数学必修 第二册6.2.1 向量基本定理教案设计

平面向量基本定理

【教学目标】

1．了解平面向量的基本定理及其意义；

2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；

3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。

【教学重点】

平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示。

【教学难点】

平面向量基本定理的理解。

【教学方法】

引导发现、合作探究。

【教学过程】

一、创设情境，揭示课题

问题1　研究火箭升空的某一时刻的速度。

问题2　物理中的力的分解。

二、学生活动

1．火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向前的分速度。

2．，是两个不共线的向量，a是平面内的任一向量，如何将a分解到，方向上去？

三、构建数学

平面向量基本定理：

探索

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？

（2）对于平面上两个不共线向量，，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

教师引导学生分析设，是不共线向量，a是平面内任一向量．

=           =      ==+=+

=           =

平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使+．我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面向量定理.

注意：

（1）,均是非零向量，必须不共线，则它是这一平面内所有向量的一组基底.

（2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；，是被，，唯一确定的实数．

（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.

（4）时，与共线；时，与共线；时，．

基底：我们把不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

正交分解：一个平面向量用一组基底,表示成+的形式，我们称它为向量的分解，当,所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解．

思考　平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？

四、数学运用

1. 例题.

例1　平行四边形的对角线和交于点，,,试用向量,表示,,,．

解：在中，    ABCD ∵，

 ，

∴，

，，

．

例2　 如图2-3-4，质量为的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的磨擦力．

例3   已知向量，求作向量2.5+3

作法：

（1）取点，作=25  =3；

（2）作 ，即为所求25+3．

例4　设,是平面内的一组基底，如果=3-2，=4+,

=8-9．求证：，，三点共线．

变式　设是两个不共线的向量，已知=2+,=+3,

=2-，若，，三点共线，求的值．

解　=(2-)-(+3)=-4,∵，，三点共线，∴与共线,即存在实数,使得=， 即是.

由向量相等的条件，得  ，∴．

例5　 如图，、不共线，,

用、表示.

变式1　如图,，不共线，点在上，求证：存在实数

使.

变式2　设,不共线，点在、、所在的平面内，且．求证：、、三点共线．

2．巩固：教材练习．

五、小结

1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题；

2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示．.

【作业布置】

同步检测

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