2022江苏省苏锡常镇四市高三下学期二模试题（5月）数学含答案

这是一份2022江苏省苏锡常镇四市高三下学期二模试题（5月）数学含答案，共10页。


2022届高三年级模拟试卷
数　　学
(满分：150分　考试时间：120分钟)
2022．5

一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知i为虚数单位，若复数z满足(1－i)z－＝2，则|z|＝(　　)
A. 1　 B. 　 C. 2　 D. 2
2. 已知集合A＝ {x|log2x<4}，B＝{x|－2 A. (－2，0]　 B. [0，2)　 C. (0，2)　 D. [－2，0)
3. 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a⊥b.若(a＋b)⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A. 2 　 B. 2　 C. 4　 D.
4. 已知函数f(x)＝ax2＋|x＋a＋1|为偶函数，则不等式f(x)>0的解集为(　　)
A. ∅　 B. (－1，0)∪(0，1)
C. (－1，1)　 D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
5. 已知cos (－α)＝sin α，则tan α＝(　　)
A. －　 B. －　 C. 　 D.

6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的焦点F1，F2，C2的渐近线分别交C1于A，C和B，D四点，若多边形ABF2CDF1为正六边形，则C1与C2的离心率之和为(　　)
A. －1　 B. 2　 C. ＋1　 D. 2
7. 已知实数a，b，c满足ln a＝2b＝c－，则下列关系式不可能成立的是(　　)
A. a>b>c 　 B. a>c>b
C. c>a>b　 D. c>b>a
8. 随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A＝“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B＝“甲、乙两人所选课程完全不同”，事件C＝“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则(　　)
A. A与B为对立事件　 B. A与C互斥
C. A与C相互独立　 D. B与C相互独立
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数f(x)＝|2sin (2x－)|，则下列说法正确的有(　　)
A. 函数f(x)的图象关于点(，0)对称
B. 函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝
C. 若x∈[，]，则函数f(x)的最小值为
D. 若f(x1)f(x2)＝4，x1≠x2，则|x1－x2|的最小值为
10. 已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，其数学期望E(X)＝2，随机变量Y服从正态分布N(p，4)，且P(X＝3)＋P(Y A. p＝　 B. p＝
C. P(Y>1－a)＝　 D. P(Y>1－a)＝
11. 已知定义在[1，6]上的函数f(x)＝x＋，则(　　)
A. 任意a，b，c∈[1，6]，f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长
B. 存在a，b，c∈[1，6]，使得f(a)，f(b)，f(c)不能作为一个三角形的三条边长
C. 任意a，b，c∈[1，6]，f(a)，f(b)，f(c)均不能成为一个直角三角形的三条边长
D. 存在a，b，c∈[1，6]，使得f(a)，f(b)，f(c)能成为一个直角三角形的三条边长
12. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，CC1＝2AB＝2，E为CC1的中点，P为棱AA1上的动点，平面α过B，E，P三点，则(　　)
A. 平面α⊥平面A1B1E
B. 平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形
C. 当P与A重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为π
D. 存在点P，使得AD与平面α所成角的大小为
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. (2x3－)5展开式的常数项是________．
14. 已知圆锥同时满足条件：① 侧面展开图为半圆；② 底面半径为正整数．请写出一个这样的圆锥的体积V＝________．
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，2)，直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝5交于A，B两点，若△PAB为正三角形，则实数m的值是________．

16. 第十四届国际数学教育大会(简称ICME14)于2021年7月在上海举办，会徽的主题图案(如图)有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，其右下方的“卦”是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745.八进制有0～7共8个数字，基数为8，加法运算时逢八进一，减法运算时借一当八．八进制数字3745换算成十进制是5×80＋4×81＋7×82＋3×83＝2 021，表示ICME14的举办年份．设正整数n＝a0·80 ＋a1·8＋…＋ai·8i＋…＋ak·8k，其中ai∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，i＝0，1，…，k，k∈N.记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，S(n)＝ω(1)＋ω(2)＋…＋ω(8n)，则ω(72)＝________；当n≤7时，用含n的代数式表示S(n)＝________．(本小题第一空2分，第二空3分)
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝5，b＝c＋3，求△ABC的面积．






18. (本小题满分12分)
在①b1＋b2＝6，b3＋b4＝24；②b1＋b2＋b3＝14，b1b2b3＝64；③b＝b6，b4－b2＝12这三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝a11＝20，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且________．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 记cn＝，求使cn取得最大值时n的值．








19. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥SABCD中，已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝ 60°，△SAD为正三角形，平面SAD⊥平面ABCD.
(1) 求二面角SBCA的大小；
(2) 在线段SC(端点S，C除外)上是否存在一点M，使得AM⊥BD？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．






20. (本小题满分12分)
某食品企业与甲、乙两超市签订了长期供应某种海鲜罐头的合同，每月供应一次，经调研发现：① 每家超市的月需求量都只有两种：400件或600件，且互相不受影响；② 甲、乙两超市的月需求量为400件的概率分别为，.
(1) 求两超市的月需求总量为1 000件的概率；
(2) 已知企业对此罐头的供货价格为30元/件，生产此罐头的成本为：800件内(含800)为20元/件，超过800件但不超过1 000件的部分为15元/件，超过1 000件的部分为10元/件．企业拟将月生产量X(单位：件)定为800或1 000或1 200.若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货．为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负，请你确定X的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润Y的数学期望最大，并说明理由．






21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝sin x－(x＋a)cos x，g(x)＝x3 ＋ax2，其中a≥0.
(1) 试判断函数f(x)在(0，π)上的单调性，并说明理由；
(2) 求证：曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)有且只有一个公共点．









22. (本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C: y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.
(1) 试判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；
(2) 若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范围．



2022届高三年级模拟试卷
(苏锡常镇二模)
数学参考答案及评分标准

1. B　2. A　3. C　4. B　5. A　6. C　7. D　8. C　9. BCD　10. BD　11. AD　12. AC
13. －40　14. π(答案不唯一)　15. －　16. 2　4n2＋25n
17. 解：(1) 由正弦定理＝＝，
得＝，(1分)
所以＝，化简得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.(3分)
因为A∈(0，π)，所以A＝.(5分)
(2) 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2－bc＝(b－c)2＋bc＝25，
将b－c＝3代入上式，得bc＝16，(8分)
所以△ABC的面积S△ABC＝bc sin A＝×16×＝4.(10分)
18. 解：(1) 由S5＝＝5a3＝20，得a3＝4.(1分)
因为a11＝20，所以公差d＝＝＝2，(2分)
所以an＝a3＋(n－3)d＝4＋2(n－3)＝2n－2.(3分)
设数列{bn}的公比为q，则q＞1.
若选①， 因为b1＋b2＝6，b3＋b4＝24，所以＝q2＝4.
因为q＞1，所以q＝2.(5分)
又b1＋b2＝b1(1＋q)＝3b1＝6，所以b1＝2，
所以bn＝b1qn－1＝2n.(6分)
若选②，b1b2b3＝b＝64，所以b2＝4，
b1＋b2＋b3＝＋4＋4q＝14，即2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝.
因为q＞1，所以q＝2，(5分)
所以bn＝b2qn－2＝2n.(6分)
若选③，由b＝b6，得b3＝＝q3，
又b4－b2＝b3(q－)＝q3(q－)＝q4－q2＝12，解得q2＝4，
因为q＞1，所以q＝2(5分)
所以bn＝b3qn－3＝qn＝2n.(6分)
(2) 由(1)得Sn＝＝n2－n，(8分)
所以cn＝＝.(9分)
因为cn＋1－cn＝－＝＝，(11分)
所以当n＝1或n＝2时，cn＋1＞cn；当n＝3时，cn＋1＝cn；当n≥4时，cn＋1＜cn.
所以cn取得最大值时n的值为3或4.(12分)
19. 解：(1) (解法1)如图，取AD的中点O，连接OS，OB.
因为△SAD为正三角形，所以SO⊥AD.
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SO⊂平面SAD，
所以SO⊥平面ABCD.(2分)
因为OA，OB⊂平面ABCD，所以SO⊥OA，SO⊥OB.
因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ADB为正三角形，所以OB⊥OA.(4分)

如图，以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AD＝2a，则S(0，0，a)，B(0，a，0)，C(－2a，a，0)，
所以＝(0，－a，a)，＝(－2a，0，0).
因为SO⊥平面ABCD，所以＝(0，0，a)是平面ABCD的一个法向量．
设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
不妨取z＝1，得n＝(0，1，1).(6分)
设二面角SBCA的大小为θ，则|cos θ|＝＝＝，
显然SBCA是锐二面角，所以二面角SBCA的大小为45°.(8分)
(解法2)取AD的中点O，连接OS，OB.
因为△SAD为正三角形，所以SO⊥AD.
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SO⊂平面SAD，
所以SO⊥平面ABCD，(2分)
所以SO⊥BC.
因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ADB为正三角形，所以BO⊥AD.
因为AD∥BC，所以BO⊥BC.(4分)
又SO∩BO＝O，且SO，BO⊂平面SOB，所以BC⊥平面SOB，所以BC⊥BS.
从而∠SBO为二面角SBCA的平面角．(6分)
因为SO⊥平面ABCD，OB⊂平面ABCD，所以SO⊥OB.
在Rt△SOB中，因为SO＝OB＝AD，所以∠SBO＝45°，
即二面角SBCA的大小为45°.(8分)
(2) 不存在．证明如下：
(解法1)在空间直角坐标系Oxyz中，
因为A(a，0，0)，S(0，0，a)，C(－2a，a，0)，B(0，a，0)，D(－a，0，0)，
所以＝(－2a，a，－a)，＝(－a，－a，0).
若线段SC(端点S，C除外)上存在一点M(x，y，z)，使得AM⊥BD，
则存在0<λ<1，使得＝λ，即
因为AM⊥BD，所以·＝0，从而－a(x－a)－ay＝0，(10分)
将x＝－2λa，y＝λa代入上式可得λ＝1，这与0<λ<1矛盾．
故线段SC(端点S，C除外)上不存在点M，使得AM⊥BD.(12分)
(解法2)若线段SC(端点S，C除外)上存在一点M，使得AM⊥BD.
因为菱形ABCD中AC⊥BD，且AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面SAC，
所以BD⊥平面SAC，从而BD⊥SA.(10分)
又由(1)可得BD⊥SO，且SA∩SO＝S，所以BD⊥平面SAO，
所以BD⊥AD，这与∠ADB＝60°矛盾．
故线段SC(端点S，C除外)上不存在点M，使得AM⊥BD.(12分)
20. 解：(1) 设A1＝“超市甲的月需求量为400件”，A2＝“超市甲的月需求量为600件”，
设B1＝“超市乙的月需求量为400件”，B2＝“超市乙的月需求量为600件”．
由题意知P(A1)＝，P(B1)＝，且A1与A2，B1与B2均为对立事件，
所以P(A2)＝1－P(A1)＝，P(B2)＝1－P(B1)＝.(2分)
设B＝“两超市的月需求总量为1 000件”，则B＝A1B2＋A2B1.
因为A1B2与A2B1互斥，且A1与B2，A2与B1相互独立，
所以P(B)＝P(A1B2＋A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝.(4分)
答：两超市的月需求总量为1 000件的概率为.(5分)
(2) 设A＝“两超市的月需求总量为800件”，C＝“两超市的月需求总量为1 200件”．
因为A1与B1相互独立，所以P(A)＝P(A1B1)＝P(A1)P(B1)＝×＝.
因为A2与B2相互独立，所以P(C)＝P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.
① 若月生产量X＝800，则
E(Y)＝30×800×[P(A)＋P(B)＋P(C)]－20×800＝8 000(元)；(7分)
② 若月生产量X＝1 000，则
E(Y)＝30×800×P(A)＋30×1 000×[P(B)＋P(C)]－20×800－15×200＝9 800(元)；(9分)
③ 若月生产量X＝1 200，则
E(Y)＝30×800×P(A)＋30×1 000×P(B)＋30×1 200×P(C)－20×800－15×200－10×200＝9 600(元).(11分)
综上所述，当X＝1 000时，利润Y的数学期望最大．(12分)
21. 解：(1) 因为f(x)＝sin x－(x＋a)cos x，
所以f′(x)＝cos x－[cos x－(x＋a)sin x]＝(x＋a)sin x.
因为x∈(0，π)，a≥0，所以x＋a＞0，sin x＞0，所以f′(x)＞0，
所以函数f(x)在(0，π)上为增函数．(3分)
(2) 令t(x)＝x－sin x，所以t′(x)＝1－cos x，则t′(x)≥0，
所以t(x)在R上单调递增，且t(0)＝0,
所以当x＞0时，t(x)＞0，x＞sin x；当x<0时，t(x)<0，x 由f(x)＝g(x)，得x3＋ax2＋(x＋a)cos x－sin x＝0.
设h(x)＝x3＋ax2＋(x＋a)cos x－sin x，则h′(x)＝(x－sin x)(x＋a).
令h′(x)＝0，由上述推理可得x＝0或x＝－a.(6分)
① 当a＝0时，h′(x)＝x(x－sin x)，
因为x(x－sin x)≥0，当且仅当h′(0)＝0，所以h(x)在R上单调递增．
因为h(0)＝0，所以h(x)的零点有且仅有一个为0.(8分)
② 当a＞0时，列表如下：



x
(－∞，－a)
－a
(－a，0)
0
(0，＋∞)
x＋a
－
0
＋
＋
＋
x－sin x
－
－
－
0
＋
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)

极大值

极小值

(9分)
首先h(－a)＞h(0)＝a＞0，
下证：h(－a－3)＜0.事实上，当x<－a时，x＋a<0，
因为cos x≥－1，所以(x＋a)cos x≤－(x＋a).又sin x＞x，所以－sin x<－x，
所以h(x) 所以h(－a－3)＜－(a＋3)(a＋3)<0.
从而h(x)在(－a－3，－a)上有且仅有一个零点．
综上所述，曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)有且仅有一个公共点．(12分)
22. 解：(1) 线段PM与NQ的长度相等．(1分)
证明：设A(，y1)，B(，y2)，则M(，).
因为直线AB过点F(1，0)，所以＝，
化简得(y2－y1)(＋1)＝0.因为y1≠y2，所以y1y2＝－4.(2分)
联立OA：y＝x与MN：y＝，得P(，)，
所以PM＝－＝＝.(4分)
同理Q(，).
因为N(－1，)，
所以NQ＝＋1＝＋1＝.
故线段PM与NQ的长度相等．(6分)
(2) 由题意知
由QO≥QP，得＋()2≥()2.
因为y1＋y2＞0，所以化简得＋≥.
因为y1y2＝－4，所以化简可得y≤8 ①.(9分)
由QO≥QN，得＋()2≥[＋1]2.
因为y1y2＝－4，所以化简可得y≥8 ②.
由①②知，y1＝2，即直线AB斜率的取值范围是{2}．(12分)