数学必修 第二册第六章 平面向量初步6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理教学设计及反思

平面向量基本定理

一、教学目标确立依据：

（一）    课程标准要求及解读

1、课程标准要求：

（1）了解平面向量基本定理及意义；

（2）会利用向量基本定理解决简单问题；

（3）掌握线段中点的向量表达式；

2、课程标准解读：

   课程标准对平面向量基本定理的要求可以分为三个层次，一是要求学生参与并探讨平面向量基本定理的形成过程，了解平面向量基本定理中“不共线”、“任一”、“存在”、“唯一”等词语的意义；二是对于基底这一概念的理解与应用，既要学会如何判断两个向量是否可以做基底，又要学会如何利用基底表示平面内任意向量的方法；三是对于一些常用结论，直线参数方程式和线段中点的向量表达式，在以后的做题中都会长用到，要求学生掌握。简单理解本节课分为两个层次：一、概念定理理解层面：（1）记忆概念：基底，（2）了解定理：平面向量基本定理；二、概念定理应用层面：（1）会用基底表示向量，（2）记忆直线参数方程式和线段中点的向量表达式。

（二）    教材分析：

1、地位及作用：

本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第2节向量的分解与向量的坐标运算的第一课时，本课时的内容为“平面向量基本定理”。平面向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是学生后继学习向量坐标表示及选修2-1中空间向量基本定理的基础。

平面向量基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平面推广的结果。掌握定理是本节课的重点之一，对于定理的证明教科书作为选学内容出现，意图在于降低要求.但证明存在性、惟一性的方法则可通过几何画板介绍给学生。

平面向量基本定理的简单应用，是本节课的另一个重点，一方面学生会把空间的任意向量用基底唯一表示，它表明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，显然这一知识不仅渗透了基本量的思想、数形结合的思想，也体现了化归思想的应用。另一方面通过例2证明的直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式，在后面的学习中经常用到，也是学生应该掌握的内容。重点与难点

基于以上分析，根据本节教材特点及学生的认知结构确定本节课的教学重点、难点为：

重点：（1）掌握判断基底的方法和用基底表示向量的方法；

（2）掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式；

难点：平面向量的基本定理的理解；

（三）学情分析：

（1）本节课的授课对象是高一学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（2）学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几何表示及几何运算有了初步的认知。同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。

（3）学生有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.

（4）由于对向量知识接触不多，学生的学习不可避免地缺乏对知识系统性、整体性和思想性的认识，教学中教师有必要站在这一高度组织教学，让学生对知识的发生、发展及相互的联系有一定的认识。

二、教学目标

A、知识目标：

（1）了解平面向量基本定理及其意义，使学生知道平面向量既可以合成（加法法则）也可以分解（基本定理）；

（2）培养学生判断基底的方法和用基底表示向量的方法，为下一步学习平面向量的坐标运算作准备；

（3）掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式；

B、能力目标：

(1)通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法；

 (2)通过本节学习，体验用基底表示平面内任意向量的方法；

C、情感目标：

通过“平面向量基本定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，培养学生化归、特殊到一般的思维习惯。

三、评价设计

目标1评价：引导学生通过平面向量平行定理中的思想和物理中力和速度的分解提出问题，让学生亲自动手，用平面内不共线的两个向量来表示任意向量，在学生的动手操作中，让学生平面内任意向量可以由两个不共线向量表示有个初步的感性认识，再通过几何画板的演示，对于定理的给出提供技术保障，学生接受起来也比较容易。

目标2评价：通过5个基底概念小题，以小组合作的方式，让学生对于全新的概念“基底”有了充分的认识和理解，并且学会如何判断两个向量是否可以做基底的方法。

目标3评价：通过教师引导学生如何利用基底表示向量，再通过学生自主模仿练习，让学生对于如何利用基底表示向量有了一定的认知，再通过巩固练习进一步强化学生用基底表示向量的方法；为了分解难度，教师把课本例2分解成两个小题，与学生一起运算，总结得出直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式。

四、教学方法

为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“观察---尝试---收获”课堂教学模式，引领学生运用“从特殊到一般”、“从抽象到具体”的学习方法。通过问题引领激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。

2．教学手段的利用：多媒体课件，电子白板，实物投影仪，几何画板；

五、教学流程设计

（一）复习回顾，情景引入：

（一）复习回顾：

1、向量加法法则：__________________________________

2、向量减法法则：_________________________________

3、平行向量基本定理：______________________________

（二）情景引入：

情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；

情景2：斜坡上物体所受的重力G，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；

【设计意图】知识的复习回顾不但巩固了上几节课所学，也给学生留下了思维空间，为本节课知识的学习和应用做好充分的铺垫，本环节，以两种方式引入，（一）通过复习的平行向量基本定理，我们知道可以用表示任意和共线的向量，那么再随便画一个方向的向量，你还可以用表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。

（二）引导探究，发现规律

探究一：任意一个向量是否可以用不共线向量 表示 ？  

【设计意图】通过探究一的讲解和学生的亲自练习，因为学生前面已经学习了向量加减法作为基础，对于该问题能够比较容易入手，只是在平移中，当长度不够或长度过长时，是否会结合上平行向量基本定理进行改变应该会成为学生的一个突破点，老师可以适时点拨，通过本环节的设计让学生借助已经学过的知识体系，很轻松的过度到新知识中来。

【学生活动设计】让学生亲自在学生上动手画图，如何用两个不共线的向量来表示任意向量。

【教师活动设计】提出问题，让学生自己动手参与探索，在学生遇到问题时，教师可以适时给予点拨引导。

探究二：对于不同的向量是否可以用不共线向量表示？不同的向量系数是否是唯一确定的？

【设计意图】通过几何画板的动态演示，把不好理解的难点攻克，让学生在动态中感受，任意向量都可以用不共线向量表示，而且对于任意给定的向量，都是唯一确定的，这样的设计让学生比较轻松的理解定理中难以理解的点。

【学生活动设计】思考问题，观看几何画板的动态演示，在观察中总结规律，或的知识。

【教师活动设计】提出问题，引领学生思考，当学生思考陷入困境时，用几何画板动态演示，帮助学生攻克难点。引导总结出平面向量基本定理：

如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ,使

探究三：小组讨论下列问题，然后交流分享成果。

1、    任意两个向量都可以作为基底？

2、    一个平面内有多少对基底？

3、当基底选取不同，则表示同一向量的实数是否相同？你能举例说明吗？

4、能作为基底中的向量吗？

5、已知基底，那和能作为基底吗？和 能作为基底吗？

【设计意图】学生对于平面向量基本定理有了初步的认识和理解，但是对于新介入的概念“基底”，还没有从本质上真正理解与认识，所以特意设计此环节，让学生通过这组概念的探讨，在切磋和磨合中真正理解“基底”的本质就是不共线，那么如何判断两个向量是不是基底？是否能够很好的利用上节课学习的判断共线的方法来解决，觉得学生的转化思维上应该需要提高。

【学生活动设计】四个人为一组，在小组长的带领下积极的参与讨论，发表自己的观点，听取别人的观点，在交流中学到新的知识和应用。

【教师活动设计】提出问题，激发学生讨论，在巡视中观察学生是否能够很好的得到答案，必要时可以给予点拨，最后让小组长积极交流自己小组的讨论结果。

（三）小试牛刀，初步应用

例1：如图：平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于一点M ，

（1）试用基底 表示 ， 。

（2）在图中任取一组基底表示其他向量。（要求小组内相互出题）

               D                   C

                    M

          A                B     

练习：已知平行四边形的两条对角线相交于M，若试用基底表示

【设计意图】通过例1（1）的讲解，使学生初步掌握能够在具体问题中用基底来表示其他向量，上题中的的表示可以寻求不同的途径，通过不同的途径最终都可以用表示，而且前的系数相同，再一次体现定理中的实数的唯一性。通过例1（2）的设计，让学生进一步感受平面内的任意不共线的向量都可以做基底，任意向量都可以用它唯一表示，给学生自由的学习空间，帮助理解定理。练习的设计为了进一步巩固基底表示向量，同时难度有一点提升，让学生活学活用基底表示向量的方法。

【学生活动设计】认真听教师如何利用基底来表示的两种不同思路，根据教师的讲解选择其中一种方法完成的表示工作，并且在练习中自由发挥，让学生思维得到最大的释放，养成不要思维定式的思考问题和解决问题的好习惯。

【教师活动设计】利用“闭口”向量和“小放大”向量两种思路来思考问题，让学生学无定法，贵在得法中更好的体验基底表示的方法不拘泥，但是灵活转化很重要。

例2：（1）如图，，不共线，用表示.

 （2）设,不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.

【设计意图】例2是本节的重点和难点之一，为了克服难点，我把课本中的例2分解成学案中的两个习题，让学生在本节课中能够在学习抽象的新知识下，更好的解决问题，攻克难点，达到事半功倍的效果。

【学生活动设计】例2（1）学生利用例1的方法自己尝试表示，遇到困难教师点拨，例2（2）由教师讲解，学生参与理解教师总结结论。

【教师活动设计】点拨例2（1），讲解例2（2）总结得出直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式，为以后应用打下良好的基础。

（四）知识方法，完美小结

你本节课都学到了哪些知识？用到了哪些方法？

【设计意图】课堂小结采用学生发言与教师总结相结合的办法，学生的发言能使学生通过课堂的学习感悟到知识中蕴含的思想方法，使学生养成归纳总结的习惯，不断提高他们的反思和建构能力，教师的总结完善知识体系。

（五）当堂检测，教师寄语

1、当堂检测：

（1）．已知是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是(　　)

A．和   B．和 C．和    D．和

（2）．若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且＝，＝，则等于(　　)

A．        B．    C．  D．

2、教师寄语：

希望大家以数学为“基底”，

在平面的人生舞台上，

绘就多彩的人生蓝图。

【设计意图】当堂检测的环节主要是是为了评价本节课的教学效果，检验教学目标的达成情况。教师可根据学生反馈的具体情况做进适当的评价，以达到巩固与提高的目的。而习题的类型包括概念性及应用性，这样可以促使学生深入理解平面向量基本定理的内涵，为下一节课学习向量坐标打下坚实的基础。教师给学生寄语，是希望学生能够利用所学更好的解决实际问题。数学来源于生活，更要服务于生活。

（六）板书设计：

【设计意图】板书的设计让学生对本节课的教学重点一目了然，再现教学情景，以提高学生的记忆效率，从而更好的达到本节课的教学目标。