2016-2017学年湖北省鄂州市九年级（下）期中数学试卷

展开

这是一份2016-2017学年湖北省鄂州市九年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

1. |−8|的相反数是( )
A.−8B.8C.18D.−18

2. 下列运算正确的是（）
A.a3⋅a4=a12B.3a2⋅2a3=6a6
C.(−2x2y)3=−8x6y3D.(−3a2b3)2=6a4b6

3. 下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）

A.B.C.D.

4. 阿联抛一枚质地均匀的硬币，连续抛3次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第4次，那么硬币正面朝上的概率为( )
A.12B.13C.14D.1

5. 若方程组3x+y=k+1x+3y=3的解x，y满足0A.−4−4

6. 如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是( )

A.3B.2C.52D.4

7. 如图所示，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m, m+3)和CD上的点E，且OB−CE＝1．直线l过O、E两点，则tan∠EOC的值为（）

A.92B.5C.29D.3

8. 如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=100∘，连接AC，则∠A的度数是（）
A.15∘B.30∘C.40∘D.45∘

9. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝−1，且过点(−3, 0)．下列说法：
①abc<0；
②2a−b＝0；
③4a+2b+c<0；
④若(−5, y1)，(52, y2)是抛物线上两点，则y1>y2．
其中说法正确的是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

10. 如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=3，则弦BC的最大值为（）

A.23B.3C.6D.32
二、填空题（每空3分，共18分）

分解因式：(a2+1)2−4a2=________．

若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+2与2m−5，则ba=________．

在△ABC中，∠C=90∘，AB=6，sin∠B=13，则BC=________．

将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________．

如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=3，EF=4，FC=5，则正方形ABCD的外接圆的半径是________．

如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为________．

三、简答题（共72分）

先化简，再求值：(x−1x2−x−xx2−2x+1)÷1x−1，其中x满足方程x2−x−6=0．

在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．

（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；

（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．

已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，EM是AD的中垂线，交BC延长线于E．
（1）连接AE，证明：∠EAC=∠B．

（2）求证：DE2=BE⋅CE．

如图，已知斜坡AB长为80米，坡角（即∠BAC）为30∘，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．

(1)若修建的斜坡BE的坡角为45∘，求平台DE的长；（结果保留根号）

(2)一座建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30∘．点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果保留根号）

如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90∘，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．

某公司投资1200万元购买了一条新生产线生产新产品．根据市场调研，生产每件产品需要成本50元，该产品进入市场后不得低于80元/件且不得超过160元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；

（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，公司第二年重新确定产品售价，能否使前两年盈利总额达790万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，说明理由．

已知：如图一，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x−2经过A、C两点，且AB＝2．
（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=ED+OPED⋅OP，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．

（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2016-2017学年湖北省鄂州市九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每空3分，共30分）
1.
【答案】
A
【考点】
绝对值
相反数
【解析】
先根据绝对值的意义得到|−8|=8，然后根据相反数的意义求解．
【解答】
解：∵ |−8|=8，
而8的相反数为−8，
∴ |−8|的相反数为−8．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
单项式乘单项式
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
【解析】
分别利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则化简求出答案．
【解答】
解：A、a3⋅a4=a7，故此选项错误；
B、3a2⋅2a3=6a5，故此选项错误；
C、(−2x2y)3=−8x6y3，正确；
D、(−3a2b3)2=9a4b6，故此选项错误．
故选：C．
3.
【答案】
B
【考点】
由三视图判断几何体
简单组合体的三视图
【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】
从俯视图可以看出直观图的各部分的个数，
可得出左视图前面有2个，中间有3个，后面有1个，
即可得出左视图的形状．
4.
【答案】
A
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【解答】
解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12.
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
加减消元法解二元一次方程组
解一元一次不等式组
【解析】
理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k的取值范围．
【解答】
解：∵ 0观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4，
两边都除以4得，x+y=k+44，
所以k+44>0，
解得k>−4；
k+44<1，
解得k<0．
所以−4故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
三角形中位线定理
等腰三角形的判定与性质
【解析】
利用中位线定理，得到DE // AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长．
【解答】
解：在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，
∴ DE // AB，
∴ ∠EDC=∠ABC．
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠EDC=2∠FBD．
在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，
∴ ∠DBF=∠DFB，
∴ FD=BD=12BC=12×6=3．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
正方形的性质
解直角三角形
【解析】
根据A点坐标求出B点坐标及C点坐标，再用m表示出E点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特点求出m的值，进而可得出结论．
【解答】
∵ 点A(m, m+3)，
∴ B(m, 0)，C(2m+3)．
∵ OB−CE＝1，
∴ E(2m+3, m−1)．
∵ AE两点在同一个反比例函数的图象上，
∴ m(m+3)＝(2m+3)(m−1)，解得m1＝−1（舍去），m2＝3，
∴ E(9, 2)，
∴ tan∠EOC=CEOC=29．
8.
【答案】
C
【考点】
切线的性质
【解析】
首先连接OC，由BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=100∘，利用四边形内角和定理，即可求得∠AOC的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
【解答】
解：连接OC，
∵ BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，
∴ OB⊥BD，OC⊥CD，
∵ ∠BDC=100∘，
∴ 在四边形OBDC中，∠BOC=360∘−90∘−90∘−100∘=80∘，
∴ ∠A=12∠BOC=40∘．
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据图象得出a>0，b＝2a>0，c<0，即可判断①②；把x＝2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点(−5, y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3, y1)，根据当x>−1时，y随x的增大而增大即可判断④．
【解答】
∵ 二次函数的图象的开口向上，
∴ a>0，
∵ 二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴ c<0，
∵ 二次函数图象的对称轴是直线x＝−1，
∴ −b2a=−1，
∴ b＝2a>0，
∴ abc<0，∴ ①正确；
2a−b＝2a−2a＝0，∴ ②正确；
∵ 二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝−1，且过点(−3, 0)．
∴ 与x轴的另一个交点的坐标是(1, 0)，
∴ 把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c>0，∴ ③错误；
∵ 二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝−1，
∴ 点(−5, y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3, y1)，
根据当x>−1时，y随x的增大而增大，
∵ 52<3，
∴ y210.
【答案】
A
【考点】
三角形中位线定理
垂径定理
【解析】
过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理易知E是AB中点，从而OE是△ABC中位线，即BC＝20E，而OE≤OP，故BC≤2OP．
【解答】
过点O作OE⊥AB于E，如图：
∵ O为圆心，
∴ AE＝BE，
∴ OE=12BC，
∵ OE≤OP，
∴ BC≤2OP，
∴ 当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
最大值为2OP＝23．
二、填空题（每空3分，共18分）
【答案】
(a+1)2(a−1)2
【考点】
因式分解-运用公式法
【解析】
先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．
【解答】
解：(a2+1)2−4a2=(a2+1+2a)(a2+1−2a)
=(a+1)2(a−1)2．
故答案为：(a+1)2(a−1)2．
【答案】
9
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
一元二次方程的解
【解析】
利用直接开平方法表示出方程的解，确定出m的值，即可求出原式的值．
【解答】
解：∵ x2=ba，
∴ x=±ba，即方程的两个实数根互为相反数，
则m+2+2m−5=0，
解得：m=1，
∴ 方程的两根为x=3或x=−3，
∴ ba=x2=9.
故答案为：9．
【答案】
42
【考点】
解直角三角形
【解析】
根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，∠C=90∘，AB=6，sin∠B=13，
∴ sin∠B=ACAB=AC6=13，
得AC=2，
∴ BC=AB2−AC2=62−22=42，
故答案为：42．
【答案】
409或5
【考点】
相似三角形的判定
等腰三角形的判定与性质
翻折变换（折叠问题）
【解析】
设BF=x，利用折叠的性质得BF=B′F=x，则FC=10−x，由于∠FCB′=∠BCA，利用相似三角形的判定方法，当CFCB=CB′CA=FB′AB时，△CFB′∽△CBA或CFCA=CB′CB=FB′AB时，△CFB′∽△CAB，
然后利用相似比分别得到关于x的方程，再分别解方程求出x即可．
【解答】
解：设BF=x，
∵ △ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折叠痕为EF，
∴ BF=B′F=x，
∴ FC=BC−BF=10−x，
∵ ∠FCB′=∠BCA，
∴ 当CFCB=CB′CA=FB′AB时，△CFB′∽△CBA，
即10−x10=x8，即得x=409；
当CFCA=CB′CB=FB′AB时，△CFB′∽△CAB，
即10−x8=x8，即得x=5，
综上所述，当BF=409或5时，以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似．
故答案为409或5．
【答案】
45
【考点】
正多边形和圆
【解析】
首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，进而得到AC的长，在Rt△ABC中，由AB=AC⋅sin45∘，即可求出正方形的边长
【解答】
解：连接AC，
∵ AE丄EF，EF丄FC，
∴ ∠E=∠F=90∘，
∵ ∠AME=∠CMF，
∴ △AEM∽△CFM，
∴ AECF=EMFM，
∵ AE=3，EF=4，FC=5，
∴ EMFM=35，
∴ EM=1.5，FM=2.5，
在Rt△AEM中，AM=AE2+EM2=352，
在Rt△FCM中，CM=CF2+FM2=552，
∴ AC=45，
∴ 正方形ABCD的外接圆的半径是45，
故答案为：45．
【答案】
y＝−3x+18
【考点】
动点问题
【解析】
根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式．
【解答】
∵ 点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．
∴ 当Q到达B点，P在AD的中点时，△PAQ的面积最大是9cm2，设正方形的边长为acm，
∴ 12×12a×a＝9，
解得a＝6，即正方形的边长为6，
当Q点在BC上时，AP＝6−x，△APQ的高为AB，
∴ y=12(6−x)×6，即y＝−3x+18．
三、简答题（共72分）
【答案】
解：(x−1x2−x−xx2−2x+1)÷1x−1，
=[x−1x(x−1)−x(x−1)2](x−1)，
=(1x−x(x−1)2](x−1)，
=−1x(x−1)，
由x2−x−6=0，得
(x−3)(x+2)=0，
则x=3或x=−2．
当x=3时，原式=−13×(3−1)=−16；
当x=−2时，原式=−1−2(−2−1)=−16．
综上所述，原式=−16．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
化简分式可得原式=−1x(x−1)，解方程得x=−2或x=3，将其代入代入计算可得．
【解答】
解：(x−1x2−x−xx2−2x+1)÷1x−1，
=[x−1x(x−1)−x(x−1)2](x−1)，
=(1x−x(x−1)2](x−1)，
=−1x(x−1)，
由x2−x−6=0，得
(x−3)(x+2)=0，
则x=3或x=−2．
当x=3时，原式=−13×(3−1)=−16；
当x=−2时，原式=−1−2(−2−1)=−16．
综上所述，原式=−16．
【答案】
画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6，
所以抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率=612=12．
【考点】
勾股数
列表法与树状图法
【解析】
（1）利用树状图展示12种等可能的结果数；
（2）根据勾股数可判定只有A卡片上的三个数不是勾股数，则可从12种等可能的结果数中找出抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6，
所以抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率=612=12．
【答案】
解：(1)∵ 原方程有两个实数根，
∴ [−(2k+1)]2−4(k2+2k)≥0，
∴ 4k2+4k+1−4k2−8k≥0
∴ 1−4k≥0，
∴ k≤14．
∴ 当k≤14时，原方程有两个实数根．
(2)假设存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22≥0成立．
∵ x1，x2是原方程的两根，
∴ x1+x2=2k+1，x1⋅x2=k2+2k．
由x1⋅x2−x12−x22≥0，
得3x1⋅x2−(x1+x2)2≥0．
∴ 3(k2+2k)−(2k+1)2≥0，整理得：−(k−1)2≥0，
∴ 只有当k=1时，上式才能成立．
又∵ 由(1)知k≤14，
∴ 不存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22≥0成立．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[−(2k+1)]2−4(k2+2k)≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）假设存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22≥0成立．利用根与系数的关系可以求得x1+x2=2k+1，x1⋅x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式3x1⋅x2−(x1+x2)2≥0，通过解不等式可以求得k的值．
【解答】
解：(1)∵ 原方程有两个实数根，
∴ [−(2k+1)]2−4(k2+2k)≥0，
∴ 4k2+4k+1−4k2−8k≥0
∴ 1−4k≥0，
∴ k≤14．
∴ 当k≤14时，原方程有两个实数根．
(2)假设存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22≥0成立．
∵ x1，x2是原方程的两根，
∴ x1+x2=2k+1，x1⋅x2=k2+2k．
由x1⋅x2−x12−x22≥0，
得3x1⋅x2−(x1+x2)2≥0．
∴ 3(k2+2k)−(2k+1)2≥0，整理得：−(k−1)2≥0，
∴ 只有当k=1时，上式才能成立．
又∵ 由(1)知k≤14，
∴ 不存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22≥0成立．
【答案】
证明：（1）
∵ EM是AD的中垂线，
∴ EA=ED，
∴ ∠EAD=∠EDA，
又∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD=∠BDA，
∵ ∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠ADE=∠B+∠BAD，
∴ ∠EAC=∠B；
（2）在△EAC和△EBA中，
∠AEC=∠AEC，∠EAC=∠B，
∴ △EAC∽△EBA，
∴ EABE=CEAE，
∴ AE2=BE⋅CE，
∵ DE=AE，
∴ DE2=BE⋅CE．
【考点】
相似三角形的性质与判定
线段垂直平分线的性质
【解析】
（1）根据线段垂直平分线性质求出AE=DE，求出∠EAD=∠EDA，根据角平分线定义得出∠CAD=∠BDA，即可求出答案；
（2）根据相似三角形的判定得出△EAC∽△EBA，得出比例式，即可得出答案．
【解答】
证明：（1）
∵ EM是AD的中垂线，
∴ EA=ED，
∴ ∠EAD=∠EDA，
又∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD=∠BDA，
∵ ∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠ADE=∠B+∠BAD，
∴ ∠EAC=∠B；
（2）在△EAC和△EBA中，
∠AEC=∠AEC，∠EAC=∠B，
∴ △EAC∽△EBA，
∴ EABE=CEAE，
∴ AE2=BE⋅CE，
∵ DE=AE，
∴ DE2=BE⋅CE．
【答案】
解：(1)∵ 修建的斜坡BE的坡角为45∘，
∴ ∠BEF=45∘，
∵ ∠DAC=∠BDF=30∘，AD=BD=40，
∴ BF=EF=12BD=20，DF=203，
∴ DE=DF−EF=203−20，
∴ 平台DE的长为(203−20)米；
(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P．如图：
在Rt△DPA中，DP=12AD=12×40=20，
PA=AD⋅cs30∘=203，
在矩形DPGM中，MG=DP=20，
DM=PG=PA+AG=203+36．
在Rt△DMH中，
HM=DM⋅tan30∘=(203+36)×33=20+123，
则GH=HM+MG=20+123+20=40+123．
答：建筑物GH高为(40+123)米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
（1）根据题意得出∠BEF=45∘，解直角△BDF，求出BF，DF，进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP=12AD，以及PA=AD⋅cs30∘进而得出DM的长，利用HM=DM⋅tan30∘得出即可．
【解答】
解：(1)∵ 修建的斜坡BE的坡角为45∘，
∴ ∠BEF=45∘，
∵ ∠DAC=∠BDF=30∘，AD=BD=40，
∴ BF=EF=12BD=20，DF=203，
∴ DE=DF−EF=203−20，
∴ 平台DE的长为(203−20)米；
(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P．如图：
在Rt△DPA中，DP=12AD=12×40=20，
PA=AD⋅cs30∘=203，
在矩形DPGM中，MG=DP=20，
DM=PG=PA+AG=203+36．
在Rt△DMH中，
HM=DM⋅tan30∘=(203+36)×33=20+123，
则GH=HM+MG=20+123+20=40+123．
答：建筑物GH高为(40+123)米．
【答案】
（1）解：∵ AB为直径，
∴ ∠ADB=90∘，即BD⊥AC．
在Rt△ADB中，∵ AD=3，BD=4，
∴ 由勾股定理得AB=5．
∵ ∠ABC=90∘，BD⊥AC，
∴ △ABD∽△ACB，
∴ BDAD=BCAB，
即43=BC5，
∴ BC=203；
（2）证明：连接OD，
∵ OD=OB，
∴ ∠ODB=∠OBD；
又∵ E是BC的中点，BD⊥AC，
∴ DE=BE，
∴ ∠EDB=∠EBD．
∴ ∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90∘，
即∠ODE=90∘，
∴ DE⊥OD．
∴ ED与⊙O相切．
【考点】
切线的判定与性质
勾股定理
圆周角定理
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）根据勾股定理易求AB的长；根据△ABD∽△ACB得比例线段可求BC的长．
（2）连接OD，证明DE⊥OD．
【解答】
（1）解：∵ AB为直径，
∴ ∠ADB=90∘，即BD⊥AC．
在Rt△ADB中，∵ AD=3，BD=4，
∴ 由勾股定理得AB=5．
∵ ∠ABC=90∘，BD⊥AC，
∴ △ABD∽△ACB，
∴ BDAD=BCAB，
即43=BC5，
∴ BC=203；
（2）证明：连接OD，
∵ OD=OB，
∴ ∠ODB=∠OBD；
又∵ E是BC的中点，BD⊥AC，
∴ DE=BE，
∴ ∠EDB=∠EBD．
∴ ∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90∘，
即∠ODE=90∘，
∴ DE⊥OD．
∴ ED与⊙O相切．
【答案】
解：（1）设y=kx+b．由图象可得：80k+b=17160k+b=9，
解得：k=−110b=25．
所以y=−110x+25，
故x的取值范围是80≤x≤160．
（2）设该公司第一年获利S万元，则
S=(x−50)×y−1200=(x−50)(−110x+25)−1200
=−110x2+30x−2450
=−110(x−150)2−200≤−200，
所以第一年公司是亏损，且当亏损最小时的产品售价为150元/件．
（3）由题意可列方程(x−50)(−110x+25)+(−200)=790，
解得：x1=140，x2=160．
两个x的值都在80≤x≤160内，
所以第二年售价是140元/件或160/件．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围80≤x≤160；
（2）设公司第一年获利W万元，则可表示出W=−110(x−180)2−60≤−60，则第一年公司亏损了，当产品售价定为180元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；
（3）假设两年共盈利1340万元，则−110x2+36x−1800−60=1340，解得x的值，根据100≤x≤180，则x=160时，公司两年共盈利达1340万元．
【解答】
解：（1）设y=kx+b．由图象可得：80k+b=17160k+b=9，
解得：k=−110b=25．
所以y=−110x+25，
故x的取值范围是80≤x≤160．
（2）设该公司第一年获利S万元，则
S=(x−50)×y−1200=(x−50)(−110x+25)−1200
=−110x2+30x−2450
=−110(x−150)2−200≤−200，
所以第一年公司是亏损，且当亏损最小时的产品售价为150元/件．
（3）由题意可列方程(x−50)(−110x+25)+(−200)=790，
解得：x1=140，x2=160．
两个x的值都在80≤x≤160内，
所以第二年售价是140元/件或160/件．
【答案】
由直线：y＝x−2知：A(2, 0)、C(0, −2)；
∵ AB＝2，∴ OB＝OA+AB＝4，即 B(4, 0)．
设抛物线的解析式为：y＝a(x−2)(x−4)，代入C(0, −2)，得：
a(0−2)(0−4)＝−2，解得 a=−14
∴ 抛物线的解析式：y=−14(x−2)(x−4)=−14x2+32x−2．
在Rt△OBC中，OB＝4，OC＝2，则 tan∠OCB＝2；
∵ CE＝t，∴ DE＝2t；
而 OP＝OB−BP＝4−2t；
∴ s=ED+OPED⋅OP=2t+4−2t2t⋅(4−2t)=1−(t−1)2+1(0∴ 当t＝1时，s有最小值，且最小值为 1．
在Rt△OBC中，OB＝4，OC＝2，则 BC＝25；
在Rt△CED中，CE＝t，ED＝2t，则 CD=5t；
∴ BD＝BC−CD＝25−5t；
以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知∠OBC＝∠PBD，则有两种情况：
①BPBC=BDAB⇒2t25=25−5t2，解得 t=107；
②BPAB=BDBC⇒2t2=25−5t25，解得 t=23；
综上，当t=23或107时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）首先根据直线AC的解析式确定点A、C的坐标，已知AB的长，进一步能得到点B的坐标；然后由待定系数法确定抛物线的解析式．
（2）根据所给的s表达式，要解答该题就必须知道ED、OP的长；BP、CE长易知，那么由OP＝OB−BP求得OP长，由∠CED的三角函数值可得到ED的长，再代入s的表达式中可得到关于s、t的函数关系式，结合函数的性质即可得到s的最小值．
（3）首先求出BP、BD的长，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知的条件是公共角∠OBC，那么必须满足的条件是夹公共角的两组对应边成比例，分两种情况讨论即可．
【解答】
由直线：y＝x−2知：A(2, 0)、C(0, −2)；
∵ AB＝2，∴ OB＝OA+AB＝4，即 B(4, 0)．
设抛物线的解析式为：y＝a(x−2)(x−4)，代入C(0, −2)，得：
a(0−2)(0−4)＝−2，解得 a=−14
∴ 抛物线的解析式：y=−14(x−2)(x−4)=−14x2+32x−2．
在Rt△OBC中，OB＝4，OC＝2，则 tan∠OCB＝2；
∵ CE＝t，∴ DE＝2t；
而 OP＝OB−BP＝4−2t；
∴ s=ED+OPED⋅OP=2t+4−2t2t⋅(4−2t)=1−(t−1)2+1(0∴ 当t＝1时，s有最小值，且最小值为 1．
在Rt△OBC中，OB＝4，OC＝2，则 BC＝25；
在Rt△CED中，CE＝t，ED＝2t，则 CD=5t；
∴ BD＝BC−CD＝25−5t；
以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知∠OBC＝∠PBD，则有两种情况：
①BPBC=BDAB⇒2t25=25−5t2，解得 t=107；
②BPAB=BDBC⇒2t2=25−5t25，解得 t=23；
综上，当t=23或107时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．