圆中的最值专题教案

这是一份圆中的最值专题教案，共21页。教案主要包含了知识梳理，例题精讲，课堂练习等内容，欢迎下载使用。
圆中的最值专题 学员编号：                  年    级：                        课 时 数：学员姓名：                  辅导科目：                        学科教师：课程主题： 圆中的最值专题授课时间：学习目标 教学内容知识点一（知识点名称）【知识梳理】【例题精讲】例1. 问题提出：如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+BP的最小值。(1)尝试解决：为了解决这个问题,下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD：CP=CP：CB=,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴PD：BP=,∴PD=BP,∴AP+BP=AP+PD.请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+BP的最小值为___.(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下, AP+BP的最小值为___.(3)拓展延伸：已知扇形COD中,∠COD=90∘,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CDˆ上一点，求2PA+PB的最小值。13  例2. 已知抛物线（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3，∴y=﹣x﹣3，当x=2时，y=﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴=，即AB2=AC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴=，即AB2=BC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN===，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE==EF，∴Q的运动时间t=+=BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，y=﹣4．  E点的坐标为（1，﹣4） 知识点二  向内构造类型【知识梳理】【例题精讲】例1. 如图，△abc中,∠C=90°,BC=8,AC=6,D是以C为圆心4为半径的圆上一个动点,求BD+AD的最小值为___       例2. Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3，点D为△ABC内一动点，且满足CD=2,则AD+BD的最小值___【课堂练习】1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90o,CA=3,CB=4. ○C的半径为2，点P是○C上一动点,则 AP+ PB的最小值为_________ 2. 如图,四边形 ABCD 为边长为 4 的正方形, B的半径为2，P是○B上一动点，则
PD+ PC的最小值为____5_____;PD+4PC 的最小值________. 3. 如图，○o的半径为 ,PO=,MO=2,∠POM=90°,Q为 ○o上一动点，则PQ+ QM的最小值为_________ 4. 如图,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=600, ○B的半径为2，P为○B上一动点，则 PD+ PC 的最小值为________ 5. 如图,点 C 坐标为(2,5),点 A 的坐标为(7,0), ○C的半径为C ，点B是○C上一动点, OB+AB 的最小值为____5_____ 6. 如图,在平面直角坐标系xoy中,A(6,-1),M(4,4),以M为圆心,2为半径画圆,O 为原点,P 是○M上一动点，则 PO+2PA 的最小值为___10___ 7.在平面直角坐标系中，A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135°,则 2PD+PC 的最小值是_________  8. 如图,AB为○O的直径,AB=2,点 C 与点 D 在 AB 的同侧,且AD⊥AB,BC⊥AB,AD=1,BC=2 点P是○O上的一动点,则 PD+PC 的最小值为________ 9. 在 ABC 中,
 AB=9,AC= 8, ∠ABC =60°，○A的半径为6，P是○A上一动点，连接PB、PC,则 3PC+2PB的最小值为___________ 10．如图,边长为 4 的正方形,内切圆记为○O，P是○O上一动点,则 PA+PB 的 最小值为____2_____ 11. 如图,等边△ABC 的边长为 6,内切圆记为○O，P是○O上一动点，则 2PB+PC的最小值为_____ 12. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=CB=2,以点 B 为圆心作圆 B 与 AC 相切,点 P ○B上一动点,则PA+PC的最小值是 ________。13. 如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠ABC= 60o, ○A与BC相切于点E,点P是○A上一动点，则 PB+ PD 的最小值为_________ 14. 如图,Rt△ABC 中, ∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点 P 是 AB 上一点,且= m ,点F 在以点 P 为圆心,AP 为半径的 P上，则 CF+mBF 的最小值_________,此时AP= ________。15. (1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+PC的最小值和PD−PC的最大值；(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+PC的最小值为___,PD−PC的最大值为___.(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60∘,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+PC的最小值为___,PD−PC的最大值为___.16. 如图,在Rt△ABC中,∠A=30∘，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C.(1)试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；(2)点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD∼△ACF；(3)点E是AB边上任意一点,在(2)的情况下,试求出EF+FA的最小值。 17. 如图1,在平面直角坐标系中,点M的坐标为(3,0)，以点M为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A. B. C. D.(1)△AOD与△COB相似吗?为什么?(2)如图2，弦DE交x轴于点P，且BP:DP=3:2，求tan∠EDA；(3)如图3,过点D作M的切线,交x轴于点Q.点G是M上的动点,问比值GOGQ是否变化?若不变，请求出比值；若变化，请说明理由。 18. 如图1，抛物线y＝ax2+(a+3)x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A，E′B，求E′A+E′B的最小值.    知识点三   向外构造类型【知识梳理】【例题精讲】例1. 如图,点 A、B 在○O上，OA⊥OB,OA=OB=12,点 C 是 OA 的中点,点 D 在 OB 上,OD=10.点P是○O 上一动点,则 PC+ PD 的最小值为___13______  例2. 如图,在扇形CAB中,CA=4,∠CAB=120∘,D为CA的中点,P为BCˆ上一动点(不与C,B重合),则2PD+PB的最小值为________例3，如图O的半径为2，AB为直径。过AO的中点C作CD⊥AB交O于点D，DE为O的直径，点P为O上动点，则2PC+PE的最小值是___.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    【课堂练习】1. 如图,在平面直角坐标系中,以点 C(1,1)为圆心, 为半径的圆与 x 轴、y 轴分别 交于点 A 和点 B,点 D 为弧 AB 上的动点,则 BD+OD 的最小值为________ 2. 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,A(-2,0),B(0,1),C(0,3),以 O为圆心,OC 为半径画圆,P为○O上一动点,则PA+ PB 最小值为_________ 3. 如图,抛物线 y =-x2+2x+3与 x 轴交于点 A、B 两点(A 在 B 的左侧),与 y 轴交于C点, ○D过点 A、B、C ,P 是 ○D上的一动点,连接 PC、PO，则PC+PO最小值为____________                   4. 已知点A(−4,0)、P(t,0)(t>0)，在第一象限作正方形OPQR，过A. P、Q三点作B，连接OQ，作CQ⊥OQ交圆于点C，连接OB、AQ.(1)求证：∠CQP=∠AOQ；(2)CQ的长度是否随着t的变化而变化?如果变化，请用含t的代数式表示CQ的长度，如果不变，求出CQ的长；(3)当tan∠AQO=时，①求点C的坐标；②点D是B上的任意一点,求CD+OD的最小值