人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教学设计

[课题]      勾股定理的逆定理

[设计者]   

[内容出处]  八年级下册第十七章17.2

[课标要求]

1、经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理和勾股定理逆定理的联系与区别，能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题。

2、初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用此定理判定直角三角形。

3、通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时，其逆命题不一定成立。

[学习目标]

1、探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股定理解决实际问题。

2、探究勾股定理的逆定理的证明方法，理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系；

3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

[评价任务]

1、运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，并确定出直角。

2、区别互逆命题与互逆定理。

3、运用勾股定理的逆定理解决实际问题。

[学习课时]   2课时

第 1 课时

[新课引入]

问题1  勾股定理的内容是什么?

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.

问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：

① a＝5，b＝12；

② a＝2.5，b＝6；

③ a＝24，c＝25.

思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？

[学习过程]

【探究一：勾股定理的逆定理】

同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?

据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.

这个意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3,4,5,它们满足关系“32+42=52”,那么围成的三角形是直角三角形.

    画一画：如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm.它们满足关系“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm,7.5cm,8.5cm，再试一试.

由上面几个例子，我们猜想：

命题    如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

求证：△ABC是直角三角形．

勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

注意：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.

针对练习：

1 、下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？

(1) a=15 ， b=8  ， c=17;

(2) a=13 ， b=14  ，c=15.

归纳：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.

2、若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状.

归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.

3、若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=  ，试说明△ABC是直角三角形.

4、若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.

【探究二：互逆命题与互逆定理】

前面我们学习了两个命题，分别为：

命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.

命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

问题1     两个命题的条件和结论分别是什么？

问题2     两个命题的条件和结论有何联系？

    它们是题设和结论正好相反的两个命题.

归纳总结：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.

一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.

针对练习：

1、 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？

(1)两条直线平行，内错角相等；

(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

(3)  如果ab＜0，那么a＞0，b＜0；

如果a＞0，b＜0，那么ab＜0.

(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

【探究三：勾股数】

概念：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

1、常见勾股数：

3，4，5；             5，12，13；

6，8，10；            7，24，25；

8，15，17；           9，40，41；

10，24，26等等.

2、勾股数拓展性质:

一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.

针对练习：下列各组数是勾股数的是                 (        )       

  A.6，8，10                       B.7，8，9

C.0.3，0.4，0.5                    D.52，122，132

判断勾股数的方法:

(1)确定是否是三个正整数；

(2)确定最大数；

(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．

[课堂总结]

1、满足同类二次根式的条件；1）最简二次根式；2）被开方数相同；3）根指数相同

2、二次根式加减的步骤；一化二找三合并

[当堂练习]

1、下列各组数是勾股数的是                    (          )

  A.3，4，7                               B.5，12，13      

  C.1.5，2，2.5                           D.1，3，5

2、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b， c，且(a＋b)(a－b)＝c

则(　　)

 A．∠A为直角  　　　　B．∠B为直角

 C．∠C为直角  　　　　D．△ABC不是直角三角形

3、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 _____________. 

4、如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，  AD=CD=    求四边形ABCD 的面积.

[课后作业]

1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4               B．3，4，6

C．5，12，13             D．4，6，7

2、如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形 

B．直角三角形

C．钝角三角形 

D．以上都不对

3、已知下列命题：

①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，则     ＝a；③内错角相等．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)

A．0         B．1             C．2          D．3

4、若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，判定△ABC的形状。

[板书设计]  勾股定理的逆定理

一、勾股定理的逆命题

二、证明命题

三、勾股定理的逆定理

  四、简单应用

[教学反思]

第 2 课时

[新课引入]

问题:1.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理为    

2、勾股定理是：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.它的逆定理是：如果三角形的三边长a，b，c满足           ，那么这个三角形是直角三角形．

3、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为       (或勾股弦数)．

[学习过程]

【探究一：勾股定理的逆定理的应用】

例1  如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

归纳：

解决实际问题的步骤：1、构建几何模型(从整体到局部)；2、标注有用信息,明确已知和所求；3、应用数学知识求解.

针对练习：

一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?

【探究二：勾股定理及其逆定理的综合应用】

例2  如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.

归纳：四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.

针对练习：

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.

例3如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．

（1）求证：△BCD是直角三角形；

（2）求△ABC的面积．

[课堂总结]

1、勾股定理解决方位问题

2、勾股定理及逆定理的综合应用

[当堂练习]

1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东         的方向.

       1题                           2题                     3题

2.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.

[课后作业]

1、下列各组数据是勾股数的是(  A   )

  A．5，12，13               B．6，9，12

 C．12，15，18             D．12，35，36

2、.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？

3.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？

4.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.

[板书设计]   勾股定理的逆定理的应用

一、复习勾股定理及其逆定理

二、逆定理解决方位问题

三、综合运用

[教学反思]