2016-2017学年湖北省宜昌市某校九年级(下)期中数学试卷
展开这是一份2016-2017学年湖北省宜昌市某校九年级(下)期中数学试卷,共21页。试卷主要包含了选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 4的平方根是( )
A.2B.−2C.±2D.±2
2. 在下列各数中,属于无理数的是( )
A.412B.6C.223D.327
3. 甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
4. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划,“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人,这个数用科学记数法表示为( )
A.44×108B.4.4×109C.4.4×108D.4.4×1010
5. 下列运算正确的是( )
A.(a−3)2=a2−9B.a2⋅a4=a8
C.9=±3D.x6÷x3=x3
6. 不等式组x>−1x≤1的解集在数轴上表示为( )
A.B.
C.D.
7. 已知一个正多边形的内角是140∘,则这个正多边形的边数是( )
A.6B.7C.8D.9
8. 式子1x−1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x<1B.x≤1C.x>1D.x≥1
9. 如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=8,OP⊥AB,垂足为点P,则OP的长为( )
A.4B.5C.3D.2
10. 关于▱ABCD的叙述,正确的是( )
A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形
B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形
C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形
D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形
11. 如图,是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体,则这个几何体的左视图是( )
A.B.C.D.
12. 下列命题是真命题的是( )
A.随机事件发生的概率等于0.5
B.5名同学期末数学成绩是92,95,95,98,110,则他们众数是95
C.射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2,则乙较稳定
D.要了解一批日光灯的质量,可采用全面调查的办法
13. 一个圆锥的母线长为10,侧面展开图是半圆,则圆锥的侧面积是( )
A.100πB.50πC.20πD.10π
14. 如图,已知△ABC(AC
A.B.
C.D.
15. 已知点A(−2, a−1),B(−1, a),C(1, a)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是( )
A.B.
C.D.
二、解答题(共计75分)
计算:−14+12sin60∘+(12)−2−(π−5)0.
先化简,再求值:aa−b⋅(1b−1a)+a−1b,其中a=2,b=13.
如图,点A、C、D、B四点共线,且AC=DB,∠A=∠B,∠ADE=∠BCF.
求证:DE=CF.
AF初中为了提高学生综合素质,决定开设以下校本课程:A软笔书法;B经典诵读;C钢笔画;D花样跳绳;为了了解学生最喜欢哪一项校本课程,随机抽取了部分学生进行了调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有多少人?
(2)请将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的花样跳绳的课堂学习中,甲、乙、丙三人表现优秀,现决定从这三名同学中任选两名参加全区综合素质展示,求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率(用树状图法或表格法解答)
如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位:L/km)与速度x(单位:km/ℎ)之间的函数关系(30≤x≤120),已知线段BC表示的函数关系中,该汽车的速度每增加1km/ℎ,耗油量增加0.002L/km.
(1)当速度为50km/ℎ、100km/ℎ时,该汽车的耗油量分别为 0.13 L/km、 0.14 L/km.
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式.
(3)速度是多少时,该汽车的耗油量最低?最低是多少?
如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.
(1)判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=15,BE=10,tanA=512,求⊙O的直径.
“WJ一号”水稻种子,当年种植,当年收割,当年出水稻产量,(以后每年要出产量还需重要新种植),某村2014、2015、2016年连续尝试种植了此水稻种子.2015年和2016年种植面积都比上年减少相同的数量,若2016年平均每公顷水稻产量比2015年增加的百分数是2015年比2014年增加的百分数的1.25倍,2016年比2014年种植面积减少的百分数与2016年水稻总产量比2014年增加的百分数相同,都等于2015年比上年平均每公顷水稻产量增加的百分数.
(1)求2016年平均每公顷水稻产量比2015年增加的百分数;
(2)求2015年这种水稻总产量比上年增加的百分数.
如图在矩形ABCD中,AB=nAD,点E、F分别在AB、AD上且不与顶点A、B、D重合,∠AEF=∠BCE,圆O过A、E、F三点.
(1)求证:圆O与CE相切于点E.
(2)如图1,若AF=2FD,且∠AEF=30∘,求n的值.
(3)如图2,若EF=EC,且圆O与边CD相切,求n的值.
如图(1),直线l⊥x轴于点P,Rt△ABC中,斜边AB=5,直角边AC=3,点A(0, t)在y轴上运动,直角边BC在直线l上,将△ABC绕点P顺时针旋转90∘,得到△DEF.以直线l为对称轴的抛物线经过点F.
(1)求点F的坐标(用含t的式子表示)
(2)①如图(2)当抛物线的顶点为点C时,抛物线恰好过坐标原点.求此时抛物线的解析式;
②如图(3)不改变①中抛物线的开口方向和形状,让点A的位置发生变化,使抛物线与线段AB始终有交点M(x0, y0).
(I)求t的取值范围;
(II)变化过程中,当x0变成某一个值时,点A的位置唯一确定,求此时点M的坐标.
参考答案与试题解析
2016-2017学年湖北省宜昌市某校九年级(下)期中数学试卷
一、选择题(每题3分.共计45分)
1.
【答案】
D
【考点】
平方根
【解析】
直接利用平方根的定义分析得出答案.
【解答】
解:4的平方根是:±4=±2.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
无理数的识别
分数指数幂
【解析】
根据无理数的定义,可得答案.
【解答】
412=2,223,327是有理数,
6是无理数,
3.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念求解.
【解答】
解:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形.
根据轴对称图形的定义可知,A,B,C均为轴对称图形,D不是轴对称图形.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】
解:根据科学记数法的定义可知,4 400 000 000=4.4×109.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
整式的混合运算
算术平方根
【解析】
A、运用完全平方公式,少−6a;
B、同底数幂的乘法,底数不变,批数相加;
C、9表示9的算术平方根,值为3;
D、同底数幂的除法,底数不变,批数相减.
【解答】
解:A、(a−3)2=a2−6a+9,所以此选项不正确;
B、a2⋅a4=a6,所以此选项不正确;
C、9=3,所以此选项不正确;
D、x6÷x3=x3,所以此选项正确;
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
解一元一次不等式组
在数轴上表示不等式的解集
【解析】
分别求出各选项的解集,并做出判断.
【解答】
解:不等式组x>−1x≤1的解集为−1
B:数轴表示解集为−1
D:数轴表示解集为x≥1,故选项D错误;
故选B
7.
【答案】
D
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
首先根据一个正多边形的内角是140∘,求出每个外角的度数是多少;然后根据外角和定理,求出这个正多边形的边数是多少即可.
【解答】
解:360∘÷(180∘−140∘)
=360∘÷40∘
=9.
所以这个正多边形的边数是9.
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
被开方数是非负数,且分母不为零,由此得到:x−1>0,据此求得x的取值范围.
【解答】
解:依题意得:x−1>0,
解得x>1.
故选:C.
9.
【答案】
C
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
连接OA,根据垂径定理求出AP,根据勾股定理求出OP即可.
【解答】
解:
连接OA,则OA=5,
∵ OP⊥AB,AB=8,OP过O,
∴ AP=BP=12AB=4,
在Rt△OAP中,由勾股定理得:OP=OA2−AP2=52−42=3,
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
矩形的判定
正方形的判定
菱形的判定
【解析】
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误,C正确;即可得出结论.
【解答】
∵ ▱ABCD中,AB⊥BC,
∴ 四边形ABCD是矩形,不一定是菱形,选项A错误;
∵ ▱ABCD中,AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项B错误;
∵ ▱ABCD中,AC=BD,
∴ 四边形ABCD是矩形,选项C正确;
∵ ▱ABCD中,AB=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项D错误.
11.
【答案】
B
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
【解答】
解:从左边看第一层是两个小正方形,第二层左边一个小正方形,
故选:B.
12.
【答案】
B
【考点】
命题与定理
【解析】
根据随机事件和概率的定义对A进行判断;根据众数的定义对B进行判断;根据方差的定义对C进行判断;根据全面调查和抽样调查的方式对D进行判断.
【解答】
解:A、随机事件发生的概率在0∼1之间,所以A选项错误;
B、5名同学期末数学成绩是92,95,95,98,110,则他们众数是95,所以B选项正确;
C、射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2,则甲较稳定,所以C选项错误;
D、要了解一批日光灯的质量,可采用抽样调查的办法,所以D选项错误.
故选B.
13.
【答案】
B
【考点】
圆锥的计算
几何体的展开图
【解析】
圆锥的侧面积为半径为10的半圆的面积.
【解答】
解:圆锥的侧面积=半圆的面积=π×102÷2=50π,
故选B.
14.
【答案】
B
【考点】
作图—复杂作图
【解析】
直接利用线段垂直平分线的性质作出AC的垂直平分线进而得出答案.
【解答】
解:用尺规在BC上确定一点P,使PA+PB=BC,如图所示:
,
先做出AC的垂直平分线,即可得出AP=PC,
即可得出PC+BP=PA+PB=BC.
故选B.
15.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
由点A(−2, a−1),B(−1, a),C(1, a)在同一个函数图象上,可得C与B关于y轴对称,当x<0时,y随x的增大而增大,继而求得答案.
【解答】
解:∵ 点B(−1, a),C(1, a)
∴ C与B关于y轴对称,故C,B错误;
∵ A(−2, a−1),B(−1, a),
∴ 当x<0时,y随x的增大而增大,故D正确,A错误.
故选D.
二、解答题(共计75分)
【答案】
解:−14+12sin60∘+(12)−2−(π−5)0
=−1+23×32+4−1
=−1+3+3
=5
【考点】
实数的运算
零指数幂、负整数指数幂
负整数指数幂
特殊角的三角函数值
【解析】
根据实数的运算顺序,首先计算乘方、开方和乘法,然后从左向右依次计算,求出算式−14+12sin60∘+(12)−2−(π−5)0的值是多少即可.
【解答】
解:−14+12sin60∘+(12)−2−(π−5)0
=−1+23×32+4−1
=−1+3+3
=5
【答案】
解:原式=aa−b⋅a−bab+a−1b
=1b+a−1b
=ab,
当a=2,b=13时,原式=213=6.
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先对所求式子进行化简,然后根据a=2,b=13可以求得化简后式子的值,本题得以解决.
【解答】
解:原式=aa−b⋅a−bab+a−1b
=1b+a−1b
=ab,
当a=2,b=13时,原式=213=6.
【答案】
证明:∵ AC=BD,
∴ AC+CD=BD+CD,
∴ AD=BC,
在△AED和△BFC中,
∠A=∠B,AD=BC,∠ADE=∠BCF,
∴ △AED≅△BFC(ASA),
∴ DE=CF.
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
求出AD=BC,根据ASA推出△AED≅△BFC,根据全等三角形的性质得出即可.
【解答】
证明:∵ AC=BD,
∴ AC+CD=BD+CD,
∴ AD=BC,
在△AED和△BFC中,
∠A=∠B,AD=BC,∠ADE=∠BCF,
∴ △AED≅△BFC(ASA),
∴ DE=CF.
【答案】
解:(1)∵ A是36∘,
∴ A占36∘÷360=10%,
∵ A的人数为10人,
∴ 这次被调查的学生共有:10÷10%=100(人),
(2)如图,C有:100−10−40−20=30(人),
(3)画树状图得:
∵ 共有6种等可能的结果,甲、乙被选中的有2种情况,
∴ 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为26=13.
【考点】
列表法与树状图法
扇形统计图
条形统计图
【解析】
(1)由A是36∘,A的人数为10人,即可求得这次被调查的学生总人数;
(2)由(1),可求得C的人数,即可将条形统计图(2)补充完整;
(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】
解:(1)∵ A是36∘,
∴ A占36∘÷360=10%,
∵ A的人数为10人,
∴ 这次被调查的学生共有:10÷10%=100(人),
(2)如图,C有:100−10−40−20=30(人),
(3)画树状图得:
∵ 共有6种等可能的结果,甲、乙被选中的有2种情况,
∴ 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为26=13.
【答案】
设AB的解析式为:y=kx+b,
把(30, 0.15)和(60, 0.12)代入y=kx+b中得:
30k+b=0.1560k+b=0.12 解得k=−11000b=0.18
∴ AB:y=−0.001x+0.18,
当x=50时,y=−0.001×50+0.18=0.13,
由线段BC上一点坐标(90, 0.12)得:0.12+(100−90)×0.002=0.14,
∴ 当x=100时,y=0.14,
故答案为:0.13,0.14;
由(1)得:线段AB的解析式为:y=−0.001x+0.18;
设BC的解析式为:y=kx+b,
把(90, 0.12)和(100, 0.14)代入y=kx+b中得:
90k+b=0.12100k+b=0.14 解得k=0.002b=−0.06 ,
∴ BC:y=0.002x−0.06,
根据题意得y=−0.001x+0.18y=0.002x−0.06 解得x=80y=0.1 ,
答:速度是80km/ℎ时,该汽车的耗油量最低,最低是0.1L/km.
【考点】
一次函数的应用
【解析】
(1)和(2):先求线段AB的解析式,因为速度为50km/ℎ的点在AB上,所以将x=50代入计算即可,速度是100km/ℎ的点在线段BC上,可由已知中的“该汽车的速度每增加1km/ℎ,耗油量增加0.002L/km”列式求得,也可以利用解析式求解;
(3)观察图形发现,两线段的交点即为最低点,因此求两函数解析式组成的方程组的解即可.
【解答】
设AB的解析式为:y=kx+b,
把(30, 0.15)和(60, 0.12)代入y=kx+b中得:
30k+b=0.1560k+b=0.12 解得k=−11000b=0.18
∴ AB:y=−0.001x+0.18,
当x=50时,y=−0.001×50+0.18=0.13,
由线段BC上一点坐标(90, 0.12)得:0.12+(100−90)×0.002=0.14,
∴ 当x=100时,y=0.14,
故答案为:0.13,0.14;
由(1)得:线段AB的解析式为:y=−0.001x+0.18;
设BC的解析式为:y=kx+b,
把(90, 0.12)和(100, 0.14)代入y=kx+b中得:
90k+b=0.12100k+b=0.14 解得k=0.002b=−0.06 ,
∴ BC:y=0.002x−0.06,
根据题意得y=−0.001x+0.18y=0.002x−0.06 解得x=80y=0.1 ,
答:速度是80km/ℎ时,该汽车的耗油量最低,最低是0.1L/km.
【答案】
(1)证明:连接OB,
∵ OB=OA,DE=DB,
∴ ∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,
又∵ CD⊥OA,
∴ ∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90∘,
∴ ∠OBA+∠ABD=90∘,
∴ OB⊥BD,
∴ BD是⊙O的切线;
(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,
∵ DE=DB,
∴ EG=12BE=5,
∵ ∠ACE=∠DGE=90∘,∠AEC=∠GED,
∴ ∠GDE=∠A,
∴ △ACE∽△DGE,
∴ sin∠EDG=sinA=EGDE=35,即CE=13,
在Rt△ECG中,
∵ DG=DE2−ED2=12,
∵ CD=15,DE=13,
∴ DE=2,
∵ △ACE∽△DGE,
∴ ACDG=CEGE,
∴ AC=CEGE⋅DG=245,
∴ ⊙O的直径2OA=4AD=965.
【考点】
直线与圆的位置关系
垂径定理
相似三角形的性质与判定
【解析】
(1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90∘,即可证明BD是⊙O的切线;
(2)过点D作DG⊥BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=12BE=5,由两角相等的三角形相似,△ACE∽△DGE,利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=513,在Rt△EDG中,利用勾股定理求出DG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果.
【解答】
(1)证明:连接OB,
∵ OB=OA,DE=DB,
∴ ∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,
又∵ CD⊥OA,
∴ ∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90∘,
∴ ∠OBA+∠ABD=90∘,
∴ OB⊥BD,
∴ BD是⊙O的切线;
(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,
∵ DE=DB,
∴ EG=12BE=5,
∵ ∠ACE=∠DGE=90∘,∠AEC=∠GED,
∴ ∠GDE=∠A,
∴ △ACE∽△DGE,
∴ sin∠EDG=sinA=EGDE=35,即CE=13,
在Rt△ECG中,
∵ DG=DE2−ED2=12,
∵ CD=15,DE=13,
∴ DE=2,
∵ △ACE∽△DGE,
∴ ACDG=CEGE,
∴ AC=CEGE⋅DG=245,
∴ ⊙O的直径2OA=4AD=965.
【答案】
2016年平均每公顷水稻产量比2015年增加的百分数为25%;
(2)∵ b+0.8b2=0.9b,
∴ 1.2a×0.9b−abab×100%=8%,
答:2015年这种水稻总产量比上年增加的百分数为8%.
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
(1)设2014年平均每公顷水稻产量为a千克,2014年种植面积为b公顷,2015年比上年平均每公顷产量增加的百分数为y,根据2016年水稻的总产量列方程求解可得;
(2)根据(2015年总产量−2014年总产量)÷2014年的总产量,列式计算可得.
【解答】
解:(1)设2014年平均每公顷水稻产量为a千克,2014年种植面积为b公顷,2015年比上半年平均每公顷产量增加的百分数为y,
根据题意,可得:a(1+y)(1+1.25y)⋅b(1−y)=ab(1+y),
∵ b是正数,
∴ (1+1.25y)(1−y)=1,
解得:y=0.2或y=0(舍去),
则1.25y=0.25,
答:2016年平均每公顷水稻产量比2015年增加的百分数为25%;
(2)∵ b+0.8b2=0.9b,
∴ 1.2a×0.9b−abab×100%=8%,
答:2015年这种水稻总产量比上年增加的百分数为8%.
【答案】
解:(1)∵ 在矩形ABCD中,∠B=90∘,
∴ ∠BEC+∠BCE=90∘,
∵ ∠AEF=∠BCE,
∴ ∠AEF+∠BEC=90∘,
∴ ∠FEC=90∘,
∴ FE⊥CE,
∴ 圆O与CE相切于点E;
(2)∵ AF=2FD,
∴ 设DF=x,则AF=2x,
∴ BC=AD=3x,
∵ ∠AEF=30∘,∠A=90∘,
∴ AE=3AF=23x,
∵ ∠A=∠B=90∘,∠AEF=∠BCE,
∴ △AEF∽△BCE,
∴ AFBE=AEBC,即2xBE=23x3x,
∴ BE=3x,
∴ AB=AE+BE=33x,
∵ AB=nAD,
∴ 33x=n⋅3x,
∴ n=3;
(3)如图2,设CD与⊙O相切于G,连接GO并延长交AE于H,
连接OC.
∵ CD与⊙O相切于G,
∴ HG⊥CD,
∵ CD // AB,
∴ GH⊥AB,
∴ 四边形AHGD是矩形,
∴ GH=AD=BC,AH=HE=DG,
设OG=OF=OE=R,OH=x,
∴ AD=GH=BC=R+x,AF=2x,
在△AEF与△BCE中,∠A=∠B=90∘∠AEF=∠BCEEF=EC,
∴ △AEF≅△BCE,
∴ BE=AF=2x,CE=EF=2R,AE=BC=R+x,
∴ AB=R+3x,
∵ CG和CE是⊙O的切线,
∴ CG=CE=BH=2R,
∵ AH=12AE=R+x2,
∴ AB=AH+BH=5R+x2,
∴ R+3x=5R+x2,
∴ R=53x,
∴ AD=83x,AB=14x3,
∵ AB=nAD,
∴ 143x=n⋅83x,
∴ n=74.
【考点】
圆的综合题
【解析】
(1)根据已知条件得到∠BEC+∠BCE=90∘,等量代换得到∠AEF+∠BEC=90∘,求得∠FEC=90∘,于是得到结论;
(2)设DF=x,则AF=2x,得到BC=AD=3x,解直角三角形得到AE=3AF=23x,根据相似三角形的性质得到BE=3x,求得AB=AE+BE=33x,根据已知条件列方程即可得到结论;
(3)如图2,设CD与⊙O相切于G,连接GO并延长交AE于H,连接OC.根据切线的性质得到HG⊥CD,推出四边形AHGD是矩形,根据矩形的性质得到GH=AD=BC,AH=HE=DG,设OG=OF=OE=R,OH=x,求得AD=GH=BC=R+x,AF=2x,根据全等三角形的性质得到BE=AF=2x,CE=EF=2R,AE=BC=R+x,求得AB=R+3x,根据切线的性质得到CG=CE=BH=2R,得到AB=AH+BH=5R+x2,然后列方程即可得到结论.
【解答】
解:(1)∵ 在矩形ABCD中,∠B=90∘,
∴ ∠BEC+∠BCE=90∘,
∵ ∠AEF=∠BCE,
∴ ∠AEF+∠BEC=90∘,
∴ ∠FEC=90∘,
∴ FE⊥CE,
∴ 圆O与CE相切于点E;
(2)∵ AF=2FD,
∴ 设DF=x,则AF=2x,
∴ BC=AD=3x,
∵ ∠AEF=30∘,∠A=90∘,
∴ AE=3AF=23x,
∵ ∠A=∠B=90∘,∠AEF=∠BCE,
∴ △AEF∽△BCE,
∴ AFBE=AEBC,即2xBE=23x3x,
∴ BE=3x,
∴ AB=AE+BE=33x,
∵ AB=nAD,
∴ 33x=n⋅3x,
∴ n=3;
(3)如图2,设CD与⊙O相切于G,连接GO并延长交AE于H,
连接OC.
∵ CD与⊙O相切于G,
∴ HG⊥CD,
∵ CD // AB,
∴ GH⊥AB,
∴ 四边形AHGD是矩形,
∴ GH=AD=BC,AH=HE=DG,
设OG=OF=OE=R,OH=x,
∴ AD=GH=BC=R+x,AF=2x,
在△AEF与△BCE中,∠A=∠B=90∘∠AEF=∠BCEEF=EC,
∴ △AEF≅△BCE,
∴ BE=AF=2x,CE=EF=2R,AE=BC=R+x,
∴ AB=R+3x,
∵ CG和CE是⊙O的切线,
∴ CG=CE=BH=2R,
∵ AH=12AE=R+x2,
∴ AB=AH+BH=5R+x2,
∴ R+3x=5R+x2,
∴ R=53x,
∴ AD=83x,AB=14x3,
∵ AB=nAD,
∴ 143x=n⋅83x,
∴ n=74.
【答案】
解:(1)∵ Rt△ABC中,斜边AB=5,直角边AC=3,
∴ BC=4,
∵ PC=PF=OA,OP=AC=3,
当t≥0时,OF=OP+PF=3+t,
当t<0时.OF=OP−PF=3−(−t)=3+t,
∴ F(3+t, 0).
(2)①由题意抛物线的顶点坐标(3, 3),经过(0, 0),F(6, 0),
∴ 设抛物线的解析式为y=a(x−3)2+3,(0, 0)代入得到a=−13,
∴ 抛物线的解析式为y=−13(x−3)2+3.
②(I)设平移后的抛物线为y=−13(x−3)2+m,把F(3+t, 0)代入得到m=13t2,
∴ 抛物线的解析式为y=−13(x−3)2+13t2,
当抛物线经过点A(0, t)时,t=−3+13t2,解得t=3±52,
由题意,当抛物线与线段AB始终有交点M(x0, y0)时,t的取值范围3−52≤t≤3+52.
(II)易知直线AB的解析式为y=−34x+t,
由y=−34x+ty=−13(x−3)2+13t2,把M(x0, y0)代入,消去y0得到t2−3t−x02+10x0−9=0,
由题意△=0,
∴ 9+4x02−40x0+36=0,
解得x0=10±552,
∴ t=32,
∴ M(10+552, −18−3558)或(10−552, −18+3558).
【考点】
二次函数综合题
【解析】
(1)分两种情形讨论求出OF即可解决问题;
(2)①由题意抛物线的顶点坐标(3, 3),经过(0, 0),F(6, 0),利用待定系数法即可解决问题;
②(I)设平移后的抛物线为y=−13(x−3)2+m,把F(3+t, 0)代入得到m=13t2,推出抛物线的解析式为y=−13(x−3)2+13t2,当抛物线经过点A(0, t)时,t=−3+13t2,解得t=3±52,由此即可解决问题;
(II)易知直线AB的解析式为y=−34x+t,由y=−34x+ty=−13(x−3)2+13t2,把M(x0, y0)代入,消去y0得到t2−3t−x02+10x0−9=0,由题意△=0,求出x0即可解决问题.
【解答】
解:(1)∵ Rt△ABC中,斜边AB=5,直角边AC=3,
∴ BC=4,
∵ PC=PF=OA,OP=AC=3,
当t≥0时,OF=OP+PF=3+t,
当t<0时.OF=OP−PF=3−(−t)=3+t,
∴ F(3+t, 0).
(2)①由题意抛物线的顶点坐标(3, 3),经过(0, 0),F(6, 0),
∴ 设抛物线的解析式为y=a(x−3)2+3,(0, 0)代入得到a=−13,
∴ 抛物线的解析式为y=−13(x−3)2+3.
②(I)设平移后的抛物线为y=−13(x−3)2+m,把F(3+t, 0)代入得到m=13t2,
∴ 抛物线的解析式为y=−13(x−3)2+13t2,
当抛物线经过点A(0, t)时,t=−3+13t2,解得t=3±52,
由题意,当抛物线与线段AB始终有交点M(x0, y0)时,t的取值范围3−52≤t≤3+52.
(II)易知直线AB的解析式为y=−34x+t,
由y=−34x+ty=−13(x−3)2+13t2,把M(x0, y0)代入,消去y0得到t2−3t−x02+10x0−9=0,
由题意△=0,
∴ 9+4x02−40x0+36=0,
解得x0=10±552,
∴ t=32,
∴ M(10+552, −18−3558)或(10−552, −18+3558).
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