2021学年17.1 勾股定理练习

17.1.2 勾股定理的应用

基础对点练

知识点1 勾股定理的实际应用

1.如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有（　　）米．

A．4 B．3.5 C．5 D．13.6

【答案】A

【详解】

试题解析：如图，∵大树高米，在离地面米处折断，

(米).

故选A.

2.一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距______________海里．

【答案】20

【详解】

如图，

∵由图可知AC=16×1=16（海里），

AB=12×1=12（海里），

在Rt△ABC中，BC=＝20（海里）．

故它们相距20海里．

故答案为：20

3.如图，已知圆柱底面圆的周长为10cm，高为12cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则爬行的最短路程是______．

【答案】13cm．

【详解】

将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：

∵底面⊙O的周长为10cm，

∴AC=5cm．

∵高BC=12cm，

∴AB13cm．

故答案为：13cm．

4.如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．

【答案】10

【详解】

两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m

根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m．

故答案为：10．

5.一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？

【答案】（1）24米；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．

【详解】

（1）如图，在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2，得

AC==24(米)

答：这个梯子的顶端距地面有24米．

（2）由A'B'2=A'C2+CB'2，得

B'C==15(米)，

∴BB'=B'C﹣BC=15﹣7=8(米)．

答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．

知识点2 在数轴上表示无理数

6.小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是___．

【答案】

【详解】

解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，

∴OB=，

∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为．

故答案为：．

7.在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标在哪两个数之间（　　）

A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4

【答案】C

【详解】

解：∵A（﹣1，0），B（0，3），

∴OA＝1，OB＝3，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：

AB＝

∴AC＝AB＝，

∴点C的横坐标为，

∵，

∴

∴

故选C．

能力达标练

8.如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（       ）

A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺

【答案】C

【详解】

解：设水池的深度为尺，由题意得：

，

解得：，

所以．

即：这个芦苇的高度是17尺．

故选：C．

9.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）

A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤l3

【答案】A

【详解】

分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．

解答：解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．

即a的取值范围是12≤a≤13．

故选A．

10.如图、山坡的高BC=5m，水平距离AC=12m，若   在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共 ( )

A．19棵 B．20棵 C．21棵 D．22棵

【答案】C

【详解】

解：∵山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，

∴AB=

∵每隔0.65m栽一棵茶树，

∴13÷0.65=20棵，

则从上到下共21颗．

故答案为C．

11.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（       ）

A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm

【答案】B

【详解】

三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，

由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，

解得x=25．

故选B．

12.为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（　　）元．

A．75a B．50a C．a D．150a

【答案】A

【详解】

解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，

∵∠ABC＝150°，

∴∠DBC＝30°，

∵CD⊥BD，BC＝15米，

∴CD＝7.5米，

∵AB＝10米，

∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），

∵每平方米售价2a元，

∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），

故选：A．

13.如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（       ）

A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm

【答案】B

【详解】

解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm

由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6

∴BD=DE+BE=8

连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．

故选：B．

14.如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

【详解】

解：由折叠可得DN=EN，设CN=x，则EN=8﹣x，

∵CN2+CE2=EN2，

∴x2+42=（8﹣x）2，

解得x=3．

故选B．

15.如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100 km到达C点，求A，C两点之间的距离．

【答案】200 km．

【详解】

试题分析：

由题意易证：△ABC中，∠ABC=90°，这样在△ABC中由勾股定理结合AB=，BC=100，即可求出AC的长.

试题解析：

∵AD∥BE，

∴∠DAB＋∠ABC＋∠CBF＝180°.

又∵由题意可得∠DAB＝60°，∠CBF＝30°，

∴∠ABC＝90°，

∴AC＝ （km），即A、C两点间的距离为200km.

16.如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？

【答案】20千米

【详解】

解：设基地E应建在离A站x千米的地方．

则BE=（50﹣x）千米

在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2

∴302+x2=DE2

在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2

∴202+（50﹣x）2=CE2

又∵C、D两村到E点的距离相等．

∴DE=CE

∴DE2=CE2

∴302+x2=202+（50﹣x）2

解得x=20

∴基地E应建在离A站20千米的地方．

17.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．

（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；

（2）确定C港在A港的什么方向．

【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．

【解析】

【分析】

（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.

（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，

所而确定C港在A港的什么方向.

【详解】

（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．

∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．

答：A、C两地之间的距离为14.1km．

（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，

∴C港在A港北偏东15°的方向上．

【点睛】

本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.

18.2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图所示：长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：）．其中长方形是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上．这杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度．

【答案】70cm

【解析】

【分析】

分析可知：彩旗自然下垂时，距离地面的最小距离是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长．

【详解】

解：由题意可得：

彩旗这一长方形的对角线即=150，

∴h=220-150=70cm．

【点睛】

本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．

拓广探索突破

19.（综合应用题）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，一直某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．

【答案】拉杆把手C离地面的距离为63cm

【解析】

【分析】

过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652-x2=1002-（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．

【详解】

如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，则∠AFC＝90°，

设A'F＝x，则AF＝55+x，

由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，

∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，

Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，

∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，

解得x＝25，

∴A'F＝25，

∴CF＝＝60（cm），

又∵EF＝AD＝3（cm），

∴CE＝60+3＝63（cm），

∴拉杆把手C离地面的距离为63cm．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．