人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算教案设计

复数的乘法与除法运算

【教学过程】

一、问题导入

我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即时，有

，

而且，实数的正整数次幂满足

，，，

其中m，n均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？

二、新知探究

1.复数代数形式的乘法运算

【例1】（1）已知，i是虚数单位．若与互为共轭复数，则（    ）

A． B．

C． D．

（2）复数的共轭复数等于（    ）

A． B．

C． D．

（3）i是虚数单位，复数__________.

[解析]（1）由题意知，，，.

（2）.

.故选C.

（3）.

[答案]（1）D

（2）C

（3）

【教师小结】

（1）两个复数代数形式乘法的一般方法

首先按多项式的乘法展开；再将换成；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

（2）常用公式

（1）；

（2）；

（3）.

2.复数代数形式的除法运算

【例2】（1）（    ）

A． B．

C． D．

（2）i是虚数单位，复数（    ）

A． B．

C. D．

[解析]（1）法一：.故选D.

法二：．

（2），故选A.

[答案]（1）D

（2）A

【教师小结】

（一）两个复数代数形式的除法运算步骤

（1）首先将除式写为分式；

（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

（二）常用公式

（1）；（2）；（3）.

3.的周期性及应用

[探究问题]

（1）与i是否相等？

提示：，相等．

（2）的值为多少？

提示：.

【例3】计算.

[思路探究]本题中需求多个和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及的周期性化简；也可利用化简．

[解]法一：

原式.

法二：，

，

.

三、课堂总结

（一）复数的乘法及其运算律

1．定义

.

2．运算律

对任意，有

3．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．

4．；；；．

（二）复数的除法法则

1．已知，如果存在一个复数，使，则叫做z的倒数，记作，则且.

2．复数的除法法则

设，，

.