初中数学第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质课时训练

26.1.2 反比例函数的图象和性质

一、单选题

1．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是．

把代入得，，则，即的横坐标是；

同理可得：的横坐标是：．

则．

则．

故选：D．

2．若双曲线y＝的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　）

A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k＜1

【答案】B

【解析】

若双曲线y＝的图象的一支位于第三象限，

，

解得．

故选B

3．在同一坐标系中，函数和的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

解：A、由函数的图象可知k＞0与的图象k＞0一致，的图象交y轴于正半轴，故此选项正确；
B、因为的图象交y轴于正半轴，故此选项错误；
C、因为的图象交y轴于正半轴，故此选项错误；
D、由函数的图象可知k＞0与的图象k＜0矛盾，故此选项错误．
故选：A．

4．已知反比例函数，若在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

反比例函数在每个象限内y都随x的增大而增大，

k-1<0，

k <1，

故选：B．

5．已知反比例函数的图象如图所示，那么二次函数的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

解： 反比例函数的图象在二四象限，

而二次函数，

抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，

而抛物线的对称轴为：

所以抛物线的对称轴在轴的左侧，

故ABC不符合题意，D符合题意；

故选D

二、填空题

6．已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为______．

【答案】或

【解析】

解：∵正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，

∴，

∴，

∴反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，

由反比例函数的对称性可知，一次函数与反比例函数的另一个交点为（-3，1），

∴两者的函数图像如下所示，

∵关于的不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数上图上方的x的取值，

∴由函数图像可知当或时一次函数图像在反比例函数上图上方，

∴关于的不等式的解集为或，

故答案为：或．

7．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，ABx轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AB=2OD，则k的值为___________ ．

【答案】18

【解析】

解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，

∵AB∥x轴，

∴AF⊥y轴，

∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，

∴AF=OD，BF=OE，

∴AB=DE，

∵点A在双曲线上，

∴S矩形AFOD=6，

同理S矩形OEBF=k，

∵AB=2OD，

∴DE=2OD，

∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=18，

∴k=18．

故答案是：18.

8．如图，线段AB是直线的一部分，其中点A在y轴上，点B横坐标为2，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线，则点C的坐标_________；点P（2019，m）与Q（2025，n）均为在该波浪线上，则m+n=__________．

【答案】(6，1)    4   

【解析】

点B横坐标为2，线段AB是直线的一部分，

将代入，解得

即

曲线BC是双曲线的一部分

即

点的横坐标为

，可知点落在A-B-C的正中间部分，进而求得纵坐标，根据，可知点落在下一个循环的A-B-C的正中间部分，纵坐标和的纵坐标一致，即，

代入解得

即

故答案为：，

9．如图，菱形的顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A，若菱形的面积为6，则k的值为_______．

【答案】3

【解析】

解：连接AC交OB于点D，设A（x，y）

∵四边形是菱形，

∴AC⊥OB，AD=CD，OD=BD，

∵菱形的面积==6，

∴，即，

∵反比例函数的图象经过菱形的顶点A，

∴k=，

故答案为：3．

10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为________．

【答案】

【解析】

解：点、都在反比例函数的图象上，

，即，

四边形为正方形，

，，

，

在和中，

，

；

，

作于点，如图，

，

为等腰直角三角形，

，

设，则，

，

，

在中，，

，即，

，

，

，，

，

为等腰直角三角形，

，

设正方形的边长为，则，，

在中，，

，

解得，（舍去），

，

，

，

点坐标为，，

将点代入反比例函数，得：，

故答案为：．

三、解答题

11．已知一个反比例函数的图象经过点．

（1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？

（2）点，，是否在这个函数的图象上？为什么？

【答案】

解：（1）设函数关系式为，

反比例函数的图象过点，

，

，

这个反比例函数图象分布在第二、四象限；在图象的每一支上，随的增大而增大；

（2）∵可化为

又∵，，，

∴点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式．

【解析】

（1）设函数关系式为，把点代入即可求出解析式，根据反比例函数的性质得出图象分布的象限；根据反比例函数的性质得出增减性；

（2）根据反比例函数的特点可得出，再判断点，点和点是否在反比例函数的图象上．

12．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把如表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；

（3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过）

【答案】

（1）把表格补充完整如下：

（2）函数的图象如图所示：

①该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当x=0时，函数取得最大值6；

③当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小（以上三条性质写出一条即可）；

（3）由图象可知，不等式的解集为：或．

【解析】

（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；

（2）观察图象可到函数的性质；

（3）利用图象即可解决问题．

13．如图，是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P，求它的解析式．

【答案】

解：过点P作PD⊥x轴于点D，

∵△OPQ是边长为2的等边三角形，

∴OD=OQ=×2=1，

在Rt△OPD中，

∵OP=2，OD=1，

∴PD=，

∴P（1，），

设反比例函数为：y=（k≠0），因为反比例函数的图象过点P，所以k=．

所以所求解析式为：y=．

【解析】

过点P作PD⊥x轴于点D，由等边三角形的性质可知OD=OQ=1，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出P点坐标，再利用待定系数法求解即可．

14．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）连接、，求的面积；

（3）请直接写出不等式的解集．

【答案】

解：（1）把点A(2，6)的坐标代入得k=12．

∴反比例函数表达式为，

把点B(a，1)的坐标代入得a=12，

∴B点坐标为(12，1)．
设一次函数的表达式为，把A（2，6）、B（12，1）两点坐标代入得

，

解得，

∴一次函数的表达式为；

（2）设一次函数的图象与x轴相交于C点．
则C点坐标为(14，0)．
∴OC=14．
∵A点坐标为(2，6)，
∴A点到x轴的距离为6．即△AOC的高为6，

∴△AOC的面积为：×14×6=42．

∵B点坐标为(12，1)，
∴B点到x轴的距离为1．即△BOC的高为6．
∴△BOC的面积为：×14×1=7．
∵S△AOB=S△AOC-S△BOC，
∴S△AOB=42-7=35；

（3）由图象得，不等式kx+b＜的解集为0＜x＜2或x＞12，
故答案为0＜x＜2或x＞12．

【解析】

（1）首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得a的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与x轴相交于C点，根据S△AOB=S△AOC-S△BOC求解；
（3）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．

15．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

【答案】

（1）∵A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，

∴即m=-15,

∴反比例函数的解析式为y=，

∴n==3即点A的坐标为（-5，3），

∴，

解得，

∴直线AB的解析式为y=-x-2；

（2）设AB与y轴交点为D，

∵直线AB的解析式为y=-x-2，

∴点D的坐标为（0，-2），

∴DO=2，

∴

=

=，

∵A（﹣5，3），B（3，﹣5），

∴==8；

（3）∵A（﹣5，3），B（3，﹣5），

∴不等式kx+b﹣＜0的解集为x＞3或-5＜x＜0．

【解析】

（1）用点B的坐标先确定反比例函数的解析式，再确定点A的坐标，用待定系数法确定一次函数的解析式；

（2）设AB与y轴交点为D，确定DO的长，利用计算即可；

（3）确定直线AB与双曲线的交点坐标，结合图像写出解集即可．