粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二节 简谐运动的描述导学案及答案

简谐运动的描述

1．知道简谐运动的数学表达式，会通过简谐运动的表达式确定振幅、周期、频率等物理量。

2．了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义。

3．会根据图像分析各物理量的变化。

知识点一　简谐运动的函数描述

[知识梳理]

1．振动曲线

振子振动时位移与时间关系的曲线。

2．简谐运动的函数表达式：x＝A cos(ωt＋φ)。

3．角频率与周期或频率的关系：ω＝＝2πf。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)物体做简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关。 (×)

(2)x＝Asin ωt中的A为振幅，是矢量。 (×)

(3)简谐运动的位移表达式x＝Acos ωt中，ω是简谐运动的角频率。(√)

(4)若简谐运动的表达式为x＝5 coscm，则振动周期为0.25 s。(√)

知识点二　简谐运动的图像描述

[知识梳理]

1．相位：简谐运动表达式x＝Acos (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，是一个相对概念，与所选取的时间零点有关。

2．初相位：t＝0时刻的相位φ叫作初相位，简称初相。

3．相位差：两个振子相位的差值叫相位差，是个绝对概念，表示两个频率相同简谐运动的振动先后关系，即Δφ＝φ1－φ2。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线。(√)

(2)利用简谐运动的图像可知道其振动周期和振幅。(√)

(3)相位反映了振动物体的振动步调。(√)

(4)两个振动物体的相位相同，则其振动步调相反。(×)

2．(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3cosm，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5cosm。比较A、B的运动可知(　　)

A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m

B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A的相位始终超前B的相位

解析：选CD　振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，A错误；A、B的周期均为T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φA－φB＝，为定值，D正确。

1．图像的意义

图像反映了做简谐运动的质点位移随时间变化的规律，并不表示质点运动的轨迹。如弹簧振子运动的轨迹为直线，但其x­t图像是一条正弦(或余弦)曲线。

2．由图像可以得出的量

简谐运动的图像如图所示，由此可以得出：

(1)由图像可以直接读取振幅A。

(2)由图像可以直接读取周期T，进而求出频率f。

(3)由图像可知质点在不同时刻的位移。

(4)x­t图像上某一点的斜率表示该时刻的速度，斜率的绝对值为速度的大小，斜率的正负为速度的方向。所以，图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小，t1时刻速度方向为负，t2时刻速度方向也为负。

(5)从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差。

(6)由图像可以比较不同时刻质点加速度的大小和方向。例如，图中t1时刻振动的位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|。

[例题1]　(多选)一质点做简谐运动，其相对于平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图所示，由此可知(　　)

A．质点振动的振幅是2 cm

B．质点振动的频率是4 Hz

C．t＝2 s时质点的速度最大，且方向为负

D．t＝5 s时质点的加速度为零

[解析]　由题图可知，振幅A＝2 cm，周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，A正确，B错误；t＝2 s时质点在平衡位置，速度最大，t＝3 s时质点到达负方向最大位移处，可判断t＝2 s时质点在沿负方向运动，C正确；t＝5 s时质点在最高点，离平衡位置最远，加速度最大，D错误。

[答案]　AC

简谐运动图像的应用技巧

(1)判断质点在任意时刻的位移大小和方向：质点在任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置的距离大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小。方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断。

(2)判断质点在任意时刻的加速度大小和方向：由于加速度的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可。

(3)判断质点在任意时刻的速度大小和方向：x­t图像上该时刻图线切线的斜率表示此时的速度。斜率的绝对值为速度的大小，斜率的正负为速度的方向。　　　　

[针对训练]

1.一质点做简谐运动，其位移—时间图像如图所示，由图像可知(　　)

A．t＝1 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零

B．t＝2 s时，质点速度为零，加速度为负的最大值

C．t＝3 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零

D．t＝4 s时，质点速度为零，加速度为正的最大值

解析：选C　t＝1 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为负，即速度为负，选项A错误；t＝2 s时，位移为负的最大值，加速度为正的最大值，速度为零，选项B错误；t＝3 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为正，即速度为正，选项C正确；t＝4 s时，质点位移为正的最大值，加速度为负的最大值，速度为零，选项D错误。

2．(2020·天津和平区期末)一质点做简谐运动，其振动图像如图所示，在0.3～0.4 s的时间内质点的运动情况是(　　)

A．沿x轴负方向运动，位移不断增大

B．沿x轴正方向运动，速度不断减小

C．动能不断增大，系统的势能不断减小

D．动能不断减小，加速度不断减小

解析：选B　由题图可知，在0.3～0.4 s时间内，质点正在由平衡位置向正向最大位移处运动，所以速度方向沿正方向，速度不断减小，动能减小，系统的势能在增大，由于位移增大，所以回复力增大，加速度也增大，故选项B正确。

1．简谐运动的表达式x＝Acos(ωt＋φ0)中各物理量的意义

(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。

(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。

(3)ω：表示角频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf。可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。

(4)ωt＋φ0：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。

(5)φ0：表示t＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。

2．相位差的含义

(1)相位差：某一时刻的相位之差。

(2)设A、B两物体简谐运动的表达式分别为：

x1＝A1cos(ωt＋φ1)，x2＝A2cos(ωt＋φ2)

①它们的相位差为Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。

可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。

②若Δφ＝φ2－φ1＞0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ＝φ2－φ1＜0，则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|。

[例题2]　一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像。

[解析]　简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，

所以x＝8sin(πt＋φ)cm，

将t＝0、x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，

解得初相位φ＝或φ＝π，

因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π，

所求的振动方程为x＝8sincm，

对应的振动图像如图所示。

[答案]　x＝8sincm　振动图像见解析图

[针对训练]

1．(多选)某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3coscm，则(　　)

A．质点的振幅为3 cm

B．质点振动的周期为3 s

C．质点振动的周期为 s

D．t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置

解析：选AB　由x＝3coscm可知，A＝3 cm，ω＝，T＝＝3 s，故A、B正确，C错误；将t＝0.75 s代入表达式中可得x＝1 cm，故t＝0.75 s时，质点不在平衡位置，D错误。

2．A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。请根据图像完成下列问题：

(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________cm，周期是________s。

(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式为________。(用正弦函数表示)

解析：(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。

(2)由题图知：A中振动的质点已振动了周期，φ＝π，由T＝0.4 s，得ω＝＝5π，则简谐运动的表达式为xA＝0.5 sin(5πt＋π)cm。B中振动的质点在0时刻从平衡位置沿x轴正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s，得ω＝＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm。

答案：(1)0.5　0.4　0.2　0.8

(2)xA＝0.5sin(5πt＋π)cm　xB＝0.2sincm

1．周期性造成的多解问题：简谐运动是一种周期性的运动，其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化。因此，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。

2．对称性造成的多解问题：由于简谐运动具有对称性，当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。

[例题3]　(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O点时开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　)

A． s　　　　　 B． s

C．1.4 s D．1.6 s

[解析]　假设弹簧振子在水平方向BC之间振动，如图1，若振子开始先向左振动，振子的振动周期为T＝×4 s＝ s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s。如图2，若振子开始先向右振动，振子的振动周期为T＝4×s＝1.6 s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s。A、C正确。

[答案]　AC

求解这类问题，要认真分析题意，画出振子运动的过程示意图，防止漏解，也可画出振子的x­t图像，根据图像分析求解。　　　　

[针对训练]

　(多选)(2020·河南鹤壁市淇县一中高二月考)在水平方向上振动的弹簧振子做简谐运动的周期为T，则(　　)

A．若在时间Δt内，弹力对振子做的功为零，则Δt一定是的整数倍

B．若在时间Δt内，弹力对振子做的功为零，则Δt可能小于

C．若在时间Δt内，弹簧振子的速度变化量为零，则Δt一定是T的整数倍

D．若在时间Δt内，弹簧振子的速度变化量为零，则Δt可能小于

解析：选BD　若在时间Δt内，弹簧的弹力对振子做的功为0，两个时刻振子可能经过同一位置，也可能经过关于平衡位置对称的位置，所以Δt不一定是的整数倍，也可能小于，故A错误，B正确；若在时间Δt内，要使振子在两个时刻速度相等，则Δt可能是T的整数倍，也可能振子经过关于平衡位置对称的位置，即可能小于，故C错误，D正确。

1．某振子做简谐振动的图像如图所示，以下说法中正确的是(　　)

A．因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹

B．由图像可以直观地看出周期、振幅

C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度

D．振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向

解析：选B　振动图像反映了振子位移随时间的变化情况，并不是振子的运动轨迹，所以不能说振子运动到B点时的速度方向为该点的切线方向，而是沿x轴负方向，A、D错误；由题图读出振幅A＝4 cm，周期T＝0.2 s，B正确；振子的位移等于图像的纵坐标，不是曲线的长度，C错误。

2．关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是(　　)

A．振幅等于四分之一个周期内路程的大小

B．周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间

C．一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍

D．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次

解析：选D　由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内走过的路程不一定为振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz时，1 s内速度方向改变100次，D正确。

3．(多选)(2020·海南省新高考检测)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sincm。下列说法正确的是(　　)

A．MN间距离为5 cm

B．振子的运动周期是0.2 s

C．t＝0时，振子位于N点

D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度

解析：选BC　MN间距离为2A＝10 cm，选项A错误；由ω＝10π rad/s可知，振子的运动周期T＝＝ s＝0.2 s，选项B正确；由x＝5sincm可知t＝0

时，x＝5 cm，即振子位于N点，选项C正确；由x＝5sincm可知t＝0.05 s时，x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，选项D错误。

4．假期出游已经成为一种时尚。如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是(　　)

A．0.5 s　　　　　　　　　 B．0.75 s

C．1.0 s D．1.5 s

解析：选C　由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sint cm＝20sint cm，画出y­t图像，如图所示，能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，正确答案为C。

5．一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1＝5sincm的规律振动。

(1)求该系统振动的周期、频率、振幅和初相。

(2)另一简谐运动的表达式为x2＝5sincm，求它们的相位差。

解析：(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝ s，则f＝＝4 Hz。由表达式可直接读出A＝5 cm，φ1＝。

(2)由Δφ＝φ2－φ1得Δφ＝π－＝π。

答案：(1) s　4 Hz　5 cm　　(2)π