2012-2013学年湖北省襄阳市某校九年级（下）期中数学试卷

这是一份2012-2013学年湖北省襄阳市某校九年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1. 某市2010年元旦这天的最高气温是8​∘C，最低气温是−2​∘C，则这天的最高气温比最低气温高（ ）
A.10​∘CB.−10​∘CC.6​∘CD.−6​∘C

2. 下列说法错误的是（ ）
A.16的平方根是±2B.2是无理数
C.3−27是有理数D.22是分数

3. 如图，已知直线AB // CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150∘，则∠C的度数为( )

A.150∘B.130∘C.120∘D.100∘

4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿m3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水27500亿m3这个用科学记数法表示并保留两个有效数字为（ ）
×1012m3B.2.7×1010m3
C.2.8×1010m3D.2.8×1012m3

5. 下列命题中，真命题有（ ）
(1)邻补角的平分线互相垂直
(2)对角线互相垂直平分的四边形是正方形
(3)四边形的外角和等于360∘
(4)矩形的两条对角线相等．
A.1个B.2个C.3个D.4个

6. 甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相等；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论正确的是( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③

7. 在实数范围内把x2−3分解因式是（ ）
A.(x+3)(x−3)B.(x−3)(x+3)C.(x−3)2D.(x+3)(x−3)

8. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

A.4个B.3个C.2个D.1个

9. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A.3:1B.4:1C.5:1D.6:1

10. 计算32×12+2⋅5的结果估计在（ ）
A.6至7之间B.7至8之间C.8至9之间D.9至10之间

11. 已知⊙O的半径为13cm，弦AB // CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm

12. 已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组2x−y=33x+2y=8，则此等腰三角形的周长为（ ）
A.5B.4C.3D.5或4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在对应位置的横线上.

计算：16−a2a2+8a+16÷a−42a+8=________．

若x1、x2是方程x2−3x−1=0的两根，则−x1−x2=________．

将抛物线y=−12x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为________．

一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是________．

在△ABC中，AB=8，∠ABC=30∘，AC=5，则BC=________．
三、解答题（本大题共9个小题，共69分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内．

已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的纵坐标是2，
（1）求反比例函数的解析式；

（2）当−3≤x≤−1时，求反比例函数y的取值范围．

2010年4月14日，青海省玉树发生了7.1级地震．我市某中学开展了“情系玉树，大爱无疆”爱心捐款活动．杨光同学对九
（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制作了一个不完全的频数分布直方图（如图1）和扇形统计图（如图2）．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元．
（1）请补全频数分布直方图；

（2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是________．

已知[(x2+y2)−(x−y)2+2y(x−y)]÷4y=1，求4x4x2−y2−12x+y的值．

如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米​2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？

如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30∘，看这栋大楼底部C的俯角为60∘．热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．


如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45∘，∠A=∠D=90∘．
（1）求证：AB=DE；

（2）若AC交DE于M，且AB=3，ME=2，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．

为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A，B两种型号的收割机30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：
设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元．
（1）试写出y与x的函数关系式；

（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？

（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？

如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB // OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；

（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明．

如图，四边形ABCO是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？

（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？
参考答案与试题解析
2012-2013学年湖北省襄阳市某校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
有理数的减法
【解析】
用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”计算求解．
【解答】
解：8−(−2)=8+2=10​∘C．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
实数
平方根
有理数无理数的概念与运算
【解析】
A、根据算术平方根、平方根的定义即可判定；
B、根据无理数的定义即可判定；
C、根据无理数和立方根的定义即可判定；
D、根据开平方和有理数、无理数和分数的定义即可判定．
【解答】
解：A、16的平方根是±2，故正确；
B、2是无理数，故正确；
C、3−27=−3是有理数，故正确；
D、22不是分数，它是无理数，故错误．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
平行线的判定与性质
角平分线的定义
【解析】
先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．
【解答】
解：∵ 直线AB // CD，∴ ∠CDB=∠ABD，
∵ ∠CDB=180∘−∠CDE=30∘，
∴ ∠ABD=30∘，
∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD，
∴ ∠ABC=∠CBD+∠ABD=60∘，
∵ AB // CD，
∴ ∠C=180∘−∠ABC=180∘−60∘=120∘．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
科学记数法与有效数字
【解析】
有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】
解：27500亿米​3=2750000000000≈2.8×1012米​3．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
命题与定理
【解析】
分析是否为真命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．
【解答】
解：(1)由邻补角及角平分线的性质知正确；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
(3)由多边形的外角和定理知正确；
(4)由矩形的性质知正确．
所以有三个正确．
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
中位数
方差
算术平均数
统计量的选择
【解析】
平均水平的判断主要分析平均数；优秀人数的判断从中位数不同可以得到；波动大小比较方差的大小．
【解答】
解：从表中可知，平均字数都是135，①正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，②正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况大，所以③也正确．
综上，①②③都正确．
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
实数范围内分解因式
【解析】
此时可写成x2−(3)2，符合平方差公式的特点，可以利用平方差公式分解．
【解答】
解：x2−3=x2−(3)2=(x−3)(x+3)．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
①是轴对称图形，也是中心对称图形；
②是轴对称图形，不是中心对称图形；
③是轴对称图形，也是中心对称图形；
④是轴对称图形，也是中心对称图形．
9.
【答案】
C
【考点】
菱形的性质
含30度角的直角三角形
【解析】
根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
【解答】
解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30∘，相邻的角为150∘，则该菱形两邻角度数比为5:1．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
实数的运算
估算无理数的大小
【解析】
首先把二次根式的化简，然后估算无理数的大小即可解决问题．
【解答】
解：原式=42×22+10=4+10．
∵ 9<10<16，
∴ 9<10<16，
∴ 3<10<4，
∴ 7<4+10<8．
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵ AB=24cm，CD=10cm，
∴ AE=12cm，CF=5cm，
∵ OA=OC=13cm，
∴ EO=5cm，OF=12cm，
∴ EF=12−5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵ AB=24cm，CD=10cm，
∴ AE=12cm，CF=5cm，
∵ OA=OC=13cm，
∴ EO=5cm，OF=12cm，
∴ EF=OF+OE=17cm．
∴ AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
等腰三角形的判定与性质
代入消元法解二元一次方程组
三角形三边关系
【解析】
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程组的解，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【解答】
解：解方程组2x−y=33x+2y=8得，x=2y=1．
当腰为2，1为底时，2−1<2<2+1，能构成三角形，周长为2+2+1=5；
当腰为1，2为底时，1+1=2，不能构成三角形．
故选A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在对应位置的横线上.
【答案】
−2
【考点】
分式的混合运算
【解析】
首先将各分式的分子和分母分解因式，然后再将除法统一为乘法运算，再约分、化简即可．
【解答】
解：原式=(4−a)(4+a)(a+4)2×2(a+4)a−4=−2．
【答案】
−3
【考点】
根与系数的关系
【解析】
根据根与系数的关系x1+x2=−ba解题．
【解答】
解：∵ x1、x2是方程x2−3x−1=0的两根，
∴ x1+x2=3，
∴ −x1−x2=−(x1+x2)=−3．
故答案是：−3．
【答案】
y=−12(x−1)2+2
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】
解：函数y=−12x2向上平移2个单位，得：y=−12x2+2；
再向右平移1个单位，得：y=−12(x−1)2+2．
【答案】
180∘
【考点】
圆锥的计算
【解析】
根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】
设母线长为R，底面半径为r，
∴ 底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积=12lr＝πrR，
∵ 侧面积是底面积的2倍，
∴ 2πr2＝πrR，
∴ R＝2r，
设圆心角为n，有nπR180=2πr，
∴ n＝180．
【答案】
43±3
【考点】
解直角三角形
【解析】
过A作BC的垂线，设垂足为D．首先在Rt△ABD中，求出AD的长，进而可在两个直角三角形中求出CD、BD的长；由于∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．
【解答】
解：如图，过A作AD⊥BC（或BC的延长线）于D点．
如图①，Rt△ABD中，AB=8，∠ABC=30∘，
∴ AD=4，BD=43．
在Rt△ACD中，AC=5，AD=4，
由勾股定理，得：CD=AC2−AD2=3．
∴ BC=CD+BD=43+3；
如图②，由CD=3，BD=43可得：
BC=BD−CD=43−3．
综上，BC=43±3．
故答案为：43±3．
三、解答题（本大题共9个小题，共69分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内．
【答案】
解：（1）由题意，得2x=2，
∴ x=1，
将x=1，y=2，代入y=kx中，得：k=1×2=2．
∴ 所求反比例函数的解析式为y=2x．
（2）当x=−3时，y=−23；当x=−1时，y=−2．
∵ 2>0，∴ 反比例函数在每个象限内y随x的增大而减少．
∴ 当−3≤x≤−1时，反比例函数y的取值范围为−2≤y≤−23．
【考点】
函数的综合性问题
【解析】
（1）将两函数交点的纵坐标代入解析式，求出该点的坐标，将此坐标代入反比例函数y=kx，即可求出k的值，从而得到解析式．
（2）求出x=−3，x=−1时y的取值，再根据反比例函数的增减性求出y的取值范围．
【解答】
解：（1）由题意，得2x=2，
∴ x=1，
将x=1，y=2，代入y=kx中，得：k=1×2=2．
∴ 所求反比例函数的解析式为y=2x．
（2）当x=−3时，y=−23；当x=−1时，y=−2．
∵ 2>0，∴ 反比例函数在每个象限内y随x的增大而减少．
∴ 当−3≤x≤−1时，反比例函数y的取值范围为−2≤y≤−23．
【答案】
15−20．
【考点】
频数（率）分布直方图
扇形统计图
中位数
【解析】
（1）根据5−10组的人数和占的百分比求出总人数，再分别算出捐款数在20−25之间的人数和捐款数在10−15之间的人数，补全条形图即可；
（2）先计算出中位数，再找中位数所在的范围即可．
【解答】
解：（1）总人数是；5÷10%=50（人），
捐款数在20−25之间的人数：50×20%=10（人），
捐款数在10−15之间的人数：50−5−10−20=15（人），
如图：
（2）将捐款数额从小到大排列，
∵ 共50个数，
∴ 第25和26位数的平均数是中位数，这两个数处在第三小组，
∴ 九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是15−20；
【答案】
解：[(x2+y2)−(x−y)2+2y(x−y)]÷4y
=(x2+y2−x2+2xy−y2+2xy−2y2)÷4y
=(4xy−2y2)÷4y
=x−12y
∵ x−12y=1，
∴ 2x−y=2，
∴ 4x4x2−y2−12x+y，
=4x(2x+y)(2x−y)−12x+y
=4x−2x+y(2x+y)(2x−y)
=2x+y(2x+y)(2x−y)
=12x−y
=12．
【考点】
分式的加减运算
整式的混合运算
【解析】
先对所给的等式化简，可求出2x−y的值，然后化简所求代数式，再把2x−y的值整体代入求值即可．
【解答】
解：[(x2+y2)−(x−y)2+2y(x−y)]÷4y
=(x2+y2−x2+2xy−y2+2xy−2y2)÷4y
=(4xy−2y2)÷4y
=x−12y
∵ x−12y=1，
∴ 2x−y=2，
∴ 4x4x2−y2−12x+y，
=4x(2x+y)(2x−y)−12x+y
=4x−2x+y(2x+y)(2x−y)
=2x+y(2x+y)(2x−y)
=12x−y
=12．
【答案】
矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
可设正方形观光休息亭的边长为x米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
【解答】
解：设正方形观光休息亭的边长为x米．
依题意，有(100−2x)(50−2x)=3600
整理，得x2−75x+350=0
解得x1=5，x2=70
∵ x=70>50，不合题意，舍去，
∴ x=5．
【答案】
这栋大楼的高为160米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
过A作BC的垂线，设垂足为D．在Rt△ACD中，利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长；进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长；由BC＝CD−BD即可求出楼的高度．
【解答】
作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．
则∠CDA＝90∘，∠CAD＝60∘，∠BAD＝30∘，CD＝240米．
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，
∴ AD=CDtan60=2403=803．
在Rt△ABD中，tan∠BAD=BDAD，
∴ BD＝AD⋅tan30∘＝803×33=80．
∴ BC＝CD−BD＝240−80＝160．
【答案】
（1）证明：∵ BE=FC，
∴ BC=EF，
又∵ ∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，
∴ △ABC≅△DEF，
∴ AB=DE．
（2）解：∵ ∠DEF=∠B=45∘，
∴ DE // AB，
∴ ∠CME=∠A=90∘，
∴ AC=AB=3，MC=ME=2，
∴ 在Rt△MEC中，EC=ME2+MC2=(2)2+(2)2=2，
∴ CG=CE=2，
在Rt△CAG中，cs∠ACG=ACCG=32，
∴ ∠ACG=30∘，
∴ ∠ECG=∠ACB−∠ACG=45∘−30∘=15∘．
【考点】
旋转的性质
直角三角形全等的判定
锐角三角函数的定义
解直角三角形
【解析】
（1）通过证明△ABC≅△DEF即可得出AB=DE．
（2）要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算．
【解答】
（1）证明：∵ BE=FC，
∴ BC=EF，
又∵ ∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，
∴ △ABC≅△DEF，
∴ AB=DE．
（2）解：∵ ∠DEF=∠B=45∘，
∴ DE // AB，
∴ ∠CME=∠A=90∘，
∴ AC=AB=3，MC=ME=2，
∴ 在Rt△MEC中，EC=ME2+MC2=(2)2+(2)2=2，
∴ CG=CE=2，
在Rt△CAG中，cs∠ACG=ACCG=32，
∴ ∠ACG=30∘，
∴ ∠ECG=∠ACB−∠ACG=45∘−30∘=15∘．
【答案】
选择第三种方案获利最大，最大利润为15.6万元，获得的政府补贴为18.72万元
【考点】
一次函数的应用
一元一次不等式组的应用
【解析】
（1）y=（A型收割机售价−A型收割机进价）x+（B型收割机售价−B型收割机进价）×(30−x)；
（2）购买收割机总台数为30台，用于购买收割机的总资金为130万元，总的销售后利润不少于15万元．可得到两个一元一次不等式．
（3）利用y与x的函数关系式y=0.3x+12来求最大利润．
【解答】
解：（1）y=(6−5.3)x+(4−3.6)(30−x)=0.3x+12
（2）依题意，有5.3x+(30−x)×3.6≤1300.3x+12≥15
即x≤121617x≥10∴ 10≤x≤121617
∵ x为整数，∴ x=10，11，12，
即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：
方案1：购进A型收割机10台，购进B型收割机20台；
方案2：购A型收割机11台，购B型收割机19台；
方案3：购进A型收割机12台，购B型收割机18台．
（3）∵ 0.3>0，
∴ 一次函数y随x的增大而增大．
即当x=12时，y有最大值，y最大值=0.3×12+12=15.6（万元），
此时，W=6×13%×12+4×13%×18=18.72（万元）．
答：选择第三种方案获利最大，最大利润为15.6万元，获得的政府补贴为18.72万元
【答案】
（1）证明：连接OB．
∵ BC // OP，
∴ ∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又∵ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠CBO，
∴ ∠POB=∠POA．
又∵ PO=PO，OB=OA，
∴ △POB≅△POA，
∴ ∠PBO=∠PAO=90∘，
∴ PB是⊙O的切线
（2）2PO=3BC（写PO=32BC亦可）．
证明：∵ △POB≅△POA，
∴ PB=PA．
∵ BD=2PA，
∴ BD=2PB．
∵ BC // PO，
∴ △DBC∽△DPO．
∴ BCPO=BDPD=23（相似三角形的对应边成比例），
∴ 2PO=3BC．
注：开始没有写出判断结论，证明正确也给满分、
【考点】
切线的判定与性质
全等三角形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）连接OB．欲证明直线PB是⊙O的切线，只需证明OB⊥PB即可；
（2）根据（1）中全等三角形(△POB≅△POA)的对应边相等推知PB=PA，由已知条件“BD=2PA”、等量代换可以求得BD=2PB；然后由相似三角形(△DBC∽△DPO)的对应边成比例可以求得
BCPO=BDPD=23，从而解得2PO=3BC．
【解答】
（1）证明：连接OB．
∵ BC // OP，
∴ ∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又∵ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠CBO，
∴ ∠POB=∠POA．
又∵ PO=PO，OB=OA，
∴ △POB≅△POA，
∴ ∠PBO=∠PAO=90∘，
∴ PB是⊙O的切线
（2）2PO=3BC（写PO=32BC亦可）．
证明：∵ △POB≅△POA，
∴ PB=PA．
∵ BD=2PA，
∴ BD=2PB．
∵ BC // PO，
∴ △DBC∽△DPO．
∴ BCPO=BDPD=23（相似三角形的对应边成比例），
∴ 2PO=3BC．
注：开始没有写出判断结论，证明正确也给满分、
【答案】
解：（1）∵ 四边形ABCO是平行四边形，
∴ OC=AB=4
∴ A(4, 2)，B(0, 2)，C(−4, 0)；
∵ 抛物线y=ax2+bx+c过点B，
∴ c=2
由题意，有16a−4b+2=016a+4b+2=2
解得a=−116b=14
∴ 所求抛物线的解析式为y=−116x2+14x+2；
（2）将抛物线的解析式配方，得y=−116(x−2)2+214
∴ 抛物线的对称轴为x=2；
∴ D(8, 0)，E(2, 2)，F(2, 0)
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，即BP=FQ；
∴ t=6−3t，
即t=1.5；
（3）欲使以点P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵ ∠PBO=∠BOQ=90∘，
∴ 有BPOB=OQBO或BPOB=BOOQ，
即PB=OQ或OB2=PB⋅QO；
①若P、Q在y轴的同侧；
当PB=OQ时，t=8−3t，
∴ t=2．
当OB2=PB⋅QO时，t(8−3t)=4，
即3t2−8t+4=0，
解得t=2，t=23；
②当P、Q在y轴的两侧；
当PB=OQ时，Q、C重合，P、A重合，此时t=4；
当OB2=PB⋅QO时，t(3t−8)=4，
即3t2−8t−4=0，
解得t=4±273；
∵ t=4−273<0，故舍去；
∴ t=4+273；
∴ 当t=2或t=23，t=4或t=4+273秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）根据AB、OB的长，即可得到A、B点的坐标；由于四边形ABCO是平行四边形，则AB=OC，由此可求出OC的长，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出D点的坐标及抛物线的对称轴方程，进而可求出E、F的坐标；若四边形POQE是等腰梯形，则OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根据这个等量关系即可求出t的值；
（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，对应相等，若以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，则有两种情况：
①P、Q在y轴同侧，②P、Q在y轴两侧；
每种情况又分为△PBO∽△QOB（此时两者全等），△PBO∽△BOQ两种情况；根据不同的相似三角形所得到的不同的比例线段即可求出t的值．
【解答】
解：（1）∵ 四边形ABCO是平行四边形，
∴ OC=AB=4
∴ A(4, 2)，B(0, 2)，C(−4, 0)；
∵ 抛物线y=ax2+bx+c过点B，
∴ c=2
由题意，有16a−4b+2=016a+4b+2=2
解得a=−116b=14
∴ 所求抛物线的解析式为y=−116x2+14x+2；
（2）将抛物线的解析式配方，得y=−116(x−2)2+214
∴ 抛物线的对称轴为x=2；
∴ D(8, 0)，E(2, 2)，F(2, 0)
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，即BP=FQ；
∴ t=6−3t，
即t=1.5；
（3）欲使以点P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵ ∠PBO=∠BOQ=90∘，
∴ 有BPOB=OQBO或BPOB=BOOQ，
即PB=OQ或OB2=PB⋅QO；
①若P、Q在y轴的同侧；
当PB=OQ时，t=8−3t，
∴ t=2．
当OB2=PB⋅QO时，t(8−3t)=4，
即3t2−8t+4=0，
解得t=2，t=23；
②当P、Q在y轴的两侧；
当PB=OQ时，Q、C重合，P、A重合，此时t=4；
当OB2=PB⋅QO时，t(3t−8)=4，
即3t2−8t−4=0，
解得t=4±273；
∵ t=4−273<0，故舍去；
∴ t=4+273；
∴ 当t=2或t=23，t=4或t=4+273秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
1.91
135
乙
55
151
1.10
135
A型收割机
B型收割机
进价（万元/台）
5.3
3.6
售价（万元/台）
6
4