人教版九年级下册28.1 锐角三角函数同步训练题

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28.1 锐角三角函数 一、单选题1．如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】 解：∵每格小正方形的边长都是1，∴AB＝2，AC＝， BC＝，则AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ACB＝＝2，故选：C． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则tanB＝（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】 解：由题意得，在Rt△ABC中，∠C＝90°，故选：D． 3．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（    ）A． B．3 C．1 D．【答案】B【解析】 解：∵AC＝，AB＝，BC＝，∴AC2＝2，AB2＝20，BC2＝18，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝，故选：B． 4．如图，将放在正方形网格中，则的值为（    ） A． B． C．2 D．【答案】A【解析】  解：如图所示，在直角三角形OBE中，OE=2，BE=4，∠OEB=90°，∴，∴，故选A． 5．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　）A．3 B．2 C．4 D．3【答案】B【解析】 解：在与中，，∴≅，∴，∴，∴，作的外接圆，则点F的运动轨迹为以O为圆心，OB为半径的圆，如图所示，连接OB、OC，交劣弧于点F’，当点F与点F’重合时，CF的长度最小，由切线定理可得：BC与相切于点B,∴，，在中，，∴，∴，∴CF的最小值为，故选：B． 二、填空题6．已知在直角三角形中，为直角，，，则___．【答案】【解析】 解：∵为直角，，，∴，解得，∴．故答案为：． 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为__________．【答案】【解析】 解：在中，∵，∴，∴，如解图，过点A作于点H，∴，∴，∴，∴在中，，∴，又∵，∴在中，，∴，故答案为：． 8．计算：=_________．【答案】【解析】 解：原式===
 故答案为 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABO的顶点A、点B、点O均落在格点上，则∠AOB的正弦值为______．【答案】【解析】 解：过A作AE⊥OB于E，如图所示：由勾股定理可得：OB＝＝，∵△ABO的面积＝×3×2＝AE•OB，∴AE＝＝＝，由勾股定理可得：OA＝＝2，∴∠AOB的正弦值＝＝＝，故答案为：． 10．如图，在矩形中， 是边的中点，于点，连接，解析下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有__．【答案】①③⑤【解析】 解：在矩形中，AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，∴∠EAF+∠BAC=90°，∵，∴∠AFE=∠ABC=90°，∴∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAC=∠AEF，∴，故①正确；∵AD∥BC，∴ ，∴ ，∵是边的中点，∴ ，∴，∴ ，故②错误；如图，过点D作DM∥BE交AC于点N，∵AD∥BC， ∴AE∥BM，∵DM∥BE，∴四边形BEDM为平行四边形，∴ ，∴BM=CM，∵MN∥BF，∴ ，∴CN=FN，∵，∴DN⊥AC，∴DF=DC，故③正确；∵∠BAF+∠CAD=90°，∠BAF+∠ABE=90°，∴∠CAD=∠ABE，∵∠BAE=∠AFB=90°，∴，∴ ，即 ，∴ ，即，故④错误；∵，∴ ，∴ ， ，∵ ，∴ ，∵，∴，故⑤正确．故答案为：①③⑤． 三、解答题11．计算： 【答案】解：【解析】先分别求解的值，再代入计算即可.12．计算： 【答案】解：．【解析】本题主要考查了负整数次幂、绝对值以及特殊角的三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．13．计算：（1）解方程：2x2﹣4x﹣5＝0；（2）2cos245°+tan60°•tan30°﹣sin260°． 【答案】解：（1）2x2-4x-5=0，整理得：2x2-4x=5，x2-2x=，配方得：x2-2x+1=+1，即（x-1）2=，∴x-1=±，∴x1=，x2=；（2）2cos245°+tan60°•tan30°﹣sin260°．【解析】（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）将特殊锐角的三角函数值代入，再计算可得．14．如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，tan∠ABC＝3，BF⊥AC，垂足为F．点D是边AB上一点（不与A，B重合）．（1）求边BC的长；（2）如图2，联结DF，DF恰好经过△ABC的重心，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q．联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．
  【答案】解（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，∴∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，∴BC＝2BH，在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝3，∴AH＝3BH，根据勾股定理得，AH2＋BH2＝AB2，∴（3BH）2＋BH2＝（5）2，∴BH＝5，∴BC＝2BH＝10；（2）∵BC＝10，tan∠ABC＝3，∴CF＝，BF＝3，如图2，作BN⊥BC，CM⊥BC，∵G为重心，∴AG＝10，GH＝5，∵AH⊥BC，CM⊥BC∴，∴∠ACM=∠CAG，∠GMC=∠AGM∴△CMF∽△AGF则＝，∴CM＝AG＝，∵AH⊥BC，CM⊥BC，BN⊥BC∴∴ ∴G为MN中点∴HG为梯形CMNB的中位线，∴BN＝2GH﹣CM＝，∵，∴∠DAG=∠NBD,∠AGD=∠BND∴△ADG∽△BDN∴，∴AD＝AB＝；（3）∵BF⊥AC，DE⊥BC，∴∠BFC＝∠DEB＝90°，∴∠BQE＝∠ACB（同角的余角相等）∵∠BQE＝∠DQF，∴∠DQF＝∠ACB∵△DQF和△ABC相似，∴或，∵tan∠BQE＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝3，∴，设QE＝x，BE＝3x，则DE＝9x，∴BQ＝，BD＝，DQ＝8x，∵BF＝3CF＝，∴QF＝，（ⅰ）当时，则，，解得x＝，∴BD＝＝，（ⅱ）当时，则，，解得x，∴BD＝，综上所述，BD＝或BD＝．【解析】（1）先利用等腰三角形的性质判断出BC＝2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论；（2）作BN⊥BC，CM⊥BC，根据梯形中位线和平行线分线段成比例解答即可；（3）分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点．（1）如图1，当PC⊥BD时，求tan∠POD；（2）如图2，连接CP交对角线BD于点E，作线段CP的中垂线MN分别交线段DC，DB，CP，AB于点N，G，F，M，当DP＝DE时，求；（3）如图2，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，若△PDF为直角三角形，求DP的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，AD//BC 由勾股定理得， ∴ ∵ ∴ ∴ 在Rt△CDE中， ∴ ∴ ∵AD//BC∴∴ 即 ∴ ∴ （2）∵DP=DE∴ ∵AD//BC∴ 又 ∴ ∴∴ 在Rt△CDP中， ∴∵PD//BC∴∴，即 ∴， ∵MN垂直平分CP∴ ∴ ∴ （3）如图1，当∠时，过点O作于H，∵四边形ABCD是矩形∴，∠，∴∴∴∵以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，∴∠又∴∠∴∴当∠时， ∵∴∵四边形ABCD是矩形∴∴∠∵将折叠，点A的对应点为点F，线段PE与OD相交于点F∴，∠又∠∴△∴，即∴∴∵∠，∠∴△∴，即∴综上，或1【解析】（1）根据勾股定理求出BD=10，根据矩形的性质得OD=5，利用等积关系求出CE=，再利用勾股定理求出，得出，最后证明，可求出PE的长即可得出结论；（2）证明BE=BC=8，得DP=DE=2，再依据相似三角形的性质得，再由线段垂直平分线得EF=FC，从而可得结论；（3）分情况讨论：当∠时，过点O作于H，由相似三角形的性质与折叠的性质结合可求出PD的长；当∠时，由勾股定理和矩形的性质证明△得求出OF的长，再证明△得可求得PD的长