2021年黑龙江省各市中考数学真题汇编——专题6圆

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2021年黑龙江各市中考数学真题汇编——专题6圆
一．选择题（共3小题）
1．（2021•牡丹江）如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB=13∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．60°
2．（2021•牡丹江）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（　　）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
3．（2021•哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC=34，则BC的长为（　　）

A．8 B．7 C．10 D．6
二．填空题（共13小题）
4．（2021•牡丹江）半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 　 　．
5．（2021•哈尔滨）一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 　 　cm．
6．（2021•黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为12cm，底面圆的半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　 　cm2．

7．（2021•大庆）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 　 　cm2．
8．（2021•大庆）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 　 　．

9．（2021•齐齐哈尔）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 　 　cm．
10．（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是 　 　．
11．（2021•黑龙江）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 　 　cm．
12．（2021•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 　 　cm．

13．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 　 　．

14．（2021•黑龙江）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝23，则阴影部分的面积为　 　．

15．（2021•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　 　．

16．（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 　 　cm．
三．解答题（共4小题）
17．（2021•哈尔滨）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+12∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN=255，求AG的长．

18．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG=5，sinB=55，求DE的长．

19．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，AGAB=14，MN=3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

20．（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB=33，求OB的长．


2021年黑龙江各市中考数学真题汇编——专题6圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2021•牡丹江）如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB=13∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．60°
【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∵∠AOB=13∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝60°+20°＝80°，
故选：C．
2．（2021•牡丹江）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（　　）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
【解答】解：设弧所在圆的半径为rcm，
由题意得，135πr180=2π×3×5，
解得，r＝40．
故选：B．
3．（2021•哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC=34，则BC的长为（　　）

A．8 B．7 C．10 D．6
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵tan∠BAC=BCAB=34，
∴BC=34×8＝6．
故选：D．
二．填空题（共13小题）
4．（2021•牡丹江）半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 　123cm　．
【解答】解：如图所示：设圆为⊙O，弦为AB，半径OC被AB垂直平分于点D，连接OA，

由题意可得：OA＝OC＝12cm，CO⊥AB，OD＝DC＝6cm，
∵CO⊥AB，
∴AD＝DB，
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：AD=OA2−OD2=122−62=63（cm），
∴AB＝2AD＝123（cm），
故答案为：123cm．
5．（2021•哈尔滨）一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 　10　cm．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，由题意得，
144πr180=8π，
解得r＝10（cm），
故答案为：10．
6．（2021•黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为12cm，底面圆的半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　36π　cm2．

【解答】解：∵底面圆的半径为3cm，
∴底面圆的周长为6π（cm），即圆锥侧面展开图扇形的弧长为6πcm，
∴这个冰淇淋外壳的侧面积=12×12×6π＝36π（cm2）
故答案为：36π．
7．（2021•大庆）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 　18　cm2．
【解答】解：设这个圆锥的底面积为Scm2，
根据题意得13×S×5＝12×52，解得S＝18．
故答案为18．
8．（2021•大庆）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 　233π　．

【解答】解：连接EB，AD，
设⊙O的半径为r，
⊙O的面积S＝πr2，
弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，
弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S△EDO+S△ABO，
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，
∴△EDO、△AOB是正三角形，
∴阴影部分的面积=12×r×32r×2=32r2，
∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为233π，
故答案为：233π．

9．（2021•齐齐哈尔）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 　9　cm．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×6＝12π（cm）；
∴圆锥侧面展开图的弧长为12πcm，
设圆锥的母线长为Rcm，
∴240πR180=12π，
解得R＝9．
故答案为：9．
10．（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是 　233　．
【解答】解：连接OA，OB，作OG⊥AB于点G，
∵正六边形的边长为4cm，
∴正六边形的外接圆的半径4cm，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是GO=32×4＝23，
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为423=233．
故答案为：233．

11．（2021•黑龙江）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 　4　cm．
【解答】解：设母线长为lcm，
则90πl180=2π×1
解得：l＝4．
故答案为：4．
12．（2021•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 　5　cm．

【解答】解：如图，连接OC．

∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5（cm），
∴⊙O的半径为5cm．
故答案为：5．
13．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 　210　．

【解答】解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．

∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO，
∴CDAO=BCBO，
∴CD4=36，
∴CD＝2，
在Rt△CDE中，DE=CD2+CE2=22+62=210，
∴PC+PD的最小值为210．
故答案为：210．
14．（2021•黑龙江）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝23，则阴影部分的面积为　3+π　．

【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝23，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA•tan30°=23×33=2，AD＝4，AB＝2AF＝2×23×32=6，OF=3，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO=23×22+30×π(23)2360−2×32=3+π，
故答案为：3+π．

15．（2021•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　2　．

【解答】解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD=22BC=2，
故答案为：2．

16．（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 　40　cm．
【解答】解：设弧所在圆的半径为r，
由题意得，135πr180=2π×5×3，
解得，r＝40cm．
故应填40．
三．解答题（共4小题）
17．（2021•哈尔滨）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+12∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN=255，求AG的长．

【解答】（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，

∴BP=PC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵点N为AC的中点，
∴AE=CE，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠QAB+∠QBA=12×90°＝45°，
∴∠AQB＝∠EQP＝135°，
△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，
∴∠CDE+12∠BAC＝135°；
（2）证明：在△DGO和△DBO中，
DG=BDOD=ODOG=OB，
∴△DGO≌△DBO（SSS），
∴∠ABD＝∠DGO，
∵DG⊥BE，
∴∠GDB＝90°，
∴∠ADG+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠CBE＝90°，
∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，
∴OG∥AD；
（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，

由（2）知：OG∥AC，
∴GH∥AC，
∴∠OHB＝∠C＝90°，
∴OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形GHCK是矩形，
∴CH＝GK，
设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，
由（2）知：∠ADG＝∠DBC，
在△GKD和△DCB中，
∠ADG=∠DBC∠K=∠CDG=BD，
∴△GKD≌△DCB（AAS），
∴GK＝DC＝y，
∵OE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tanE，
∴DCBC=DNEN，即y2y=255EN，
∴EN=455，
∴AN＝CN＝y+255，ON＝y，
由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，
∴（y+455）2＝y2+（y+255）2，
解得：y1=−255（舍），y2=655，
∴AG=GK2+AK2=(655)2+(y+455−y−255)2=22．
18．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG=5，sinB=55，求DE的长．

【解答】解：（1）连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠GFB＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如图1，连接EC、CD，
∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，
∴EB=BD，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴PCPE=PDPC，
∴PC2＝PE•PD，
∵PC＝PG，
∴PG2＝PD•PE；
（3）如图2，连接OG，EO，
∵G为BC中点，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG=5，sinB=55，
∴OB＝5，BG＝25，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴GBOB=FBGB，
∴255=FB25，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，
∴EF＝26，
∴ED＝46．


19．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，AGAB=14，MN=3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接OM，
∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN=3，
∴MG=12MN=32，
设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，
∵AGAB=14，
∴AG=14AB=12r，
∴OG＝OA﹣AG=12r，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，
∴（12r）2+（32）2＝r2，
∴r＝1，
即⊙O的半径为1；

（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠ABF＝∠CBF=12∠ABC＝36°＝∠BAC，
∴AF＝BF，
设AF＝BF＝x，
在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，
∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BC＝BF＝x，
由（2）知，⊙O的半径为1，
∴AB＝AC＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠C＝∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴BCAC=CFCB，
∴x2=2−xx，
∴x=5−1或x=−5−1（舍），
∴BC=5−1，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD=12BC=5−12，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴CECD=CDCA，
∴CE5−12=5−122，
∴CE=3−54．



20．（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB=33，求OB的长．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB=33，∠EAC＝∠OAC，
∴tan∠EAC=33，即ECAE=33，
∴EC12=33，
解得：EC＝43，
在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=122+(43)2=83，
∵tan∠CAB=BCAC=33，
∴BC＝8，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=(83)2+82=16，
∴OB＝8．