初中数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数课后练习题

26.2 实际问题与反比例函数

一、单选题

1．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，

∴动力关于动力臂的函数解析式为：，

则，是反比例函数，A选项符合，

故选：A．

2．现有一水塔，水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x(m3)，则要经过y(h)就可以把水放完该函数的图像大致应是下图中的（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】

解：∵水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x（m3），则要经过y（h）就可以把水放完，

∴y=，

∴x与y成反比例，四个选项中只有C是反比例函数的图象．

故选：C．

3．图（1）所示矩形中，，，与满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形的斜边过点，为的中点，则下列结论正确的是（   ） 

A．当时，

B．当时，

C．当增大时，的值增大

D．当增大时，的值不变

【答案】D

【解析】

解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得x=3，y=3，则反比例解析式为y=．
A、当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以CE=BC=3，CF=CD=3，C点与M点重合，则EC=EM，所以A选项错误；
B、当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=，EF=10，EM=5，所以B选项错误；
C、因为EC•CF=x•y=2×xy=18，所以，EC•CF为定值，所以C选项错误；
D、因为BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不变，所以D选项正确．
故选D．

4．如图描述了在一段时间内，小华，小红，小刚和小强四名工人加工零件的合格率与所加工零件的总个数之间的关系（合格个数合格率总个数），则这四名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是（    ）

A．小华 B．小红 C．小刚 D．小强

【答案】C

【解析】

由题意得，加工零件合格的个数，

∴观察图象中四个人对应的点的位置，分别将四个人对应的点与原点连接起来，然后进一步依次作其各自垂直于轴的垂线，据此通过直观观察比较此时四个三角形的面积大小，可以得出小刚的横、纵坐标的乘积最大，即小刚加工零件合格的个数最多，

故选：C．

5．在压力一定的情况下，压强与接触面积（）成反比例，某木块竖直放置与地面的接触面积时，，若把木块横放，其与地面的接触面积为，则它能承受的压强为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：设p= ，
把（0.3，20000）代入得：
F=20000×0.3=6000，
故P=，
当S=2m2时，
P==．
故选C．

二、填空题

6．一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出m3的水，经过h可以把水放完，那么 与的函数关系式是______，自变量的取值范围是______．

【答案】    ＞0   

【解析】

解：根据题意，则

（）；

故答案为：；．

7．如图，点、在反比例函数的图像上，点、在轴上，、均为正三角形，则点 坐标是______.

【答案】

【解析】

作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，

∵△OAB,△BCD均为正三角形,A在反比例函数，
设A的横坐标是−1，
则A的纵坐标是−，
∴OE=1,OA=2OE=2,AE=，
∴易求OE=EB=1，

设BF=m，
则C(−2−m, -m)，
代入得：
m2+2m−1=0，
解得：m=−1±，
∵m>0，
∴m=−1+，
∴点C的坐标为：.

8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在第一象限作正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在双曲线上，则的值是__________．

【答案】

【解析】

作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G.作DF⊥x轴于点F.

在y=−3x+3中,令x=0,解得：y=3,即B的坐标是(0,3).
令y=0,解得：x=1,即A的坐标是(1,0).
则OB=3，OA=1.
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
又∵直角△ABO中,∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，
在△OAB和△FDA中，

∴△OAB≌△FDA(AAS)，
同理,△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，
故D的坐标是(4,1),C的坐标是(3,4).代入y=得：k=4,则函数的解析式是：y=.
∴OE=4，
则C的纵坐标是4,把y=4代入y=得：x=1.即G的坐标是(1,4)，
∴CG=2.
故答案为：2.

9．如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：

猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为__．

【答案】y＝

【解析】

解：由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知xy=k，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，

∴设（k≠0），

把x＝10，y＝30代入得：k＝300

∴，

将其余各点代入验证均适合，

∴y与x的函数关系式为：.

故答案为：.

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限．

（1）点C与原点O的最短距离是________；

（2）没点C的坐标为（，点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y关于x的函数关系式为________．

【答案】       

【解析】

解：（1）连接OC，过点A作AD⊥y轴，如图，

 ，
∵A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，延长AO交另一分支于点B，

∴OA=OB，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴OC=OA=OB，

∴当OA的长最短时，OC的长为点C与原点O的最短距离，

设A（m，），

∴AD=m，OD=，

∴OA===，

∵，

∴当时，OA=为最小值，

∴点C与原点O的最短距离为.

故答案为；

（2）过点C作x轴的垂线，垂足为E，如上图，

∴∠ADO=∠CEO=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴OC=OA=OB，OC⊥AB，

∴∠COE+∠AOE=90°，

∵∠AOD+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠COE，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴AD=CE，OD=OE，

∵点C的坐标为(x，y)(x＞0)，

∴OE=x，CE=-y，

∴OD=x，AD=-y，

∴点A的坐标为（-y，x），

∵A是双曲线第一象限的一点，

∴，即，

∴y关于x的函数关系式为（x>0）.

故答案为（x>0）.

三、解答题

11．一个用电器的电阻是可调节的，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．

（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？

（2）这个用电器功率的范围是多少？

【答案】

解:（1）根据电学知识，当时，得

．①

（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．

把电阻的最小值代入①式，得到功率的最大值

；

把电阻的最大值代入①式，得到功率的最小值

．

因此用电器功率的范围为．

【解析】

（1）根据电学知识：代入即可得出答案；

（2）根据反比例函数的性质知，，在第一象限随的增大而减小，故把电阻代入（1）所求得的式子中，即可求出功率P的最大值，把电阻代入即可求出功率P的最小值．

12．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

（1）求与（）的函数表达式；

（2）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？

【答案】

解：（1）当时，设

把代入得：

所以：

（2）当时，

经检验：是原方程的解，且符合题意，

所以恒温系统最多可以关闭小时，才能使蔬菜避免受到伤害.

【解析】

（1）当时，设 把代入从而可得答案；

（2）先求解时，对应的反比例函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案.

13．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和．

（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？

（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？

【答案】

解：（1）根据“杠杆原理”，得，

所以F关于l的函数解析式为：，

当时，，

对于函数，当时，，此时杠杆平衡，

因此，撬动石头至少需要的力；

（2）当时，

由得，，

，

对于函数，当时，l越大，F越小，

因此，若想用力不超过的一半，则动力臂至少要加长．

【解析】

（1）根据“杠杆原理”，得，即可得F关于l的函数解析式为：，当时代入即可得；

（2）对于函数，F随l的增大而减小，因此，只要求出时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．

14．某电商店铺为促销一件标价59元的商品A，制定了以下促销方案：在指定日期购买商品A（限购8件），除包邮外，享受每满240元（标价）减40元，但在收货之前不能退换，小华正好需要该商品，于是计划等到优惠日期进行购买．

（1）请求出小华每件商品实付款的均价与购买商品A的件数的关系；

（2）小华对该商品的实际需求为4件，为了追求最大优惠，小华考虑以下两种方案：

方案一：直接按店铺优惠活动进行购买，不退货；

方案二：凑单享受满减，即购买恰好享受下一级满减活动的件数，然后将超过自己需要的部分商品以实付款均价退回，但需要自行承担退货的运费（运费规则：首件10元，每多一件加4元）．

若以小华的实际支出均价（实际支出均价＝）为依据，请你为小华选择一个优惠的购买方案．

【答案】

解：（1）设每件商品实付款的均价为y元，购买商品A的件数为x件，

当0＜x≤4时，y＝59，

当4＜x≤8时，y＝，

综上，y＝；

（2）方案一：x＝5，y＝59﹣，

方案二：x＝5（买5件退一件），

y＝

∴小华选择方案二购买．

【解析】

（1）设每件商品实付款的均价为元，购买商品A的件数为x件，根据x的条件得出y得值即可；

（2）x＝5，分类讨论即可；

15．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图象上．连结，作轴于点．

（1）直接写出的值；

（2）将沿轴向上平移个单位长度，得到，的对应边是．当的中点在反比例函数的图象上时，求的值．

【答案】

（1）．

（2）设的中点为，作轴于点．

∵由向上平移个单位长度得到，，

∴，，

∴设

∵在反比例函数的图象上，

∴代入函数表达式为：，

∴．

【解析】

（1）根据反比例函数表达式知，结合点即可得到结果，
（2）根据反比例函数表达式设出平移后的中点坐标，代入函数式求解即可．