第二册第7章 平面向量课时训练

这是一份第二册第7章 平面向量课时训练，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年高中数学平面向量精选习题（含答案）

姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共30题）1、 已知 △ ABC 满足 2 ＝ · ＋ · ＋ · ，则 △ ABC 是（　　） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 2、 如果一架飞机向东飞行 200 km ，再向南飞行 300 km ，记飞机飞行的路程为 s ，位移为 ，那么（ ） A ．               B ． C ．               D ． 与 不能比大小 3、 已知平面向量 ＝ (1 ， 2) ， ＝ ( － 2 ， m ) ，且 ∥ ，则 2 ＋ 3 ＝ ( ) A ． ( － 4 ，－ 8) B ． ( － 8 ，－ 16) C ． (4 ， 8) D ． (8 ， 16) 4、 设向量 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 5、 已知向量 ，那么 （ ） A ． B ． C ． D ． 6、 已知向量 ， ，且 ，那么实数 m 的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 7、 已知向量 ，且 ，则实数 a 的值为（ ） A ． 1 B ． C ． 或 -1 D ． 或 1 8、 若 ，则 ＝（ ） A ． B ． C ． D ． 9、 设向量 与 不共线，若 3 x ＋ (10 － y ) ＝ (4 y － 7) ＋ 2 x ，则实数 x ， y 的值分别为（ ） A ． 0 ， 0 B ． 1 ， 1 C ． 3 ， 0 D ． 3 ， 4 10、 若 ，则 ，那么下列对 ， 的判断正确的是（ ） A ． 与 一定共线 B ． 与 一定不共线 C ． 与 一定垂直 D ． 与 中至少一个为 11、 如果 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A ． 与 B ． 与 C ． 与 D ． 与 12、 在边长为 2 的正六边形 中， （ ） A ． -6 B ． C ． D ． 6 13、 若在 △ ABC 中， ， ，且 ， ，则 △ ABC 的形状是（　　） A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．等腰直角三角形 14、 已知向量 ，且 ，则向量 的方向（　　） A ．与向量 的方向相同 B ．与向量 的方向相反 C ．与向量 的方向相同 D ．不确定 15、 已知 是非零向量，则 ， ， ， ， 中，与向量 相等的向量的个数为（　　） A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2 16、 已知向量 ，且 不是方向相反的向量，则 的取值范围是（　　） A ． B ． C ． D ． 17、 已知 O 是平面上一点， ， ， ， ，且四边形 ABCD 为平行四边形，则（　　） A ． B ． C ． D ． 18、 设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（　　） A ． 与 的长度必相等 B ． C ． 与 一定不相等 D ． 是 的相反向量 19、 下列各式正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 20、 已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． D ． 21、 设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为 1 ，则（ ） A ．若 确定，则 唯一确定 B ．若 确定，则 唯一确定 C ．若 确定，则 唯一确定 D ．若 确定，则 唯一确定 22、 已知 是边长为 3 的等边三角形，点 在边 上，且满足 ，点 在 边上及其内部运动，则 的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ． 23、 已知在 中， ， 是 上的一点．若 ，则实数 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 24、 已知 ， ，则点 的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 25、 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， ． 26、 已知向量 ， ，则下列向量与 平行的是（ ） A ． B ． C ． D ． 27、 已知向量 ， ，向量 与向量 的夹角为 ，且 ，那么向量 与 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 28、 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ） A ． B ． C ． D ． 29、 若平面单位向量 ， ， … ， 满足对任意的 ，都有 ，则正整数 n 的最大值为（ ）． A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 30、 已知 ， ， ，则 （ ） A ． 8 B ． 5 C ． 2 D ． 7 二、填空题（共10题）1、 已知向量 ，若 ，则 __________. 2、 已知向量 ， ，若 ，则 _______. 3、 下列命题中： ① 存在唯一的实数 ，使得 ； ② 为单位向量，且 ，则 ； ③ ； ④ 与 共线， 与 共线，则 与 共线； ⑤ 若 且 ，则 ． 其中正确命题的序号是 ________. 4、已知向量 ， ， ，若 △ OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 △ OAB 的面积为 ________ ． 5、 设 是平面内一组基向量，且 ，则向量 可以表示为以 为基向量的线性组合，即 ＝ ________. 6、 如图，平行四边形 ABCD 中， ， M 是 DC 的中点，以 为基底表示向量 ＝ ________. 7、 如图，已知 E ， F 分别是矩形 ABCD 的边 BC ， CD 的中点， EF 与 AC 交于点 G ，若 ，用 表示 ________. 8、 已知向量 不共线，实数 满足 ，则 ＝ ________. 9、 设平面向量 满足 ，如果平面向量 满足 ，且 顺时针旋转 30° 后与 同向，其中 i ＝ 1 ， 2 ， 3 ，则 ________. 10、 下列四个等式： ① ； ② ； ③ ； ④ . 其中正确的是 ______ （填序号）． 三、解答题（共5题）1、 已知在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 ． (1) 求角 A 的大小； (2) 若 a ＝ 4 ， D 为 BC 的中点， △ ABC 的面积为 ，求 AD 的长． 2、 如图所示，已知在平行四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， DC 边上的中点．若 ，试以 为基底表示 . 3、 如图，在 中，已知 (1) 求 ； (2) 已知点 是 上一点，满足 点 是边 上一点，满足 ，是否存在非零实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 . 4、 如图，已知向量 (1) 求作 (2) 设 ， 为单位向量，试探索 的最大值． 5、 如图所示，求： (1) ； (2) ； (3) ； (4) .  ============参考答案============一、选择题1、 C 【详解】 由题意得 ，故 ∴ ， △ ABC 是直角三角形 故选： C 2、 A 【详解】 如果一架飞机向东飞行 ，再向南飞行 ， 记飞机飞行的路程为 , ，所以 . 故选 : A. 3、 A 【详解】 ∵ ∥ ， ∴1× m ＝ 2×( － 2) ， ∴ m ＝－ 4 ， ∴ ＝ ( － 2 ，－ 4) ， ∴2 ＋ 3 ＝ (2 ， 4) ＋ ( － 6 ，－ 12) ＝ ( － 4 ，－ 8) ． 故选： A. 4、 A 【详解】 向量 ，则 . 故选： A 5、 C 【详解】 . 故选： C 6、 A 【详解】 解：因为 ， ，且 ，所以 ，解得 ； 故选： A 7、 C 【详解】 向量 ，又 ，则有 ，解得 或 ， 所以实数 a 的值为 或 -1. 故选： C 8、 D 【详解】 依题意 ， ， ， . 故选： D 9、 D 【详解】 解： ∵ 向量 与 不共线， ∴ 解得 故选： D. 10、 B 【详解】 由平面向量基本定理知，当 ， 不共线时，若 ，则 ， 而且当 ， 不共线时，不一定有 与 垂直，所以 C 错误， 当 与 共线时， 只是其中一组解，此时解不唯一，所以 A 错误， 当 与 中至少一个为 时， 中至少有一个可以不为零，所以 D 错误， 故选： B. 11、 D 【详解】 由 为不共线向量，可知 与 ， 与 ， 与 必不共线，都可作为平面向量的基底，而 ，故 与 共线，不能作为该平面所有向量的基底． 故选： D. 12、 A 【详解】 如图，因为正六边形 的边长为 2 ， ， ， 所以 . 故选： A 13、 D 【详解】 由于 ， | ， ，所以 △ ABC 为等腰直角三角形． 故选： D. 14、 A 【详解】 若 方向相同，则它们的和的方向应该与 （或 ）的方向相同； 若它们的方向相反，而 的模大于 的模，则它们的和的方向与 的方向相同． 故选： A. 15、 A 【详解】 因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以 ， ， ， ， 都等于 ， 故选： A 16、 B 【详解】 由已知必有 ，则所求的取值范围是 ． 故选： B. 17、 B 【详解】 四边形 ABCD 为平行四边形，故 ，即 整理得 故选： B 18、 C 【详解】 根据相反向量的定义可知， 与 的长度必相等，相反向量为共线向量，故 A ， B 正确； 当 与 都为零向量时，它们是相反向量，此时相等，故 C 错误， 是 的相反向量，则 是 的相反向量， D 正确， 故选： C. 19、 B 【详解】 ； ； ； ． 故选： B ． 20、 B 【详解】 由 两边平方并化简得 ， 所以 . 故选： B 21、 B 【详解】 解：易知 ， 令 ，显然 ，所以当 时， 取得最小值 1 ， 即 ， 可见当 确定时， 唯一确定下来，但当 确定时， 的值在 可能有两个． 故选： B ． 22、 A 【详解】 以点 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图 1 所示： 则 ， ， ， ， ， ， 设点 ，则 ， ； 所以 ， ， ； 所以 ； 令 ，根据线性规划的问题知，可行域是 及其内部的点；如图 2 所示： 平移目标函数 ，当目标函数经过点 时， 取得最大值为 ． 故选： A ． （图 2 ） 23、 D 【详解】 因为 ，所以 ，所以 ，因为 B ， P ， N 三点共线，所以 ，解得： . 故选： D 24、 C 【详解】 因为 ， ，所以点 的坐标为 ， 故选： C 25、 B 【详解】 A. 因为零向量与任何非零向量共线，故不能作为基底； B. 因为 ， 不共线，故能作为基底； C. 因为 ， 共线，故不能作为基底； D. 因为 ， 共线，故不能作为基底； 故选： B 26、 B 【详解】 由已知 ， ， ， ， ， B 选项中的向量满足条件， 故选： B. 27、 B 【详解】 由向量 ， 得 ， 所以向量 与 共线，且方向相反， 又 ，得 ， 所以向量 与 的夹角为 ， 故选： B. 28、 B 【详解】 解：因为向量 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 在 上的投影向量为 ， 故选： B. 29、 C 【详解】 依题意，设单位向量 的夹角为 ，因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ，根据题意，正整数 n 的最大值为 ， 故选： C. 30、 C 【详解】 解：因为 ， ，所以 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ， 所以 ， 故选： C. 二、填空题1、 【详解】 由题意向量 ，因为 ，所以 ， 解得 . 故答案为： . 2、 【详解】 依题意 ， 解得 ， 所以 ， 所以 . 故答案为： 3、 ②③ 【详解】 ① ：只有当 时，才能成立，所以本命题不正确； ② ：当 时，显然成立，当 时，因为 ，所以 同向或反向，所以 成立，所以本命题正确； ③ ：因为 ，所以本命题正确； ④ ：当 时，显然 与 共线， 与 共线，但是 与 共线不一定成立，所以本命题不正确； ⑤ ：当 都与 垂直时，显然 ，但是 不一定成立， 故答案为： ②③ 4、 1 【详解】 由题意，得 ，又 △ OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ， . 由 得 ，所以 ， 由 得 ，两边平方得 ，所以 ， 所以 ，所以 . 故答案为： 1. 5、 【详解】 设 不共线， 解得 ， 故答案为： 6、 【详解】 【详解】 . 故答案为： 8、 0 【详解】 因为向量 不共线，实数 满足 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 故答案为： 0 9、 【详解】 设 顺时针旋转 30° 后得 ，则 故 故答案为： 10、 ①②③④ 【详解】 对于 ① ，向量的加法满足交换律，故 ① 正确； 对于 ② ，根据相反向量的性质即可知， ，故 ② 正确； 对于 ③ ， ，故 ③ 正确； 对于 ④ ，根据相反向量的定义知， ，故 ④ 正确 . 故答案为： ①②③④. 三、解答题1、 (1) ； (2) . 【解析】 (1) 因为 ，所以 ， 又 ， 所以 ， 可得： ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 . (2) 因为 ， a ＝ 4 ， 的面积为 ， 所以 bc ＝ 6 ，由余弦定理 ，可得 ， 可得 ，因为 ， 可得： ， 解得 ，可得 AD 的长为 . 2、 ， 【解析】 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， E ， F 分别是 BC ， DC 边上的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 3、 (1) ； (2) 存在， . 【解析】 (1) 在 中， ， ， 则 ， 显然有 ，于是得 ， ， 所以 . (2) 假设存在非零实数 ，使得 ，由 ，得 ， 则 ， 又 ，则 ， 于是得 ，而 ，解得 ， 所以存在非零实数 ，使得 . 4、 (1) 作图见解析  (2)3 【解析】 （ 1 ）在平面内任取一点 O ，作 ， ， ， ，则 (2) 由向量三角不等式知 ，当且仅当 同向时等号成立 故 的最大值为 3 5、 (1) (2) (3) (4) 【解析】 (1) ； (2) ； (3) ； (4) .