人教版六年级数学下册第四单元4.2《正比例和反比例》教案

这是一份人教版六年级数学下册第四单元4.2《正比例和反比例》教案，共28页。

2.正比例和反比例
第1课时 正比例
教学内容
教科书P45例1，完成教科书P49“练习九”中第1、2、4题。
教学目标
1.从具体实例中认识成正比例的量，初步理解正比例的意义及字母表达式，学会根据正比例的意义来判断两种相关联的量是不是成正比例关系。
2.让学生在认识成正比例的量的过程中，学会用“函数”的眼光去理解数量关系中量与量的变化规律，发现两个变量背后的不变量，培养学生的分析能力和抽象概括能力。
3.渗透函数思想，初步建立实物之间互相联系的观念。
教学重点
理解正比例的意义，并会判断两种量是否成正比例关系。
教学难点
在探究中抽象出正比例的意义，渗透函数思想。
教学准备
课件。
教学过程
一、提供素材，感受相关联的量
1.复习导入。
师：已知路程和时间，怎样求速度？
【学情预设】学生会说出:速度=路程÷时间。
师：我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做“相关联的量”。你还能举出相关联的量的例子吗？
【学情预设】学生可能会说出:总价÷数量=单价，总价和数量是两种相关联的量；工作总量÷工作时间=工作效率，工作总量和工作时间是两种相关联的量；一本书看了的页数+剩下的页数=总页数，看了的页数与剩下的页数是两种相关联的量等等。只要学生
教学笔记





























说出的两个量是相关联的，都要予以肯定。
2.引入课题。
师：这节课我们一起来研究有关两种相关联的量的知识。（板书课题：正比例）
【设计意图】充分利用学生的认知经验和生活经验，在熟悉的数量关系的情境中导入新课，理解“两种相关联的量”的意义，为后续的学习作铺垫。
二、合作学习，探究成正比例的量
1.初步理解正比例的意义。
(1)课件出示教科书P45例1。

(2)学生独立思考后，小组交流。
(3)汇报交流。
【学情预设】预设1：表中有总价和数量两种量。
预设2：彩带销售的数量增加，总价就相应增加；彩带销售的数量减少，总价就相应减少。
预设3：相应的总价和数量的比分别为，比值都是3.5。
教师根据学生的回答，板书总价和数量的比。
师：根据大家的汇报，我们发现总价和数量是两种相关联的量，总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值都是3.5，因此我们就说它们的比值总是一定的。
(4)揭示课题。

教学笔记








【教学提示】
正比例的意义比较抽象，让学生结合具体数量表达正比例的意义，避免学生不理解意义而生搬硬套。











师：你知道总价与数量的比值3.5表示什么吗？
【学情预设】学生会说出：总价÷数量=单价，3.5表示彩带的单价。
师：对，=单价，现在单价一定（板书），那么总价与数量这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这就是今天我们学习的内容。(出示课件)

师：请大家读一读这段话，然后和同桌互相说一说正比例的意义。
2.对比辨析，深入理解正比例的意义。
(1)课件出示习题。

(2)师：两个表中的量有什么相同的地方？
【学情预设】预设1：都有时间和路程这两种量。
预设2：汽车行驶的路程随时间的变化而变化，自行车行驶的路程也随时间的变化而变化。
预设3：汽车的路程和时间是两种相关联的量，自行车的路程和时间也是两种相关联的量。
(3)师：那我们是否可以说两个表中的路程与时间这两种量都成正比例关系呢？你能确定汽车和自行车6小时行驶的路程是多少吗？请大家思考后，先在小组内说一说。
教学笔记














【教学提示】
这个环节是在学生初步理解正比例的意义的基础上设计的，要注意引导学生在对比中主动观察、分析和讨论，使学生对正比例关系的理解从浅显到深刻。

【学情预设】预设1：我用路程÷时间=速度，求出汽车的速度是相同的，都是80千米/时，而自行车的速度是不同的，有时是20千米/时，有时是12千米/时。所以表1中路程与时间成正比例关系，表2中路程与时间不成正比例关系。
预设2：汽车的速度不变，可以判断6小时行480km；而自行车的速度不确定，6小时行的路程也就不确定。
师：我们所说的速度实际上也可以看作是路程和时间的比值，那么你们能分别写出这两种车的路程和时间的比并算出比值吗？
学生写完后展示。
师：根据我们的分析，知道了表1中汽车行驶的时间和路程是两种相关联的量，并且它们对应数量的比值一定，所以表1中路程与时间成正比例关系；表2中自行车行驶的时间和路程也是两种相关联的量，但它们对应数量的比值不一样，也就是不一定，所以表2中路程与时间不成正比例关系。
板书：=速度（一定）
【设计意图】在例题的基础上，再增加一些素材，通过探究路程与时间这两种相关联的量的关系，帮助学生进一步体会成正比例关系的要点：第一，有两种量，而且是相关联的量，其中一种量随着另一种量的变化而变化；第二，两种量之间的比值不变。通过具体的实例，学生认识了什么是变化的量，它们是怎样变化的，哪些是不变的量，理解并掌握变中有不变的数学思想。
3.归纳判断两种量是否成正比例关系的条件。
师：(课件出示例1表格和汽车行驶表格)想一想，每张表中给我们出示了几种量？这几种量有什么关系？

教学笔记





























【设计意图】表中都有两种相关联的量，一种量变大，另一种量也变大，一种量变小，另一种量也变小，而且这两种量的比值一定。第一个表格中是单价一定，第二个表格中是速度一定。
师：我们怎样来判断两种量成正比例关系呢？
师生一起总结：首先判断两种量是否是相关联的量,再看两种量的商是否为定值。(教师板书：两种相关联的量的比值一定，这两种量就成正比例关系。)
4.概括表达式。
师：观察成正比例的两种量的数量关系，如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，你能概括出正比例关系的表达式吗？
【学情预设】（一定）（教师根据学生的回答板书）
【设计意图】有了前面的学习,学生对正比例关系式已经有了感知，在学生已有的符号化经验基础上,很容易概括出表达式。
三、巩固练习，强化认知
1.课件出示教科书P49“练习九”第1题。
学生完整解答问题后，再交流分享。
【学情预设】指导学生完整呈现解决问题的过程。首先观察表格，明确电费和用电量是相关联的量。然后计算和比较几组相对应的数的比值，理解比值的意义是电的单价。最后，根据正比例关系的意义作出判断：因为=电的单价(一定)，所以电费和用电量成正比例关系。
注意指导学生规范的表达方式和书写格式。
2.课件出示教科书P49“练习九”第4题。
师：现在你能用所学的知识完成这个表格吗？
学生独立解答后交流。
【学情预设】这道题是已知两种量成正比例关系，利用两种量

教学笔记





























中的已知量来求未知量。应尽量引导学生严格按照正比例关系的定义来列出比例式，最后解比例。
课件出示正确解答。
3.学生独立完成教科书P49“练习九”第2题。
师：这道题要求我们判断每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。你会依据什么条件来判断？
【学情预设】指导学生说出：首先判断两种量是否相关联，然后再看两种量对应的数的比值是否为定值。
同桌间互相交流分享。
【设计意图】给学生练习的空间，加强学生对成正比例的量的认识及正比例意义的理解，在对知识的实际应用中获得成功的体验，实现对新知的巩固。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有什么感受和收获呢？你能说出生活中有哪些成正比例的量吗？
【学情预设】学生可能说出：工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系；正方形的周长与边长成正比例关系；圆柱的高一定，圆柱的侧面积与圆柱的底面周长成正比例关系……
(教师及时进行指导和评价)
板书设计

教学反思
教科书受篇幅的限制只给出一个例题，对于学生来说，充分理解正比例的意义是不够的。所以设计中又增加了一个素材，分析比

教学笔记


【教学提示】
重视观察与交流，让学生充分表达自己对量的变化规律的发现和概括。



















值一定的相关联的两种量的变化规律，给学生充分的自主学习空间，在学生汇报交流时教师通过适时引导、恰当提问加深学生对正比例知识的理解。但学生在判断两种量是否成正比例关系时，还是经常会出现错误。一是部分学生对两种量的数量关系不熟；二是部分学生往往关注的是两种量之间是否存在比的关系，而忽略了两种量是否是相关联的量，以及它们的比值是否一定这两个要素。
作业设计

对应课时作业。





















教学笔记





























第2课时 正比例关系图象
教学内容
教科书P46，完成教科书P49~50“练习九”中第3、5、6题。
教学目标
1.初步认识正比例关系图象，能用“描点法”画出表示正比例关系的图象，进一步认识成正比例的量的变化规律。
2.使学生在认识正比例关系图象的过程中培养观察、比较、分析、综合等能力,初步感受函数、数形结合等思想方法。
3.会利用图象解决简单的问题，体会函数思想。
教学重点
经历绘制正比例关系图象的过程，自主探索图象的特征。
教学难点
会利用正比例关系图象解决简单的问题。
教学准备
课件。
教学过程
一、出示图表，导入新课
师：同学们，通过上节课的学习，我们知道了文具店在销售彩带时，总价和销售数量是成正比例关系的两种量，为了更直观反映这两个量之间的关系，我们可以用图象把它们表示出来。(课件出示图表)

教学笔记





























师：这节课我们一起来学习正比例关系图象的知识。(板书课题：正比例关系图象)
【设计意图】简单明了揭示课题，使学生明确本节课的学习内容。
二、自主尝试，探究正比例关系图象的特征
1.学生在方格纸上尝试画图。
师：你是怎样画出图象的？
【学情预设】指导学生说出先观察横轴表示什么，纵轴表示什么。明确横轴表示销售彩带的数量，纵轴表示总价。描点时，先在横轴上找到表示1m的点，从这个点起作纵轴的平行线，再在纵轴上找到表示3.5元的点，从这点起作横轴的平行线，两线相交的点就表示“1m彩带3.5元”,用数对表示是(1，3.5)，然后以此类推。
学生互相检查，看图象画得正确与否，如果有错误要及时改正。
2.观察交流，体会正比例关系图象的特征。
课件出示正比例关系图象。

师：请大家观察图象，说说你发现了什么。
【学情预设】所有的点都在一条射线上。每个点都表示总价和数量的一组对应数值。教师可以具体找一个点，让学生说出这个点表示的含义。
师：在图象中把数对(10，35)和(12，42)所在的点描出来，并和上面的图象连起来并延长，你还能发现什么？
【学情预设】学生描点后发现，这两个点也在这条射线上。
教学笔记



【教学提示】
学生之前已经具备了数对与平面上的点一一对应的知识基础，在这里进一步扩展，把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对。











师：同学们，这条射线就是正比例关系图象。大家看，射线上的每一个点，既能反映出销售彩带的数量，又能反映出彩带的总价，说明它能反映出总价和数量是两种相关联的量，而且每一个点所反映的总价和数量的比又是一个定值，所以我们说它是正比例关系图象。［板书：正比例图象是一条从(0,0)出发的无限延伸的射线。］
【设计意图】初步感知正比例图象是一条从(0,0)出发的无限延伸的射线，理解该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的某一组具体值。
3.引导学生利用正比例关系图象解决问题。
师：不计算，根据图象判断，如果买9m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？

【学情预设】可以让学生指着图象说出自己是怎样解答的。学生找到与“9”对应的纵轴上的数“31.5”，即买9m彩带的总价是31.5元；然后找到与“49”对应的横轴上的数“14”，即49元能买14m彩带。
教学笔记
【教学提示】
探究正比例关系图象的特征这个环节是本节课的重点和难点。要注重学生的自主操作、自主观察、自主发现，把对正比例关系的理解由具体引向抽象，由有限引向无限，发展学生的函数思想。












师：小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？
学生自主解答，在小组内交流。
【学情预设】因为彩带的单价是一定的，彩带的总价和数量成正比例关系，若小明买的彩带的数量是小丽的2倍，则他花的钱应该是小丽的2倍。
师：看来在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，就能够在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值，用它来解决生活中的实际问题。
【设计意图】通过正比例关系图象解决问题，进一步感知正比例关系图象的特征，体会利用数形结合的方法解决问题的直观性与便捷性。
4.比较正比例关系图象和折线统计图。
师：正比例关系图象是折线统计图吗？
学生自由发言并讨论。
教师指导学生明确：正比例关系图象与折线统计图有本质的区别。虽然描点的过程与方法相同，但前者描述的是量与量之间的变化关系，两种量都是连续的，即射线上的点有无数个；而后者描述的是一些离散的数据。
【设计意图】通过比较，深入了解正比例图象的特征。
三、巩固练习，强化认知
1.课件出示教科书P46“做一做”。
教师指导学生按照题目的要求解答。根据学生的解答，课件相应出示正确的解答。
2.独立完成教科书P49~50“练习九”第3、5、6题。
学生先在教科书上完成，然后在小组内交流，教师巡视指导后收集错误答案进行交流。
【学情预设】第3题：明确汽车的耗油量和所行路程成正比例关系，因为汽车的耗油量÷所行路程=行驶1km的耗油量，而行驶

教学笔记
【教学提示】
引导学生利用数形结合思考问题，理解射线上的点与代表相关联的量的数对有着一一对应的关系。



















1km的耗油量一定。要注意的是根据图象估计，汽车行驶55km的耗油量大约是7.3L。
第5题：通过对同一时间、同一地点的3棵树的高度与影长关系的观察与计算，明确树的高度与影子的长度是两种成正比例的量。使学生知道：在同一时间、同一地点的前提下，任何物体的高度与它的影子的长度都是成正比例的。
第6题：让学生通过填表、描点、连线发现，n是自然数，2n表示的就是偶数，而且2n和n也是成正比例的量，比值等于2是不变的，图象也符合正比例图象的特点。
【设计意图】这一组练习，都是正比例的意义和正比例图象的巩固练习。在方格纸上画图表示成正比例关系的量，会根据其中一种量的值估计另一种量的值，让学生体会借助图形解决问题的价值。提前接触一些相对抽象的数字型的正比例关系，对于学生将来学习函数具有重要的作用。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有什么新的收获呢？
板书设计
正比例关系图象
正比例图象是一条从(0,0)出发的无限延伸的射线。
教学反思
对正比例图象的学习，可以看作是理解正比例意义的一种途径。引导学生用“描点法”画出表示正比例关系的图象，通过分析图象，更好地理解成正比例的两个量之间的变化规律，进行函数思想的渗透。在教学过程中，注意充分发挥学生的主体地位，把需要解决的问题大胆交给学生自主解决，能取得较好的学习效果。
作业设计


三、一辆轿车在公路上行驶的时间和路程的情况如下表。

教学笔记




























1. 比较几组路程与相对应时间比值的大小，说说这个比值的意义是什么。
2. 这辆轿车行驶的路程与时间成正比例关系吗？为什么？
3. 在图中描出这辆轿车行驶的路程与相对应时间的点，然后把这些点按顺序连接起来。

4. 根据图象判断，这辆轿车2.5小时行驶( )km；行驶495km需要( )小时。
五、下面两幅图分别表示某天人民币与美元和欧元的兑换情况。

1.根据上图，100元人民币可兑换( )美元或( )欧元。
(结果保留两位小数)
2.这一天王叔叔用6000欧元兑换美元，能兑换多少美元？
参考答案
三、1. 90∶1=90÷1=90 180∶2=180÷2=90
270∶3=270÷3=90…… 90=90=90=……，比值相等。
这个比值表示轿车行驶的速度是90千米/时。
2.成正比例关系。因为轿车行驶的路程与时间的比值一定。
3.画图略 4.225 6.5
五、1. 16.67 12.50
2.解：设这一天6000欧元能兑换x元人民币。
50∶400=6000∶x
教学笔记






























x=48000
解：设这一天48000元人民币能兑换y美元。
300∶50=48000∶y
y=8000


























教学笔记




























第3课时 反比例
教学内容
教科书P47~48例2，完成教科书P51“练习九”中第8、10、11题。
教学目标
1.使学生经历从生活实例中抽象出成反比例关系的量的过程，初步理解反比例的意义，能判断两种量是否成反比例关系。
2.使学生在建构反比例意义的过程中培养观察、比较、分析、抽象、概括等能力,初步感受函数、数形结合等数学思想方法，发展思维能力。
3.在自主探索与合作交流中获得积极的数学学习情感体验。
教学重点
理解反比例的意义，能判断两种量是否成反比例关系。
教学难点
在探究中抽象出反比例的意义，渗透函数思想。
教学准备
课件。
教学过程
一、对比感知，初步了解反比例关系
1.课件出示两个表格。

师：上节课我们研究了成正比例关系的量，请大家观察两个表格，判断每个表格里的两种量是否成正比例关系，并说明理由。

教学笔记

















【教学提示】
引导学生观察两个表格中数量的变化情况，感知两个量背后的不变量。



【学情预设】预设1：第(1)题中的两种量成正比例关系，这两种量是相关联的量，一种量增加，另一种也增加，而且=速度(一定)，所以这道题中，路程与时间成正比例关系。
预设2：第(2)题中的两种量不成正比例关系，一种量增加，另一种量反而减少。
预设3：我发现第(2)题中的两种量所对应的一组数相乘都得300。
2.对比感知，引出课题。
师：同学们的发言有理有据，非常棒！第(1)题中的两种量符合正比例的变化规律，而且两种量的比值一定，成正比例关系；第(2)题中的两种量不符合正比例的变化规律，那它们之间成什么关系呢？
学生猜测，教师总结并引入课题。(板书课题：反比例)
【设计意图】结合具体情境，观察表格中的两种量，发现其变化规律，渗透函数思想。组织学生复习正比例的意义和判断方法。通过学生对原有正比例知识的回忆，初步感受正比例与反比例的不同变化规律。
二、构建反比例概念，理解反比例的意义
1.自主探究，合作学习。
(1)课件出示教科书P47例2。

教学笔记





























(2)学生带着“如何判断两种量是否成反比例关系”这个核心问题进行自学和交流。
(3)汇报交流，学生以小组为单位进行汇报。
【学情预设】预设1：表中的两种量是杯子的底面积和水的高度。
预设2：杯子的底面积扩大，水的高度反而缩小；杯子的底面积缩小，水的高度反而扩大。
预设3：这两种量中相对应的两个数的乘积都是300。
师：同学们知道了每两个相对应的数的乘积都是300，那么这个300表示什么呢？
【学情预设】指导学生说出底面积×高度=体积。(板书：底面积×高度=体积)
师：我们说水的高度和杯子的底面积这两种量成反比例关系，你能说说判断它们成反比例关系的理由吗？
【学情预设】水的高度和杯子的底面积是两种相关联的量，水的高度是随着杯子的底面积的变大而不断变小的，而且水的高度与杯子的底面积的乘积总是一定的，所以水的高度和杯子的底面积成反比例关系。
【设计意图】学生前面已经学习了正比例的意义，对于相关联的量、量的变化规律、变化中的不变等要素已经有了深刻的体会。所以放手让学生自主探究，将已有的知识进行迁移，教师适时引导，恰当追问，学生掌握反比例的意义自然水到渠成。
2.对比判断，深化对反比例意义的理解。
课件出示两道题。






教学笔记






























师：请你判断(1)、(2)中的两种量是否成反比例关系。
学生思考并在小组内交流。
【学情预设】预设1：(1)中，平均每天看的页数与看完全书所需的天数是两种相关联的量，每天看的页数越多，所需天数越少，每天看的页数越少，所需天数越多。而且每天看的页数×所需天数=总页数(一定)，所以这两种量成反比例关系。(板书：每天看的页数×所需天数=总页数)
预设2：(2)中，已花的钱与剩下的钱是两种相关联的量，已花的钱越多，剩下的钱越少，已花的钱越少，剩下的钱越多。已花的钱与剩下的钱的和一定，所以这两种量成反比例关系。
师：你有什么不同的想法吗？
【学情预设】学生会说出，已花的钱与剩下的钱这两种量不成比例关系，因为它们是和一定，而不是乘积一定。
师：你同意他的说法吗？(学生会表示赞同，让那位出错的同学再来说说为什么已花的钱与剩下的钱这两种量不成反比例关系。)
3.归纳反比例的意义。
师：刚才的学习，你能用自己的话来说一说，怎样的两种量成反比例关系？
学生用自己的语言概括归纳反比例的意义。
师小结：两种相关联的量，一种量增加，另一种量反而减少，而且它们的乘积一定，这两种量就成反比例关系。
师：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的
教学笔记
【教学提示】
对比辨析环节对学生深入理解反比例的意义起着重要的作用。要鼓励学生主动表达，教师注意适时引导和追问，使学生的表达围绕着两种相关联的量是怎样变化的、乘积是否相等展开，让学生表达得更清晰、简洁、准确。









积(一定)，请你用字母表示反比例关系。（学生一边回答，教师一边板书。）
【学情预设】xy=k(一定)
三、归纳判断两种量是否成反比例关系的条件
师：我们怎样来判断两种量是否成反比例关系呢？
师生一起总结：首先判断两种量是否是相关联的量，然后再看两种量的乘积是否为定值。
(教师板书：两种相关联的量的乘积一定，这两种量就成反比例关系。)
师：回忆一下，这与判断两种量成正比例关系的条件有什么异同？
【学情预设】学生会说出，首先都是判断这两种量是否相关联，但判断正比例关系是看比值是否一定，判断反比例关系是看乘积是否一定。
师：同学们的总结为我们正确判断两种相关联的量是成正比例关系还是成反比例关系，还是不成比例关系提供了方法，在今后的学习中大家要注意辨别清楚。
【设计意图】对比判断两种相关联的量是成正比例关系还是反比例关系的条件，找到判断时条件的异同，进一步加强对正、反比例意义的理解。
四、实践应用，巩固提升
1.课件出示教科书P48“做一做”。
师：请同学们独立完成，并在小组内进行交流。(教师巡视指导)
【学情预设】预设1：每天运的质量和运货的天数是两种相关联的量。
预设2：300×1=300，150×2=300，100×3=300，积相等，这个积表示这批货物的总质量。
预设3：运货的天数与每天运的质量成反比例关系。因为运货

教学笔记
【教学提示】
让学生用自己的话来说一说怎样的两种量成反比例关系。不同的学生有不同的表达形式，可以是具体直观的数据说明，可以是半抽象的增减趋势，还可以是抽象的表达形式。引导学生从直观到抽象，构建反比例的意义。









的天数与每天运的质量是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且运货的天数×每天运的质量=这批货物的总质量(一定)，也就是乘积一定，所以运货的天数与每天运的质量成反比例关系。
课件配合出示正确的解答。
2.独立完成教科书P51“练习九”第8题。
学生独立解答后交流。
【学情预设】因为教室的面积一定，而所需地砖数量与每块地砖的面积的乘积都等于教室的面积54m2，所以所需地砖数量与每块地砖的面积成反比例关系。
3.独立完成教科书P51“练习九”第10题。
师：现在你能用所学的知识完成这个表格吗？
学生独立解答后交流。
【学情预设】这道题是已知x和y成反比例关系，就有反比例关系式xy=k(一定)，利用表内已知的对应值(2，5)求出k=10，就可根据已知的一种量求出另一种量。应引导学生严格按照反比例关系的定义来解决问题。
课件出示正确解答。
4.学生独立完成教科书P51“练习九”第11题。
师：这道题要求我们判断下面每题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由。你会依据什么条件来判断？
【学情预设】指导学生说出首先判断两种量是否相关联，然后再看两种量对应的数的乘积是否为定值。
学生完成后，交流分享。
【设计意图】给学生练习的空间，加强学生对成反比例的量的认识及对反比例意义的理解，在对知识的实际应用中获得成功的体验，实现对新知的巩固。
5.举出生活中成反比例关系的例子。
师：学习了反比例的知识，你能举出生活中成反比例关系的例

教学笔记






【教学提示】
指导学生根据反比例的意义来判断两种量是否成反比例关系。在这个过程中，要抓住判断的两个要点：一是两种量是否相关联，是不是按照一种量增加(减少)，另一种量减少(增加)的规律来变化的；二是通过计算明确两种量相对应的数的乘积是否一定。

子吗？
【学情预设】学生可能说出：工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系；总价一定，单价和数量成反比例关系；长方形的面积一定，长方形的长和宽成反比例关系等等。(教师及时进行指导和评价)
五、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？课后请大家了解一下教科书P48“你知道吗？”中的反比例图象，可以和其他同学交流一下反比例图象与正比例图象有什么不同。
板书设计

教学反思
学生感受到在整堂课的学习中，始终贯穿着对比分析的研究方法。这样同中求异、异中求同的设计，将对比分析的学习方法从这一课的学习推向一类课的学习，它既是数学课堂教学的一种模型，也是学生学习的一种模型。少数学生在接连学习了正比例的意义和反比例的意义后，在实际判断时容易混淆，要想真正理解和掌握还需增加更多素材加以练习。
作业设计








教学笔记





























练习课（正比例和反比例）
教学内容
完成教科书P50~52“练习九”中第7、9、12、13、14、15、16题。
教学目标
1.在练习中，进一步理解正、反比例的意义，弄清它们的联系和区别，能正确、熟练地判断正、反比例关系。
2.提高观察、分析、比较、抽象概括和判断推理的能力。
3.提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，培养学生自主探究、合作交流的学习能力。
教学重点
进一步掌握正、反比例关系的意义。
教学难点
正确应用正、反比例知识解答基本的正、反比例应用题。
教学准备
课件。
教学过程
一、比较正、反比例的意义，加深理解
1.回顾旧知识，对比感知。
师：我们已经初步学习了判断两种量是不是成正比例或反比例的关系的方法，你能判断下面两种量成什么比例吗？（出示课件）

【学情预设】预设1：路程和时间是两种相关联的量，因为速度一定，路程÷时间=速度，所以路程和时间成正比例关系。
预设2：速度和时间是两种相关联的量，因为路程一定，速度×时间=路程，所以速度和时间成反比例关系。
预设3：路程和速度是两种相关联的量，因为时间一定，路程
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÷速度=时间，所以路程和速度成正比例关系。
师：同样都是速度、时间、路程，为什么有的成正比例关系，有的成反比例关系？
【学情预设】引导学生说出要看两种相关联的量的变化规律，还要看比值一定还是乘积一定。(教师可以让学生具体说一说成正比例关系的两种量的变化规律、成反比例关系的两种量的变化规律。)
师：你还能举出类似的例子吗？
【学情预设】预设1：单价、数量、总价之间也有这样的关系。总价一定，单价×数量=总价，单价和数量成反比例关系；单价一定，总价÷数量=单价，总价和数量成正比例关系；数量一定，总价÷单价=数量，总价和单价成正比例关系。
预设2：工作总量、工作时间、工作效率之间也有这样的关系。工作总量一定，工作效率×工作时间=工作总量，工作效率和工作时间成反比例关系；工作效率一定，工作总量÷工作时间=工作效率，工作总量和工作时间成正比例关系；工作时间一定，工作总量÷工作效率=工作时间，工作总量和工作效率成正比例关系。
……
(教师对学生的发言及时鼓励、评价。)
2.总结对比正比例和反比例的异同点。
师：你能总结一下正比例和反比例有什么相同点和不同点吗？
课件出示表格，根据学生的回答填写表格。

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【教学提示】
通过判断速度、时间、路程之间的正、反比例关系，让学生更深入地思考正、反比例的异同点。注意学生表达的完整性，在辨析的过程中加深对正、反比例的意义的理解，巩固判断正、反比例的方法。












师：我们已经了解了正比例和反比例的异同，今天我们就应用正、反比例的知识来解决一些问题。
二、基础练习，巩固意义
1.课件出示教科书P50“练习九”第7题。
学生独立完成后交流。
【学情预设】指导学生用正比例图象解决问题，让学生看到该图象符合正比例关系图象的定义。买7支铅笔需要的钱数可以直接在图象中找到。第(3)题学生可能在表达上出现困难，可以提示因为总价与支数成正比例关系，所以小丽买的铅笔支数与小明买的铅笔支数之间的倍数关系以及与总价之间的倍数关系相等。
2.课件出示教科书P51“练习九”第9、12题。
师：请同学们独立完成这两道题，然后在小组内交流、订正。
小组交流后进行汇报。
【学情预设】第9题：判断时发现每瓶醋的容量与所装瓶数相关联，且每瓶醋的容量×所装瓶数=醋的总量(一定)，发现乘积不变，所以每瓶醋的容量和所装瓶数成反比例关系。
第12题：第（1）题，指导学生先通过两个量的具体对应值，发现“每天组装的数量”和“所用天数”的变化规律，再用字母表示出两种量之间的关系，得到组装的手机总数=pt。第（2）题，通过计算可以得到p和t的乘积一定，所以p和t成反比例关系。第（3）题，可以用算式500×24÷8=1500(部)来解决。
三、综合应用，提升能力
1.课件出示教科书P52“练习九”第13、14题。
师：在刚才的练习中，大家表现得很不错。你敢挑战下面这两个问题吗？
学生独立完成后，再集体交流。
【学情预设】第13题：第(1)题，根据速度×时间=路程的数量关系来解答，因为路程一定，指导学生明确用任何一组对应的速度和时间都能求出京沪高铁的总长度。第(2)题，学生会答出t和v成

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【教学提示】
这两道题是巩固反比例关系的练习，让学生判断时，要紧紧抓住反比例的概念，说出两种量成反比例关系或不成反比例关系的理由。







反比例关系，关系式是vt=1300。第(3)题，列式1300÷325=4(时)。
第14题：这道题对学生有一定的挑战性。在一幅图中同时呈现两种动物奔跑路程与奔跑时间的关系图象，要求学生借助图象的特征直接判断两个量之间的关系并解决问题。学生有了前面的经验，很容易判断这是正比例图象，图中路程与时间成正比例关系。根据图象估计斑马18分钟跑22km，长颈鹿18分钟跑14km。注意答案不是唯一的，只要合理就可以。第(3)题，要指导学生会看图象，可以看相同的时间内谁跑得远，也可以看跑同样远的路程谁的时间短。要教给学生图象中射线的倾斜度越大，表示动物奔跑的速度越快。
2.抽象表示正、反比例关系。
课件出示教科书P52“练习九”第15题。
师：x、y、z是三个相关联的量，并有xy=z。请你根据条件填一填。
【学情预设】当z一定时，x与y成反比例关系；当x一定时，z与y成正比例关系；当y一定时，z与x成正比例关系。
师：你认为x、y、z分别可以表示什么？
【学情预设】学生可能说出：时间、速度与路程，单价、数量与总价，长方形的长、宽和面积，圆柱的底面积、高和体积……
教师适时对学生的表述加以指导。
【设计意图】重视常见的数量关系中量与量之间的关系，沟通知识之间的联系，让学生更深入地理解正、反比例的意义。在这个过程中，引导学生多角度利用图象解决问题，培养学生的图象分析能力。
四、拓展延伸，开放思维
课件出示教科书P52“练习九”第16题。
师生一起分析和解答。引导学生用列表的方法有序列举数据，并试着把长方形长与宽的关系用图象表示出来。
【学情预设】长方形的面积=长×宽，长用x表示，宽用y表示，

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【教学提示】
这引导学生用列表的方法有序列举数据，并尝试把长方形长与宽的关系用图象表示出来。
面积是36cm2，由此得出xy=36，y与x的乘积一定，所以y与x成反比例关系。先列表，利用长方形的面积公式列举出x、y的几组数据，再在图中描点连线。画出图象后，再判断图象是不是直线。最后发现，xy=36的图象不是一条直线，而是一条曲线。
列举数据：

【设计意图】告诉两个变量，一个不变量，能通过反比例关系来解决问题，进一步体会反比例的意义，并在脑海里初步建立反比例图象的模型，感知反比例图象与正比例图象的不同，能利用图象上的点与数对的一一对应的关系来解决问题，初步体会函数的思想和方法。
五、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
教学反思
正、反比例关系是小学阶段学习的一种比较重要的数量关系。教学中给学生提供常见的数量关系，让学生通过观察、分析，发现两个数量间的变化关系，并将这种抽象的关系延伸到其他的常见的数量关系中，达到脱离具体情境，概括抽象正、反比例关系的一般目的。在此基础上，学生利用字母表达式来刻画两种比例关系就水到渠成了。经过这节课的巩固练习，感觉学生对正、反比例的意义掌握得更好一些，易错、易混的情况少了许多。
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作业设计


二、下面是某水果店苹果质量与总价的对应数值表。


1.在图中描出表示苹果的质量与相对应总价的点，并把它们按顺序连起来。
2.如果买3.5kg苹果，需要多少钱？
3.小军买苹果花的钱是小洋的3倍，小军买的苹果的质量是小洋的几倍？
三、下面每个方格的边长都表示1cm，先看图填表，再回答问题。

1.长方形的周长一定，长方形的长与宽成反比例关系吗？为什么？
2.长方形的面积一定，长方形的长与宽成反比例关系吗？为什么？
参考答案
二、
2. 3.5×7.5=26.25(元)
3.苹果的总价和质量成正比例关系，小军买苹果花的钱是小洋的3倍，所以小军买的苹果的质量是小洋的3倍。
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1.不成反比例关系，因为长方形的长与宽的乘积不是定值。
2.成反比例关系，因为长方形的长与宽的乘积一定。























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