855，
∴点D到CF的距离为855，故⑤正确；
∴正确的有①②③⑤，
故选：C．
5．（2021•黑龙江）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△EOG的面积为（　　）

A．4 B．5 C．2 D．3
【解答】解：∵平行四边形ABFC的面积为48，
∴S△ACF=12S平行四边形ABFC=12×48=24，
∵平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE=12FC，OE∥FC∥AB，
∴S△AEOS△AFC=(12)2=14，
∴S△AEO=14×24=6，
∵BF∥AC，
∴BF∥AO，
∴△BFG∽△AOG，
∴BFAO=BGOG=21，
∵OE∥AB，
∴BGOG=AGEG=2，
∴S△AOGS△EGO=AGEG=2，
∴S△EOG=13S△AEO=13×6=2．
故选：C．
6．（2021•绥化）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得n＝10，
∴这个多边形是十边形．
故选：C．
二．填空题（共13小题）
7．（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 　36°或45°　．
【解答】解：（1）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，求∠ABC的度数．
∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，
∵∠CDA＝2∠ABC，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝36°，
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，求∠ABC的度数．
∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB
∴∠BAC＝2∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：36°或45°．


8．（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 　125或374　．
【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，
当4是直角边时，斜边长=32+42=5，
则12×3×4=12×5×h，
解得：h=125，
当4是斜边时，另一条直角边长=42−32=7，
则12×3×7=12×4×h，
解得：h=374，
综上所述：直角三角形斜边上的高为125或374，
故答案为：125或374．
9．（2021•大庆）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 　﹣3＜a＜﹣2　．
【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，
∴3＜1﹣a＜1﹣2a，
∴a＜﹣2，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，
∴a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜﹣2，
故答案为﹣3＜a＜﹣2．
10．（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 　∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE　．（只需写出一个条件即可）

【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
11．（2021•黑龙江）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝　240383　．

【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，
∴∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，
∴∠ADA1＝60°，
∵DA1＝CD，
∴AD＝DA1，
∴△ADA1为等边三角形且边长为1，
同理：△A1D1A2为等边三角形且边长为2，
△A2D2A3为等边三角形且边长为4，
△A3D3A4为等边三角形且边长为8，
…，
△A2021D2021A2022为等边三角形且边长为22021，
∴S1=34×12，
S2=34×22，
S3=34×42，
…，
Sn=34×22n﹣2，
∴S2021=34×24040＝240383，
故答案为240383．
12．（2021•牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 　AB∥DC（答案不唯一）　．

【解答】解：添加条件为：AB∥DC，理由如下：
∵AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：AB∥DC（答案不唯一）．
13．（2021•哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为 　20或28　．
【解答】解：当E点在线段BC上时，如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，
当E点在线段BC延长线上时，如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝6﹣2＝4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+4）＝20，
综上，平行四边形ABCD的周长为20或28．
故答案为20或28．
14．（2021•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　33　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
AF=BEAO=BO，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝OB•sin60°＝6×32=33，
故答案为：33．
15．（2021•黑龙江）菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　27+93或27−93　．
【解答】解：当AF在AD上方时，如图，延长FA交BC于E，

∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴BE＝3，AE＝33，
S菱形ABCD＝BC×AE＝6×33=183，
∴S△ABD=12×183=93，
S△ABF=12AF×BE=12×6×3=9，
S△ADF=12×6×6=18，
∴S△BDF＝S△ABD+S△ABF+S△ADF＝93+27，
当AF在AD下方时，如图，

则S△BDF＝S△ABF+S△ADF﹣S△ABD＝27﹣93，
故答案为：27+93或27﹣93．
16．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　AB⊥BC　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故答案为：AB⊥BC．
17．（2021•绥化）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝　1或2或−2+344　．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，

∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=42+42=42，
∴OB＝22，
∵PB＝3PC，
∴设PC＝x，则PB＝3x，
有三种情况：
①点P在BC上时，如图2，

∵AD＝4，PB＝3PC，
∴PC＝1；
②点P在AC上时，如图3，

在Rt△BPO中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
（3x）2＝（22）2+（22−x）2，
解得：x=−2+344（负数舍去），
即PC=−2+344；
③点P在CD上时，如图4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC2+PC2＝BP2，
42+x2＝（3x）2，
解得：x=2（负数舍去），
即PC=2；
综上，PC的长是1或2或−2+344．
故答案为：1或2或−2+344．
18．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　∠ABC＝90°（答案不唯一）　，使平行四边形ABCD是矩形．

【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
19．（2021•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）　，使矩形ABCD是正方形．

【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
三．解答题（共5小题）
20．（2021•牡丹江）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F做FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC=2（EC+FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　62或66　．

【解答】解：（1）如图2中，结论：AC=2（FG+EC）．
理由：在AB上截取BM＝BE，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠DCG＝90°，∠EAM+∠AEB＝90°，
∵BM＝BE，
∴AB﹣BM＝BC﹣BE，∠BME＝∠BEM＝45°，
∴AM＝EC，∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠EAM＝∠FEC，
∴在△AEM和△EFC中，
∠AME=∠ECFAM=EC∠EAM=∠FEC，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴EM＝CF，
∵EM=2BE，CF=2FG，
∴BE＝FG，
∵AC=2BC=2（BE+EC），
∴AC=2（FG+EC）．
如图3中，结论：AC=2（FG﹣EC）．

（2）如图1中，当∠BAE＝30°时，
∵正方形的面积为27，
∴AB＝33，∠B＝90°，
∴BE＝AB•tan30°＝33×33=3，
∴AE＝2BE＝6，
∵△AEM≌△EFC
∴AE＝EF＝6，
∴AF＝62，
如图3中，当∠AEB＝30°时，同法可得AE＝EF＝2AB＝63，
∴AF=2AE＝66，
综上所述，AF的长为62或66．

21．（2021•哈尔滨）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．
（1）如图1，求证：CE＝BH；
（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵BM⊥CE，
∴∠HMC＝∠ADC＝90°，
∴∠H+∠HCM＝90°＝∠E+∠ECD，
∴∠H＝∠E，
在△EDC和△HCB中，
∠E=∠H∠EDC=∠HCB=90°CD=BC，
∴△EDC≌△HCB（AAS），
∴CE＝BH；
（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，
理由如下：∵AE＝AB，
∴AE＝BC＝AD＝CD，
∵△EDC≌△HCB，
∴ED＝HC，
∵AD＝CD，
∴AE＝HD＝CD＝AB，
在△AEG和△BCG中，
∠EAG=∠CBG=90°∠AGE=∠BGCAE=BC，
∴△AEG≌△BCG（AAS），
∴AG＝BG=12AB，
同理可证△AFB≌△DFH，
∴AF＝DF=12AD，
∴AG＝AF＝DF，
在△AEG和△ABF中，
AE=AB∠EAG=∠BAF=90°AG=AF，
∴△AEG≌△ABF（SAS），
同理可证△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．
22．（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝　45　°，写出图中两个等腰三角形：　△AEF，△CEF，△ABC，△ADC　（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 　PQ＝BP+DQ　；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM=　2　；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．

【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，
∴∠EAF=12（∠BAC+∠DAC）＝45°，
∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∵CB＝CD，
∴CE＝CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．

（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．
理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．

∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，
∴△ADQ≌△ABT（SAS），
∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PQ＝PT，
∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，
∴PQ＝BP+DQ．
故答案为：PQ＝BP+DQ．

（3）解：如图3中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC=2AB，
∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴CQBM=ACAB=2，
故答案为：2．

（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR＝45°，
∴∠MAR＝∠MAN＝45°，
∵AR＝AN，AM＝AM，
∴△AMR≌△AMN（SAS），
∴RM＝MN，
∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，
∴∠RBM＝90°，
∴RM2＝BR2+BM2，
∵DN＝BR，MN＝RM，
∴BM2+DN2＝MN2．
23．（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．
（1）求证：△CDE≌△CBH；
（2）当HBHD=15时，求FDFC的值；
（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∵∠ECH＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECH﹣∠BCE，
即∠DCE＝∠BCH，
在△CDE和△CBH中，
CD=CB∠DCE=∠BCHCE=CH，
∴△CDE≌△CBH（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ACDE≌△CBH，
∴∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDB＝∠DBC＝45°，
∴∠CDE＝∠CBH＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDH＝135°﹣45°＝90°，
∵BH：DH＝1：5，
∴设BH＝a，则DH＝5a，
∴DE＝BH＝a，
在Rt△HDE中，EH=DE2+DH2=a2+(5a)=26a，
过C作CM⊥EH于M，过D作DN⊥FH于N，如图1所示：
则DN∥CM，
∵△DEH的面积=12DN×EH=12DE×DH，
∴12DN×26a=12×a×5a，
解得：DN=52626a，
∵CE＝CH，∠ECH＝90°，
∴CM=12EH=262a，
∵DN∥CM，
∴△FDN∽△FCM，
∴FDFC=DNCM=52626a262a=513；
（3）解：过点E作PE∥DH交CF于P，过点E作EQ⊥CF于Q，如图2所示：
∵PE∥DH，
∴∠BHG＝∠PEF，∠FPE＝∠FDH＝135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠HBG＝∠FDH＝135°，
∴∠HBG＝∠EPF＝135°，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDQ＝45°，∠EPQ＝45°，
∴△PED为等腰直角三角形，
∴DE＝PE，
由（1）得：△CDE≌△CBH，
∴DE＝BH，
∴DE＝BH＝PE＝3，
在△BHG和△PEF中，
∠BHG=∠PEFBH=PE∠HBG=∠EPF，
∴△BHG≌△PEF（ASA），
∴HG＝EF＝4，
∵△PED是等腰直角三角形，
∴PD=2DE＝32，
∵EQ⊥PD，
∴QE=12PD=322，
在Rt△FEQ中，sin∠CFE=EQEF=3224=328．


24．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE=43，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，
∵OA是方程的根，
∴OA＝5，
∴AB＝OA＝5，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE=43，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝3，
∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，
∴B（8，4）．

（2）如图1中，当点F落在OB上时，AM＝t，DM=45t．AD=35t，

∵FM∥OA，
∴FMOA=MBBA，
∴45t5=5−t5，
∴t=259．

如图2中，当0＜t≤259时，重叠部分是四边形ACFM，S=12•（AC+FM）•DM=12•（45t+45t−35t）•45t=25t2．

如图3中，当259＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，S＝S梯形ACFM﹣S△FGH=25t2−12×12×[45t−（5﹣t）]2=−41100t2+92t−254．

综上所述，S=25t2(0＜t≤259)−41100t2+92t−254(259＜t≤5)．

（3）如图4中，满足条件的点P如图所示：

∵点F落在OB上时，t=259，
∵DM＝FM=209，AD=53，AC=59，
∴PF＝PM﹣FM＝5−209=259，OC＝5−59=409，
∴F（409，209），M（203，209）．
∴P（53，209），P″（−53，−209），P′（353，209）．