湖南省衡阳八中教育集团联校2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份湖南省衡阳八中教育集团联校2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了14B，5B，【答案】C，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
湖南省衡阳八中教育集团联校2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本题共12小题，共36分）下列实数中是无理数的是A.  B.  C.  D. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是A.  B.  C.  D. 下列运算正确的是A.  B.
C.  D. 为阻断新冠疫情传播，我国政府积极开展新冠疫苗接种工作．截止到年月日，全国接种疫苗累计超过亿剂次．把用科学记数法表示为A.  B.  C.  D. 如图，已知直线，，则等于A.
B.
C.
D. 已知点与点关于轴对称，则的值为A.  B.  C.  D. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是A.  B.
C.  D. 如图，已知是的直径，、是圆周上两点．若，则A.
B.
C.
D. 八年级学生去距学校的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为A.  B.  C.  D. 某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表：时间小时人数这些学生睡眠时间的众数、中位数是A. 众数是，中位数是 B. 众数是，中位数是
C. 众数是，中位数是 D. 众数是，中位数是如图，在中，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与边，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为A.
B.
C.
D. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：
；
；
；
若点、为函数图象上的两点，则；
为任意实数；
其中，正确结论的个数是 B.  C.  D. 二．填空题（本题共6小题，共18分）在函数中，自变量的取值范围是______．把多项式分解因式的结果是______．圆锥体的高为，圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为______．若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是：______．如图是大坝的横断面，斜坡的坡比：，，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为______米．
如图，，，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，，都在轴上，点，，，，都在反比例函数的图象上，则点的坐标为______用含有正整数的式子表示
三．解答题（本题共8小题，共66分）计算：．






 先化简再求值：，其中．






 如图，已知，，．
求证：；
若，，求的度数．






 年是中国共产党建党周年华诞“五一”后某校组织了八年级学生参加建党周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：

请根据图中提供的信息解答下列问题：
根据给出的信息，将这两个统计图补充完整不必写出计算过程；
该校八年级有学生人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．






 某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量件与每件售价元之间符合一次函数关系，如图所示．
求与之间的函数关系式；
该商场销售这种商品要想每天获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
设商场销售这种商品每天获利元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？






 如图，四边形中，，，，，以为圆心，为半径作圆，延长交于点，延长交于点，连接，交于点．
求证：为的切线；
求的值；
求线段的长．







 如图，在中，，，，点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；同时点从点出发沿以相同的速度向点匀速运动，当点到达点时两点同时停止运动．伴随着、的运动，保持垂直平分线段，且交于点，交折线于点设点的运动时间是秒．
用含的代数式表示线段的长．
在点从点向点运动的过程中，当四边形为矩形时，求的面积．
当经过点时，请求出的值．






 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
求二次函数解析式；
如图，点在线段上方的抛物线上运动不与、重合，过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值；
在的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，熟记实数的分类是解答本题的关键．
 2.【答案】
 【解析】解：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 3.【答案】
 【解析】解：选项A：，所以不符合题意；
选项B：，所以符合题意；
选项C：，所以不符合题意；
选项D：，所以不符合题意；
故选：．
A、根据积的乘方的进行计算即可判断；
B、先计算乘方，再根据同底数幂的乘法计算即可判断；
C、根据完全平方公式进行计算即可判断；
D、根据合并同类项法则进行计算即可确定答案．
本题考查了完全平方公式、合并同类项以及幂的乘方、积的乘方等知识，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 4.【答案】
 【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 5.【答案】
 【解析】解：如图，

，
，
．
故选：．
根据平行线的性质可得的度数，再根据平角的定义可得答案．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．
 6.【答案】
 【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
．
故选：．
利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
 7.【答案】
 【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
由是的直径，可得，即可得出的度数，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
 9.【答案】
 【解析】【分析】
设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，根据时间路程速度结合骑车的学生比乘车的学生多用即，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【解答】
解：设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，
依题意，得：．
故选：．  10.【答案】
 【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：根据作图过程可知：是垂直平分，
，点是的中点，，
，
，
，
在中，，
，
的周长为，
故选：．
根据作图过程可得是垂直平分，然后根据含度角的直角三角形可得的长，进而可得的周长．
本题考查了作图基本作图，线段的垂直平分线性质，含度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
 12.【答案】
 【解析】解：由函数图象可得，，，
对称轴为直线，
，
，即，故正确；
，故正确，
由图可知，二次函数与轴有两个交点，
，即，故正确；
函数图象开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
若点、为函数图象上的两点，则，故正确，
由图可知，当时，取得最大值，
，即，故错误．
故选：．
根据函数图象和题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 13.【答案】
 【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式分母不为是解题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：．
故答案为：．
先提出公因式，再利用平方差公式因式分解．
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
 15.【答案】
 【解析】解：底面周长是，
母线长是：，
则圆锥的侧面积是：，
故答案是：．
首先求得底面的周长、面积，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式即可求得圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．解题的关键是牢记公式，难度不大．
 16.【答案】且
 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解决问题的关键．
 17.【答案】
 【解析】解：过点作于，过点作于，
则四边形为矩形，
，
，
米，
斜坡的坡比：，
，
由勾股定理得：米，
故答案为：．
过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 18.【答案】，
 【解析】解：过作轴于，如图所示：

是等腰直角三角形，
是的中点，且，
设，代入反比例函数解析式，
得，
解得，
，
同理可得的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
故答案为：
过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，同理，求出的坐标，的坐标即可．
本题考查了反比例函数的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出坐标之间的规律是解题的关键．
 19.【答案】解：


．
 【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
 20.【答案】解：
．
．
．
原式．
 【解析】本题需先根据整式的混和运算顺和法则分别进行计算，再把所得的结果进行合并，最后把的值代入即可．
本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意混合运算的顺序和结果的符号是本题的关键．
 21.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
，
≌，
．
 【解析】利用平行线的性质得，再利用等式的性质得，从而利用证明≌，可得结论；
根据三角形内角和定理得，再利用全等三角形的性质可得答案．
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
 22.【答案】解：抽取的学生人数为：人，
则达到“良好”的学生人数为：人，达到“合格”的学生所占的百分比为：，
达到“优秀”的学生所占的百分比为：，
将两个统计图补充完整如下：

人，
答：估计成绩未达到“良好”及以上的有人；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有种，
抽到甲、乙两人的概率为．
 【解析】由“不及格”的学生人数除以所占百分比去抽取的人数，即可解决问题；
由该校八年级学生人数乘以成绩未达到“良好”及以上的学生所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得，
故与的函数关系式为；

根据题意，得：，
整理，得：，
解得：或不合题意，舍去，
答：每件商品的销售价应定为元；

，


，
当时，，
售价定为元件时，每天最大利润元．
 【解析】利用待定系数法求解即可；
根据“每件利润销售量总利润”列出一元二次方程，解之可得；
根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
 24.【答案】证明：，
，
，
，
，
为的切线；

解：如图，过点作于，
，
由知，，
，
四边形为矩形，
，
矩形是正方形，
，
在中，，根据勾股定理得，，
，
，
，
；

如图，
过点作于，则，，
在中，，，
，
，
，
，
∽，
，
由知，，
，
，
，
在中，．
 【解析】利用两直线平行，同旁内角互补求出，再用，即可得出结论；
过点作于，判断出四边形为正方形，得出，再利用勾股定理求出，进而求出，再判断出，即可得出结论；
过点作于，则，，利用三角函数求出，进而得出，再判断出∽，得出，进而求出，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，平行线的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数．
 25.【答案】解：当时，，
当时，；
如图，当时，且，则四边形为矩形，

，
∽，
，
即，
，
，，
，
；
点由向运动，经过点，
连接，作于点，

，
，
同理，
，
．
，
是的中垂线，
，
，
，
；
点由向运动，经过点，
如图，连接，作于点，
点由向运动，
，
同理可得，
，
，
，
综上，或．
 【解析】分或，分别表示的长；
根据∽，求得，从而得出，的长，利用勾股定理可得，从而求出面积；
分点由向运动或点由向运动，连接，作于点，利用三角函数表示出，，利用勾股定理表示出的长，根据列出方程即可；
本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，化动为静，同时注意分类是解决动点问题常用的方法．
 26.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，．
抛物线经过、两点，
，
解得．
二次函数的解析式为：．
，．
，，
．
，
，
，，
，
∽，
：：：：：：，
设的横坐标为，则，
，

的周长为：，
当时，的周长的最大值为．
存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：

由可知，，点的横坐标为，
由知，
当为边，且点在点的左侧时，有，
，即，

当点在点右侧时，，
，即，
；
当为对角线时，，
，即，

综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或
如图，在轴的正半轴取，使得，连接，

，，
，
，
∽，
：：，
，
，
当，，三点共线时，的值最小．
此时．
的最小值为．
 【解析】由直线可求出点和点的坐标，代入抛物线，可得二次函数解析式；
根据题意可知∽，设点的横坐标为，则可表达点的坐标，由此可得出的长，进而表达的周长，利用二次函数的性质可得出结论；
在的基础上可求出点的坐标，点和点是定点，线段可以是边也可以是对角线，进行讨论，利用点的平移求解即可；
在轴正半轴截取，使，连接，可证得∽，把进行转化，可知，当，，三点共线时，的值最小．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数背景下三角形最值问题，平行四边形存在性问题，最值问题等内容，是道综合性比较强的题目，在解题时注意需要分类讨论，求最值问题的关键是构造出对应的线段．