初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线导学案

这是一份初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线导学案，共6页。学案主要包含了知识清单，经典例题，夯实基础，提优特训，中考链接等内容，欢迎下载使用。

【知识清单】
图1
1、三角形三边垂直平分线性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.当三角形是锐角三角形时，交点在其内部；当三角形
是钝角三角形时，交点在其外部；当三角形是直角三角形时，交点
在其斜边的中点上.
2、线段的垂直平分线的作法及其作用.
(1)线段的垂直平分线的作法：
已知：线段AB(如图1所示)，求作线段AB的垂直平分线.
作法：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧交于点C和D；
②作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线(直线CD与AB的交点就是线段AB的中点).
(2)这个基本作图的另一个作用就是找已知线段的中点.
【经典例题】
例题1图
例题1图
例题1、如图所示，A、B、C三点表示三个村庄的地理位置．为了解决吃水难的问题，自来水公司决定在三个村建厂，要求自来水厂到三个村的距离相等．请你设计出自来水厂O点的位置，并说明理由．

【考点】线段垂直平分线的作法和应用．
【分析】根据垂直平分线的性质，作出AB，BC的垂直平分线，两条直线相交于点O，点O位置即可确定．
【解答】连接AB、AC、BC，
作AB、BC的垂直平分线，两线交于点O，
点O就是自来水厂的位置.
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB=OC．
【点评】此题主要考查了应用与设计作图，根据垂直平分线的性质得出O点位置是解题关键．
例题2图
例题2、如图，已知线段a，m(m>2a).
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，周长为m.
【考点】 基本作图．
例题2图①
【分析】本题的关键是求腰长，腰长.在线段m上作出长为(ma)的线段，然后，再作出该线段的垂直平分线找到中点，从而作出长为(ma)的线段，即为腰长.再根据已知两腰长和底边长作出等腰三角形△ABC．
【解答】作法：如图①(1)作射线EF，
(2)在射线EF是截取EH=m，EG=a，
(3)作GH的垂直平分线PQ，交GH于点D，
(4)如图②，作线段BC=a， 分别以点B和C为圆心，
以GD的长为半径作弧，两弧交于点A；
第2题图②
(5)连接AB、AC，△ABC为所作的三角形.
例题2图②
证明：∵EH=m， EG=a，
∴GH=EHEG=ma，
∵PQ是GH的垂直平分线，交GH于点D，
∴GD=HD=(ma)，
∵AB=AC=GD=(ma)，BC=a，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=(ma)+ (ma)+a=m.
【点评】作图题重在分析，关键是将复杂的作图转化为基本作图
【夯实基础】
1、如图，AC垂直平分BC，垂足为D，下列结论不一定成立的是( )
第1题图
A．AB=AC B．AD平分∠BEC C．△ABE≌△ACE D．AB=BC
第2题图
2、如图，在△ABC中，∠B=22.5°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若BE=2，
∠ACB: ∠ECB=3:1，则AC的长为( )
A．2 B． C． D．4
3、如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果AC+BC=20，则△BDC的周长为( )
第4题图
第3题图
A．10 B．15 C．20 D．30

第7题图
4、如图所示，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交线段AB于点D，∠A=56°，
则∠BDC=( )
A．56° B．112° C．126° D．140°
5、已知点P是△ABC三边垂直平分线的交点，点P到顶点A的距离为5，则用线段PA、PB、PC组成的三角形的周长为 ．
6、已知O是锐角△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC=70°，则∠BOC= ．
7、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B= ．
8、如图，已知线段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，BC上的高为h.
第8题图
第9题图
9、如图，已知：在△ABC中，AB，BC边上的垂直平分线相交于点P，
求证：点P在AC的垂直平分线上．
【提优特训】
10、如图，已知点O是△ABC三边垂直平分线的交点，连接OA、OB、OC，若∠BAO=14°，则∠ACB等于( )
第10题图
A．96° B．86° C．78° D．76°
第11题图
11、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=8，则AB的长为( )
A． B．4+ C． D．12
12、已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC
的周长分别是68cm和50cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( )
A．18 cm和36 cm B．18 cm和32 cm
C．32 cm和18 cm D．16 cm和38 cm
13、如图所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是( )
第13题图
A．连接BA并延长与l的交点为P
B．连接AB，并作线段AB的垂直平分线与l的交点为P
C．过点B作l的垂线，垂线与l的交点为P
D．过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，
使A′O=AO，再连接A′B，则A′B与l的交点为P
14、如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，交BC于点E，交AB于点D，若AE是∠BAC的平分线，则∠B= .
第16题图
第15题图
第14题图
15、已知如图，在△ABC中，BC=21，AB的中垂线交BC于P，AC的中垂线交BC于Q，则
△APQ的周长 .
16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB
为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个.
17、为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图).
(1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置．(要求：写出已知、求作；不写作法，保留作
图痕迹)；
(2)若两村之间距离分别为：AB=5km，AC=5km，BC=6km，求医疗点P到各村的距离.
第17题图


第18题图
18、如图， 在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90º，E是AB的中点，过点B作CE的垂线，垂足为点G，与过点A与BC的平行的直线相交于点D，
(1)求证：BE=AD；
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
(3)试问△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.
【中考链接】
19、(2020•吉林长春)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，
②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．
下列说法不一定正确的是( )
A．∠BDN=∠CDN B．∠ADC=2∠B
第20题图
第19题图
C．∠ACD=∠DCB D．2∠B+∠ACD=90°

第19题图
20、(2020•哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CA B'的度数为( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
第22题图
21、 (2020•湖北十堰)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE3，△ABD的周长
为13，则△ABC的周长为 ．
第21题图


22、(2020•湖南永州)∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB=60°，在∠AOB内有一点P(4，3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN的周长的最小值是 ．