2022重庆市南开中学高三下学期第七次质量检测（3月月考）数学试题含答案

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重庆市高2022届高三第七次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，，则（）A B.  C.  D. 2. 若复数在复平面对应点在第四象限，则，满足（）A.  B.  C.  D. 3. 等差数列的前项和为，且，，则（）A. 10 B. 2 C.  D. 4. 已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数的取值范围为（）A B.  C.  D. 5. 在的展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中常数项为（）A.  B.  C.  D. 6. “传得淮南术最佳，皮肤退尽见精华．旋转磨上流琼液，煮月铛中滚雪花．”推豆花是传统的劳动技能，早在汉朝劳动人民发明了豆腐，通过连杆带动石磨转动，碾碎黄豆，磨出豆浆，再利用胆水，点出豆花，压成豆腐（如图1）．推豆磨的过程（图2），推磨人（身体在点）发力推动连杆，带动石磨逆时针转动，随着连杆移动，人随着连杆移动适当倾斜．当连杆在处与磨盘圆面相切时，人侧倾到，此时能使得推磨效率最大．若，，，，则下列等式成立的是（）A.  B. C D. 7. 若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱外接球和内切球的半径分别为、，则（）A.  B.  C.  D. 8. 若关于不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A.  B.  C.  D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．9. 函数，则下列结论正确的是（    ）A. 为奇函数 B. 为增函数C. ， D. ，10. 2022年春节期间，冬奥会在北京举行，为全国人民带来一场体育盛宴．为了解市民对冬奥会体育节目收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众收看冬奥会系列节目时长的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A. B. 男性观众收看节目时长的众数为8小时C. 女性观众收看节目的平均时长小于男性观众的平均时长D. 收看节目达到9小时观众中的女性人数是男性人数的11. 如图所示，棱长为2的正方体中，是棱的中点，记过，，的平面为，是上底面上的动点，且，则下列说法正确的是（）  A. 截正方体所得截面为等腰梯形B. 将正方体分成两部分的体积比为7：17C. 点在线段上D. 的最小值为12. 已知为抛物线的焦点，过直线上一动点作的两条切线，切点分别为、，则下列恒为定值的是（）A.  B.  C.  D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设随机变量，若，则的取值范围为________．14. 在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________．15. 双曲线的焦距为，圆与及的渐近线分别在第一象限交于点、．若、关于直线对称，则的离心率为________．16. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1．设，则________；是平面图形边上的动点，则的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列满足，．（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求数列的前30项和．19. 已知函数的部分图象如图所示，图象过点和点，且相邻对称轴之间距离为．（1）求的解析式，并求出的对称中心；（2）若，且在区间上单调递增，求的最大值．21. 新高考数学试题第题为多选题，多选题的评分标准：在每小题给出的、、、四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得分，部分选对得分，有选错或不选得分．在某次考试中，命题人对第题和第题分别设置了个和个正确选项．甲同学在考前没有做好复习，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的．（1）若甲同学第题选了个选项，第题选了个选项，求甲同学在第和题合计得分为分的概率；（2）考试中，甲同学准备采用以下方案完成第题和第题：方案一：第和每道题都随机选一个选项；方案二：第和每道题都随机选两个选项；从得分角度考虑，请你帮甲同学选择一种更优方案．23. 如图，在四棱锥中，平面，是正三角形，，．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．25. 已知椭圆的焦点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若、为上不同的两点，动点、满足：，，且在上．（i）求证：点在上；（ii）若过焦点，求实数的取值范围．27. 已知函数，其中．（1）当，求的极值；（2）若曲线与直线在上有且只有一个交点，求的取值范围．
  
【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ABD【12题答案】【答案】BCD【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】    ①. 1    ②. 【17题答案】【答案】（1），，（2）【小问1详解】解：因为，且，所以，，，所以，，为以2为首项，2为公等比的等比数列，所以；【小问2详解】解：，，∴数列的前30项和为．【19题答案】【答案】（1），对称中心为（2）【小问1详解】对称轴间距为，则又过，过点，∴，即，,∵，，，令，解得对称中心为【小问2详解】故单调递增区间：，解得：，即单调递增区间为，在上单调递增．最大值为．【21题答案】【答案】（1）（2）选择方案一【小问1详解】解：由题意可知，甲同学在第和题合计得分为分，则甲同学第和题全答对，故所求概率为.【小问2详解】解：若甲同学采用方案一，得分为随机变量，则的可能取值为、、，，，，所以，；若甲同学采用方案二，得分为随机变量，则的可能取值为、、、，则，，，，所以，，故甲同学应选择方案一.【23题答案】【小问1详解】证明：分别取、的中点、，连接、、，因为、分别为、的中点，则且，因为且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为平面，则平面，平面，所以，，因为是等边三角形，且为的中点，则，，平面，则平面，平面，因此，平面平面.【小问2详解】解：取的中点，连接，为等边三角形，的中点为，则，因为平面，平面，则，，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，则，设平面的法向量为，，，则，取，则，，则，因此，平面与平面所成二面角的正弦值为.【25题答案】【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）.【小问1详解】解：由已知可得，可得，则，故椭圆的方程为.【小问2详解】解：（i）设点、，则，，因为，则点，同理可得点，因为点在椭圆上，则，整理可得，所以，，故点也在椭圆上.（ii）若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，，由可得，整理可得，解得或；若直线与轴重合，可设、，则，由题意可得，解得或.综上所述，实数的取值范围是.【27题答案】【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）【小问1详解】由题意，，则，故在单调递减，在单调递增.有极小值，无极大值.【小问2详解】设，则，①当时，，在上无零点，不合题意；②当，则单调递增，时，由零点存在性定理得在中只有一个零点，即曲线与直线在上有且只有一个交点.②时，在单调递减，单调递增若，则只能若，则在单调递减，时，则要，则故综上：.