高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法教案及反思

向量的加法

【教学目标】

一、知识与技能

1．掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算。

2．了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量

3．通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

4．初步体会数形结合在向量解题中的应用。

二、过程与方法

教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

三、情感态度价值观

通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

【教学重点】

向量加法的概念和向量加法的法则及运算律。

【教学难点 】

向量的减法转化为加法的运算。

【教学准备】

电脑、投影机。

【教学过程】

【第二课时】

[创设情境]

提出课题：向量是否能进行运算？

某人从A到B，再从B按原方向到C，

则两次的位移和：+=

若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：+=

某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：+=

船速为，水速为，

则两速度和：+=

提出课题：向量的加法

[探究新知]

1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

   注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

2．三角形法则：

   强调：

   ① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点

   ②可以推广到n个向量连加

   ③

   ④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）

  例1．已知向量、，求作向量+

         作法：在平面内取一点，

               作

               则

[探究新知]

3．加法的交换律和平行四边形法则

思考：上题中+的结果与+是否相同    验证结果相同

从而得到：1向量加法的平行四边形法则

           2向量加法的交换律：+=+

4．向量加法的结合律：（+） +=+ （+）（可请学生先上来做，不足之处学生更正）

证：如图：使， ，

则（+） +=

 + （+） =

∴（+） +=+ （+）

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）

例2．如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。

解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，

以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度

在中，，

所以

因为

[探究新知]

思考：已知，，怎样求作？

这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念。

5．用“相反向量”定义向量的减法

①“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作 a

②规定：零向量的相反向量仍是零向量。（a） = a

    任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + （a） = 0

     如果A、B互为相反向量，则a = b，  b = a，  a + b = 0

③向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

    即：a  b = a + （b）   求两个向量差的运算叫做向量的减法。

6．用加法的逆运算定义向量的减法：

   向量的减法是向量加法的逆运算：

   若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a  b

7．请同学们自己解决思考题：

  的作法：

方法一、已知向量、，在平面内任取一点O，作，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量

方法二、在平面内任取一点O，作则。即也可以表示为从向量的起点指向向量的起点的向量。

方法三、在平面内任取一点O，作，则由向量加法的平行四边形法则可得 。

[展示投影]思考与讨论：

思考：从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（）

讨论：如右图，∥时，怎样作出呢？

[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）

例3．已知向量A、B、C．d，求作向量aB、CD．

解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d， 作， ，   则= ab，  = cd

例4．平行四边形中，=，=，用、表示向量，。  

解：由平行四边形法则得：

      = a + b， = - = ab

变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）

变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直）

变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵  对角线方向不同）

例5．试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证：由向量加法法则：

  = +，  = +

  由已知：=，  =

  ∴=    即AB与CD平行且相等

  ∴ABCD为平行四边形

[学习小结]

①向量加法的三角形法则与平行四边形法则。

②向量加法运算律。

③相反向量及向量减法的运算法则。