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北师大版五年级下册有趣的测量导学案
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这是一份北师大版五年级下册有趣的测量导学案，共15页。学案主要包含了知识点，学习目标，课前练习，典型例题，课后作业等内容，欢迎下载使用。
一、知识点
1、体积的常用单位
（1）体积单位的进率
相邻两个体积单位之间的进率是1000。
1dm³＝1000cm³
1m³＝1000dm³
1m³＝1000000cm³。
（2）容积单位的进率
相邻两个容积单位之间的进率是1000
1L＝1000mL。
（3）容积单位与体积单位的关系
1mL＝1cm³
1L＝1dm³
1000L＝1m³。
2、等积法
如果只改变物体的形状，其体积不发生变化。
3、排水法测量体积
（1）把物体放入水中
物体浸入水中的部分的体积＝上升（或溢出）的水柱的体积水面上升（或溢出的水）的高度＝物体浸入水中部分的体积÷容器的底面积
（2）把物体从水中取出
物体露出水面的部分的体积＝下降的水柱的体积
水面下降的高度＝物体浸湿部分的体积÷容器的底面积
4、切拼问题
（1）沿着一个长方体的截面将它们分割成若干个小长方体时，每切1刀，就增加2个完全相同的面。
（2）将若千个小长方体或小正方体拼接成一个大的长方体时，每拼接1次，就减少2个完全相同的面。
（3）把一个长方体截去一段变成一个较小的长方体时，减少的面积是4个长方形的面积之和。
（4）把一个长方体接上一段变成一个较大的长方体时，增加的面积是4个长方形的面积之和。
二、学习目标
1、我能够识别“面积单位”、“体积单位”、“容积单位”，掌握各单位间的换算。
2、我能够理解数学中“倒入”、“锻造”、“熔铸”前后，体积不变。
3、我能够利用“排水法”测不规则物体体积解决实际问题。
三、课前练习
1、体积是1dm3的大正方体可以切割成 个体积是1cm3的小正方体。
2、一个长方体的体积是2800立方厘米，它的底面积是56平方厘米，这个长方体的高是 分米。
3、思琪为了测量苹果的体积，先往一个容量为1000mL的量筒中倒了500mL水，然后把两个苹果放进了量筒中，苹果完全浸没在水中，且水位上升至950mL处，则平均每个苹果的体积是
cm³。
四、典型例题
例题1
填空题。
（1）在横线上填上合适的单位名称。
一瓶眼药水的体积大约是10 一支雪糕的体积大约是60
一个保温杯的容积是0.36 一节地铁车厢的容积大约是62
（2）单位换算。
1.75dm³＝ cm³90dm³＝ m³
10050mL＝ L5.08L＝ L mL
0.078dm³＝ L＝ mL
练习1
填空题。
（1）在横线上填上合适的单位名称。
一个牙膏盒的体积是0.12 一顶双人帐篷的容积是3.9
一个脐橙的体积大约是320 一个双开门冰箱的容积是180
（2）单位换算。
2130cm³＝ dm³0.25L＝ mL＝ cm³
4立方米60立方分米＝ 立方米3020mL＝ L＝ m³
思路点拨
液体从一个容器倒入另一个容器，或者物体从一种形状变成另一种形状，它的体积是不会变的。另外，要注意统一单位。
例题2
一个装满了水的正方体水箱，它的棱长是4分米，如果将其中的水全部倒入另一个长0.8米、宽25厘米的长方体水箱中，水深多少分米？
练习2
一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋，这根钢筋的长是多少米？
例题3
（1）一个长方体形状的鱼缸从里面量，长50cm、宽25cm、高35cm.乐宝向鱼缸中倒入37L水，又放入一只螃蟹（完全浸没），此时水面距离鱼缸口还有5cm.这只螃蟹的体积是多少？
（2）有大、中、小三个长方体水池，它们的底面都是正方形，且边长分别是5分米、3分米、2分米，现在把两块石头分别沉入中、小水池内，这两个水池的水面分别升高5厘米和7.5厘米，如果这两块石头都沉入大水池中，那么大水池的水面将升高多少厘米？
练习3
（1）一个棱长为4dm的正方体容器中盛有一些水，水深3dm,漫漫往这个容器中放入一块石头，石头完全浸没在水中，此时水深3.5dm,这块石头的体积是多少立方厘米？
（2）一块棱长是6厘米的正方体铁块完全浸没在一个底面积为80平方厘米的长方体容器里，取出铁块后，长方体容器的水面将下降多少厘米？
例题4
（1）如图，将一根长10米的长方体木料锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，这根长方体木料原来的体积是多少立方分米？
（2）把一个长方体的木块截成两个完全相同的小正方体，两个小正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和大了40厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？
练习4
（1）如图，沿虚线把长为2.5分米的长方体分成2段，表面积增加了160平方厘米，则原来长方体的体积是多少立方厘米？
（2）用三块大小相同的小正方体木块拼成一个长方体，已知长方体的棱长之和是60分米，那么，每块小正方体木块的体积是多少立方分米？
选讲题
下图是一个4×5×6的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少个？
五、课后作业
1、填空题。
（1）在横线上填上合适的单位名称。
一瓶啤酒的体积大约是0.55 一部手机的体积大约是55
一个电饭煲的容积大约是5 一个治安岗亭的容积大约12
（2）单位换算。
790cm³＝ dm³8.06dm³＝ L＝ mL
2050dm³＝ m³0.0356m³＝ L＝ mL
2、把一块棱长10厘米的正方体铁块，熔铸成宽和高都是5厘米的长方体铁条，铁条长多少厘米？
3、将一块不规则的石头全部浸没在长8分米、宽5分米的长方体容器里，测得水面升高6厘米。这块石头的体积是多少立方分米？
4、有一个棱长为20厘米的正方体容器，里面注有水，水深12厘米。把一块棱长为10厘米的正方体铁块完全浸入水中后，水深是多少厘米？
5、如图，将一根长2.5米的长方体铝块平均锯成4段，表面积比原来增加了48平方分米，这根长方体木块原来的体积是多少立方分米？
选做题
一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图分割为27个小正方体，那么在这些小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有 个；
（2）二个面涂有红色的有 个；
（3）一个面涂有红色的有 个；
（4）六个面都没有涂色的有 个。
参考答案
1、1000
解析：1dm³＝1000cm³
1000÷（1×1×1）＝1000（个）
2、5
解析：2800÷56＝50（cm）＝5（dm）；注意单位。
3、225
解析：（950－500）÷2＝225（cm³）
例题1
mL，cm³，L，m³
1750；0.09；10.05；5，80；0.078，78；
练习1
dm³；m³；cm³；L
2.13；250，250；4.06；3.02，0.00302
例题2
3.2分米
解析：体积不变。
原来体积：4×4×4＝64（dm³）
水深：64÷（8×2.5）＝3.2（dm）
练习2
18米
解析：体积不变。
原来体积：15×1.2＝18（立方分米）
钢筋长：18÷0.1＝180（分米）＝18（米）
注意单位。
例题3
（1）500立方厘米
解析：上升水的体积＝加入物体的体积
原来水的体积37L，即37000立方厘米，加入螃蟹后水的高度为35－5＝30（厘米）；
所以加入螃蟹后体积为：50×25×30＝37500（立方厘米）；
螃蟹体积为：37500－37000＝500（立方厘米）
（2）3厘米
解析：上升水的体积＝加入物体的体积
第一块石头的体积：30×30×5＝4500（立方厘米）
第二块石头的体积：20×20×7.5＝3000（立方厘米）
两块石头总体积为：4500＋3000＝7500（立方厘米）
上升高度：7500÷（50×50）＝3（厘米）
练习3
（1）8000立方厘米
解析：上升水的体积＝加入物体的体积
水面上升：3.5－3＝0.5（dm）；
则体积为：4×4×0.5＝8dm³＝8000（cm³）
（2）2.7厘米
解析：下降水的体积＝加入物体的体积
物体体积：6×6×6＝216（立方厘米）
下降高度：216÷80＝2.7（厘米）
例题4
（1）1000立方分米
解析：切一次，增加2个切面
切成6段，需要切5次，增加10个面，增加100dm²。
每个侧面面积为：100÷10＝10（dm²）；长：10m＝100dm
体积：10×100＝1000（dm³）
（2）250立方厘米
解析：切一次，增加2个切面，则增加8条棱
正方体棱长：40÷8＝5（厘米）；
原长方体体积：5×5×5×2＝250（立方厘米）
练习4
（1）2000立方厘米
解析：切一次，增加2个切面
每个侧面面积为：160÷2＝80（cm²）；长：2.5dm＝25cm
体积：80×25＝2000（cm³）
（2）27立方分米
拼一次，少2个拼面，8条棱
三个小木块需要拼两次，则少4个拼面，16条棱；
原来共有棱：3×12＝36（条），
现在共有棱：36－16＝20（条）
则每条棱：60÷20＝3（分米）；
每个小正方体体积：3×3×3＝27（立方分米）
选讲题
三面被涂红色的有8个；两面被涂红的有36个，一面被涂红的有52个。
解析：如下图所示：
角块占据3个面，所以能被三面涂红，共有8个。
棱块占据两个面，所以能被二面涂红，共有：[（4－2）＋（5－2）＋（6－2）]×4＝36（个）
面中心块只能被一面涂红，
共有：[（4－2）×（5－2）＋（5－2）×（6－2）＋（4－2）×（6－2）]×2＝52（个）
内部方块不在外面，不能被涂到颜色，共有：[（4－2）×（5－2）×（6－2）]＝24（个）
总结：一个长方体长、宽、高分别为a、b、c，表面涂红再切成单位长度的小立方体时，涂色规律如下：
三面有色：永远是8个。
二面有色：[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]×4
一面有色：[（a－2）×（b－2）＋（b－2）×（c－2）＋（a－2）×（c－2）]×2
无色方块：（a－2）×（b－2）×（c－2）
课后作业
1、（1）L；cm³；L；m³
（2）0.79；8，60；2.05；35.6，35600
2、40厘米
解析：体积不变
原来的体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
长＝体积÷侧面积＝1000÷（5×5）＝40（厘米）
3、24立方分米
解析：物体的体积＝上升水的体积。另外注意单位统一。
物体体积：8×5×0.6＝24（立方分米）
4、14.5厘米
解析：物体的体积＝上升水的体积
加入物体体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
水上升的高度＝体积÷底面积：1000÷（20×20）＝2.5（厘米）
此时水的高度为：10＋2.5＝14.5（厘米）
5、200立方分米
解析：切一次，增加2个切面，切成4段，要切3次，增加6个侧面。
每个侧面面积：48÷6＝8（平方分米）；
体积＝侧面积×长＝8×25＝200（立方分米）。
选做题
（1）8
（2）12
（3）6
（4）1
三面有色：永远是8个。
二面有色：[（3－2）＋（3－2）＋（3－2）]×4＝12（个）
一面有色：[（3－2）×（3－2）＋（3－2）×（3－2）＋（3－2）×（3－2）]×2＝6（个）
无色方块：（3－2）×（3－2）×（3－2）＝1（个）
一、知识点
1、体积的常用单位
（1）体积单位的进率
相邻两个体积单位之间的进率是1000。
1dm³＝1000cm³
1m³＝1000dm³
1m³＝1000000cm³。
（2）容积单位的进率
相邻两个容积单位之间的进率是1000
1L＝1000mL。
（3）容积单位与体积单位的关系
1mL＝1cm³
1L＝1dm³
1000L＝1m³。
2、等积法
如果只改变物体的形状，其体积不发生变化。
3、排水法测量体积
（1）把物体放入水中
物体浸入水中的部分的体积＝上升（或溢出）的水柱的体积水面上升（或溢出的水）的高度＝物体浸入水中部分的体积÷容器的底面积
（2）把物体从水中取出
物体露出水面的部分的体积＝下降的水柱的体积
水面下降的高度＝物体浸湿部分的体积÷容器的底面积
4、切拼问题
（1）沿着一个长方体的截面将它们分割成若干个小长方体时，每切1刀，就增加2个完全相同的面。
（2）将若千个小长方体或小正方体拼接成一个大的长方体时，每拼接1次，就减少2个完全相同的面。
（3）把一个长方体截去一段变成一个较小的长方体时，减少的面积是4个长方形的面积之和。
（4）把一个长方体接上一段变成一个较大的长方体时，增加的面积是4个长方形的面积之和。
二、学习目标
1、我能够识别“面积单位”、“体积单位”、“容积单位”，掌握各单位间的换算。
2、我能够理解数学中“倒入”、“锻造”、“熔铸”前后，体积不变。
3、我能够利用“排水法”测不规则物体体积解决实际问题。
三、课前练习
1、体积是1dm3的大正方体可以切割成 个体积是1cm3的小正方体。
2、一个长方体的体积是2800立方厘米，它的底面积是56平方厘米，这个长方体的高是 分米。
3、思琪为了测量苹果的体积，先往一个容量为1000mL的量筒中倒了500mL水，然后把两个苹果放进了量筒中，苹果完全浸没在水中，且水位上升至950mL处，则平均每个苹果的体积是
cm³。
四、典型例题
例题1
填空题。
（1）在横线上填上合适的单位名称。
一瓶眼药水的体积大约是10 一支雪糕的体积大约是60
一个保温杯的容积是0.36 一节地铁车厢的容积大约是62
（2）单位换算。
1.75dm³＝ cm³90dm³＝ m³
10050mL＝ L5.08L＝ L mL
0.078dm³＝ L＝ mL
练习1
填空题。
（1）在横线上填上合适的单位名称。
一个牙膏盒的体积是0.12 一顶双人帐篷的容积是3.9
一个脐橙的体积大约是320 一个双开门冰箱的容积是180
（2）单位换算。
2130cm³＝ dm³0.25L＝ mL＝ cm³
4立方米60立方分米＝ 立方米3020mL＝ L＝ m³
思路点拨
液体从一个容器倒入另一个容器，或者物体从一种形状变成另一种形状，它的体积是不会变的。另外，要注意统一单位。
例题2
一个装满了水的正方体水箱，它的棱长是4分米，如果将其中的水全部倒入另一个长0.8米、宽25厘米的长方体水箱中，水深多少分米？
练习2
一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋，这根钢筋的长是多少米？
例题3
（1）一个长方体形状的鱼缸从里面量，长50cm、宽25cm、高35cm.乐宝向鱼缸中倒入37L水，又放入一只螃蟹（完全浸没），此时水面距离鱼缸口还有5cm.这只螃蟹的体积是多少？
（2）有大、中、小三个长方体水池，它们的底面都是正方形，且边长分别是5分米、3分米、2分米，现在把两块石头分别沉入中、小水池内，这两个水池的水面分别升高5厘米和7.5厘米，如果这两块石头都沉入大水池中，那么大水池的水面将升高多少厘米？
练习3
（1）一个棱长为4dm的正方体容器中盛有一些水，水深3dm,漫漫往这个容器中放入一块石头，石头完全浸没在水中，此时水深3.5dm,这块石头的体积是多少立方厘米？
（2）一块棱长是6厘米的正方体铁块完全浸没在一个底面积为80平方厘米的长方体容器里，取出铁块后，长方体容器的水面将下降多少厘米？
例题4
（1）如图，将一根长10米的长方体木料锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，这根长方体木料原来的体积是多少立方分米？
（2）把一个长方体的木块截成两个完全相同的小正方体，两个小正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和大了40厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？
练习4
（1）如图，沿虚线把长为2.5分米的长方体分成2段，表面积增加了160平方厘米，则原来长方体的体积是多少立方厘米？
（2）用三块大小相同的小正方体木块拼成一个长方体，已知长方体的棱长之和是60分米，那么，每块小正方体木块的体积是多少立方分米？
选讲题
下图是一个4×5×6的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少个？
五、课后作业
1、填空题。
（1）在横线上填上合适的单位名称。
一瓶啤酒的体积大约是0.55 一部手机的体积大约是55
一个电饭煲的容积大约是5 一个治安岗亭的容积大约12
（2）单位换算。
790cm³＝ dm³8.06dm³＝ L＝ mL
2050dm³＝ m³0.0356m³＝ L＝ mL
2、把一块棱长10厘米的正方体铁块，熔铸成宽和高都是5厘米的长方体铁条，铁条长多少厘米？
3、将一块不规则的石头全部浸没在长8分米、宽5分米的长方体容器里，测得水面升高6厘米。这块石头的体积是多少立方分米？
4、有一个棱长为20厘米的正方体容器，里面注有水，水深12厘米。把一块棱长为10厘米的正方体铁块完全浸入水中后，水深是多少厘米？
5、如图，将一根长2.5米的长方体铝块平均锯成4段，表面积比原来增加了48平方分米，这根长方体木块原来的体积是多少立方分米？
选做题
一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图分割为27个小正方体，那么在这些小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有 个；
（2）二个面涂有红色的有 个；
（3）一个面涂有红色的有 个；
（4）六个面都没有涂色的有 个。
参考答案
1、1000
解析：1dm³＝1000cm³
1000÷（1×1×1）＝1000（个）
2、5
解析：2800÷56＝50（cm）＝5（dm）；注意单位。
3、225
解析：（950－500）÷2＝225（cm³）
例题1
mL，cm³，L，m³
1750；0.09；10.05；5，80；0.078，78；
练习1
dm³；m³；cm³；L
2.13；250，250；4.06；3.02，0.00302
例题2
3.2分米
解析：体积不变。
原来体积：4×4×4＝64（dm³）
水深：64÷（8×2.5）＝3.2（dm）
练习2
18米
解析：体积不变。
原来体积：15×1.2＝18（立方分米）
钢筋长：18÷0.1＝180（分米）＝18（米）
注意单位。
例题3
（1）500立方厘米
解析：上升水的体积＝加入物体的体积
原来水的体积37L，即37000立方厘米，加入螃蟹后水的高度为35－5＝30（厘米）；
所以加入螃蟹后体积为：50×25×30＝37500（立方厘米）；
螃蟹体积为：37500－37000＝500（立方厘米）
（2）3厘米
解析：上升水的体积＝加入物体的体积
第一块石头的体积：30×30×5＝4500（立方厘米）
第二块石头的体积：20×20×7.5＝3000（立方厘米）
两块石头总体积为：4500＋3000＝7500（立方厘米）
上升高度：7500÷（50×50）＝3（厘米）
练习3
（1）8000立方厘米
解析：上升水的体积＝加入物体的体积
水面上升：3.5－3＝0.5（dm）；
则体积为：4×4×0.5＝8dm³＝8000（cm³）
（2）2.7厘米
解析：下降水的体积＝加入物体的体积
物体体积：6×6×6＝216（立方厘米）
下降高度：216÷80＝2.7（厘米）
例题4
（1）1000立方分米
解析：切一次，增加2个切面
切成6段，需要切5次，增加10个面，增加100dm²。
每个侧面面积为：100÷10＝10（dm²）；长：10m＝100dm
体积：10×100＝1000（dm³）
（2）250立方厘米
解析：切一次，增加2个切面，则增加8条棱
正方体棱长：40÷8＝5（厘米）；
原长方体体积：5×5×5×2＝250（立方厘米）
练习4
（1）2000立方厘米
解析：切一次，增加2个切面
每个侧面面积为：160÷2＝80（cm²）；长：2.5dm＝25cm
体积：80×25＝2000（cm³）
（2）27立方分米
拼一次，少2个拼面，8条棱
三个小木块需要拼两次，则少4个拼面，16条棱；
原来共有棱：3×12＝36（条），
现在共有棱：36－16＝20（条）
则每条棱：60÷20＝3（分米）；
每个小正方体体积：3×3×3＝27（立方分米）
选讲题
三面被涂红色的有8个；两面被涂红的有36个，一面被涂红的有52个。
解析：如下图所示：
角块占据3个面，所以能被三面涂红，共有8个。
棱块占据两个面，所以能被二面涂红，共有：[（4－2）＋（5－2）＋（6－2）]×4＝36（个）
面中心块只能被一面涂红，
共有：[（4－2）×（5－2）＋（5－2）×（6－2）＋（4－2）×（6－2）]×2＝52（个）
内部方块不在外面，不能被涂到颜色，共有：[（4－2）×（5－2）×（6－2）]＝24（个）
总结：一个长方体长、宽、高分别为a、b、c，表面涂红再切成单位长度的小立方体时，涂色规律如下：
三面有色：永远是8个。
二面有色：[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]×4
一面有色：[（a－2）×（b－2）＋（b－2）×（c－2）＋（a－2）×（c－2）]×2
无色方块：（a－2）×（b－2）×（c－2）
课后作业
1、（1）L；cm³；L；m³
（2）0.79；8，60；2.05；35.6，35600
2、40厘米
解析：体积不变
原来的体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
长＝体积÷侧面积＝1000÷（5×5）＝40（厘米）
3、24立方分米
解析：物体的体积＝上升水的体积。另外注意单位统一。
物体体积：8×5×0.6＝24（立方分米）
4、14.5厘米
解析：物体的体积＝上升水的体积
加入物体体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
水上升的高度＝体积÷底面积：1000÷（20×20）＝2.5（厘米）
此时水的高度为：10＋2.5＝14.5（厘米）
5、200立方分米
解析：切一次，增加2个切面，切成4段，要切3次，增加6个侧面。
每个侧面面积：48÷6＝8（平方分米）；
体积＝侧面积×长＝8×25＝200（立方分米）。
选做题
（1）8
（2）12
（3）6
（4）1
三面有色：永远是8个。
二面有色：[（3－2）＋（3－2）＋（3－2）]×4＝12（个）
一面有色：[（3－2）×（3－2）＋（3－2）×（3－2）＋（3－2）×（3－2）]×2＝6（个）
无色方块：（3－2）×（3－2）×（3－2）＝1（个）
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