高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.4 数乘向量教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.4 数乘向量教案设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学准备，教学过程等内容，欢迎下载使用。
数乘向量  【教学目标】一、知识与技能1．要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义。2．了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。3．要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。4．通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。二、过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点） 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。三、情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神。【教学重点】 1． 实数与向量积的定义及几何意义。2．平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示【教学难点】1． 实数与向量积的几何意义的理解。2． 平面向量基本定理的理解。【教学准备】电脑、投影机。【教学过程】[探究新知]1．思考： （引入新课）已知非零向量 作出++和（）+（）+（）    ==++=3==（）+（）+（）=3         讨论：① 3与方向相同且|3|=3||               ② 3与方向相反且|3|=3||2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ①|λ|=|λ|||②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义）[展示投影]思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：λ（μ）=（λμ）           ①第一分配律：（λ+μ）=λ+μ         ②第二分配律：λ（+）=λ+λ        ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ0，μ0，有：|λ（μ）|=|λ||μ|=|λ||μ||||（λμ）|=|λμ|| |=|λ||μ|||         ∴|λ（μ）|=|（λμ）| 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。          从而λ（μ）=（λμ）第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ0，μ0，当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴|（λ+μ）|=|λ+μ|||=（|λ|+|μ|）|||λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=（|λ|+|μ|）||∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向         即：|（λ+μ）|=|λ+μ| 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向还可证：|（λ+μ）|=|λ+μ| ∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当，且λ0，λ1时1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，作=   =    =λ   =λ    则=+     λ+λ由作法知：∥有OAB=OA1B1    ||=λ||∴λ    ∴△OAB∽△OA1B1      ∴λ AOB= A1OB1   因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ|   与λ方向也相同λ（+）=λ+λ    当λ<0时 可类似证明：λ（+）=λ+λ   ∴ ③式成立 [探究新知]若有向量（）、，实数λ，使=λ   则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线（）且||：||=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=μ从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）[探究新知、展示投影]1．思考：①是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？②对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2．教师引导学生分析设，是不共线向量，是平面内任一向量   =           =λ1      ==+=λ1+λ2=           =λ2得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。[注意几个问题]：① 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底。② 这个定理也叫共面向量定理。③λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。[展示投影]例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做，学生评讲，教师提示或适当补充；）例4．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30， 60角，问两细绳各受到多大的力？解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90=1 （kg）   P1OP=60     P2OP=30∴=cos60=1•=0.5    （kg）=cos30=1•=0.87    （kg） 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg例5．如图  ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和 解：在  ABCD中     ∵=+=+     ==   ∴==（+）===（）=      ==+===+