2021届山西省阳泉市高三第三次模拟考试理科数学卷及答案（文字版）

秘密★启用前

2021年阳泉市高三第三次教学质量监测试题

理科数学

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置．

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

4．考试结束后，将本试题的答题卡交回．

5．试题满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，且有16个子集，则实数a可以是（    ）

A．      B．0      C．2      D．3

2．已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

3．为考察A、B两名运动员的训练情况，下面是A、B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（    ）

A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分

B．第2天至第7天B运动员的得分逐日提高

C．第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量

D．A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差

4．双曲线，圆与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（    ）

A．      B．      C．      D．

5．在平面直角坐标系中，将不等式组表示的平面区域绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积是（    ）

A．      B．      C．      D．

6．函数（，且）的大致图象是（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知点在幂函数图象上，设，则a、b、c的大小关系为（    ）

A．      B．      C．      D．

8．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的定义域为R

B．函数一个单调递增区间为

C．函数的图象关于直线对称

D．将函数图象向左平移个单位可得函数的图象

9．设的展开式中第四项的系数为，记函数与的图象所围成的阴影部分为S，任取，则点恰好落在阴影区域内的概率为（    ）

A．      B．      C．      D．

10．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期积累的经验和智慧．“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则晷长为七尺五寸时，对应的节气为（    ）

A．春分、秋分      B．雨水、处暑      C．立春、立秋      D．立冬、立夏

11．如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（    ）

A．1      B．      C．      D．2

12．关于x的方程有三个不等的实数解，且，则的值为（    ）

A．e      B．1      C．      D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若是真命题，是真命题，则得第一名的是_________．

14．过抛物线的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，，则___________．

15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成两岸连接点间距离为米其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米．

16．如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，设，，则四边面积的最大值为________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说眀，证明过程或演算步骤．）

（一）必考题

17．（本小题满分12分）

已知为等差数列，数列的前n项和为，，___________．

在①，②（为常数）这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中．

（Ⅰ）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；

（Ⅱ）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体．

①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；

②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？

19．（本小题满分12分）

在三棱柱中，侧面，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若E为棱的中点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，当P是椭圆C的上顶点时，的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设斜率存在的直线与椭圆C的另一个交点为Q．若存在，使得，求t的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）若的图象的一条切线l在y轴上的截距为1，求切线l的方程；

（Ⅱ）求函数的极值点个数．

（二）选考题

请考生在第（22）、（23）二题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系．

（Ⅰ）若曲线：（t为参数）与曲线相交于两点A，B，求；

（Ⅱ）若M是曲线上的动点，且点M的直角坐标为，求的最大值．

23．（本小题满分10分【选修4-5：不等式选讲】

设函数．

（Ⅰ）求的最小值m；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明．