人教版七年级数学下册----8.3 实际问题与二元一次方程组（二）(基础讲解)（含解析）

8.3  实际问题与二元一次方程组（二）

【学习目标】

1．认知行程问题、方案分配问题、数字变换等问题的解决方法；

2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．

3.认真审题，准确找出题目中相等关系。

【知识总结】

一、常见的一些等量关系（二）

1. 行程问题

速度×时间=路程.

   顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）流速度.

   逆水（风）速度=静水（水）速度-水（风）流速度.

2.数字问题

    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为m，十位数字为n，则这个两位数可以表示为10n+m．

3．方案问题

在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如人员的分配、旅游购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．为后期学习函数应用打下基础。
4．古代问题

 在解决问题时，这样的题并不难，但首先要能读懂题意，明确其中的等量关系，从而建立方程组。

5.   开放性问题

 有条件的开放性和结论的开放型，解此类题要求学生思维更具有发散性，正确读懂题意是解题的关键。

【注】：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．

二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思路

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

【注】：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

【类型】一、行程问题

例1. 一艘轮船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时16km．若设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水的流速为ykm/h，则x，y的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据“该轮船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时16km”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

解：依题意，得：，

解得：．

故选择：A．

【点拨】本题考查二元一次方程组的应用问题，关键是能从实际问题中找出正确的数量关系，列出方程组．

【训练】小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是__分钟．

【答案】4

解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x-6y=s．①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y=s．②
由①，②可得s=4x，

∴．

故答案为：4．
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．

【点拨】本题考查二元一次方程组的应用；根据追及问题和相遇问题得到两个等量关系是解决本题的关键；设出所需的多个未知数是解决本题的突破点．

【类型】二、数字问题

例2.一个两位数，个位数比十位数大2，若把各位数字和十位数字对调，则所得的新的两位数比原数的两倍少17．若设原数的个位数为，十位数字为，则下列方程组正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由两位数的特点，可表示原两位数为10y+x，变化后的两位数为10x+y，进而寻找题目信息中的等量关系，列出方程即可．

解：设原数的个位数字为x，十位数字为y，由两位数的特点表示出原两位数10y+x和新得到的两位数10x+y，

由它的个位数字x比十位数字的数字y大2，

可知x-y=2即x=y+2，

把该两位数的个位上的数字与十位上的数字互换，得到的新数比原数的2倍少17，

可得2（10y+x）-（10x+y）=17，即2（10y+x）-17=10x+y，

将上面的方程联立为，

故选：C．

【点拨】本题考查根据题意列方程组，找出题目中的等量关系是解题关键．

【训练】有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数．

【答案】这个两位数是56，一位数是9

【分析】设两位数为x，一位数为y，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程组即可求解．

解：设两位数为x，一位数为y，根据题意，

得：，

解得：，

答：这个两位数是56，一位数是9．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，正确列出方程组是解答的关键．

【类型】三、几何图形问题

例3.如图，在数轴上标出若干个点，每相邻的两个点之间的距离都是1个单位，点A、B、C、D表示的数分别是整数a、b、c、d，且满足，则的值为（　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据数轴上各点的位置可得到d-a=8，与组成方程组可求出a、d，然后根据d-c=3，d-b=4求出b、c的值，再代入b+c即可．

解：由数轴上各点的位置可知d-a=8，d-c=3，d-b=4，

，

所以
故c=d-3=0，b=d-4=-1，
代入b+c=-1．
故选：C．

【点拨】本题考查的是数轴上两点间的距离及二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题关键．

【训练】如图，已知∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数．

【答案】

【分析】由OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，则设∠DOE=∠EOC=x，∠COF=∠FOA=y，得出∠AOE=2y+x=100°，∠DOF=2x+y=80°，然后列二元一次方程组求出x、y，最后根据∠EOF=∠EOC+∠COF解答即可．

解：设∠DOE=∠EOC=x，∠COF=∠FOA=y

则，解得

∴∠EOF=∠EOC+∠COF=x+y=．

故答案为．

【点拨】本题主要考查了角平分线的定义、二元一次方程组的应用以及角的和差的相关知识，根据题意列出二元一次方程组并求解是解答本题的关键．

【类型】四、古代问题

例4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（优质酒）斗，价值钱；行酒（劣质酒）斗，价值钱；现用钱，买得斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒？设用钱能买得的斗酒里，买到醇酒斗，买到行酒斗，根据题意可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据两种酒共用钱，共斗的等量关系列出方程组即可．

解：由题意，得，

故选A．

【点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键．

【训练】《九章算术》第七卷“盈不足"中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少?”则物价为_______．

【答案】53

【分析】设有x人合伙购物，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱”即可得出关于x、y的方程组，解方程组即得答案．

解：设有x人合伙购物，物价为y钱，根据题意，得：

，解得：，

所以有7人合伙购物，物价为53钱．

故答案为：53．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．

【类型】五、开放型问题

例5．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ）

A．20 B．22 C．23 D．25

【答案】C

【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；

【详解】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，

依题意得：，

∴解这个方程组为：，

∴大壮的得分为：．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．

【训练】由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．

【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.

【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．

解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)

设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．

根据题意,得，

解得.

则x+y=4+2.5=6.5(吨).

答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．