江苏省盐城市射阳县三中、六中2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份江苏省盐城市射阳县三中、六中2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上）
1．（3分）下列式子中，属于分式的是（ ）
A．B．2xC．D．
2．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．水涨船高
3．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）为了解某校八年级900名学生每天做家庭作业所用的时间，随机抽取其中120名学生进行抽样调查．下列说法正确的是（ ）
A．该校八年级全体学生是总体
B．从中抽取的120名学生是个体
C．每个八年级学生是总体的一个样本
D．样本容量是120
5．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm
6．（3分）若分式的值为0，则x为（ ）
A．﹣1B．2或﹣1C．1D．2
7．（3分）下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
8．（3分）如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝6，AD＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
A．B．C．8D．7
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上）
9．（3分）在整数20220420中，数字“0”出现的频率是 ．
10．（3分）调查一批电视机的使用寿命，适合采用的调查方式是 ．（填“普查”或“抽样调查”）
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AC＝AD，∠D＝72°，BE⊥AC，垂足为E，则∠ABE＝ ．
12．（3分）当a＝2022时，分式的值为 ．
13．（3分）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝70°，则∠2的度数是 ．
14．（3分）若关于x的方程+＝3的解为正数，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝5，BC＝3，则DE的长为 ．
16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB＝4，AD＝2，△ADE为等边三角形，点F是直线ED上一点，连接OF，则线段OF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：＝
18．（6分）先化简：，然后从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你认为合适的整数，作为x的值代入求值．
19．（6分）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，估计袋中红球的个数．
20．（6分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
21．（6分）如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．
求证：（1）∠BDF＝∠BAC；
（2）DF＝EH．
22．（6分）如果记f（x）＝，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝，f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝．
（1）f（6）＝ ；f（）＝ ；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝ ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
23．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
24．（6分）在不平凡的2020年新冠疫情期间，甲乙两所学校进行了抗疫捐款活动，其中甲学校共捐款18000元，乙学校共捐款20000元，已知乙学校平均每人捐款比甲学校多20元，且两学校师生人数相等，则乙学校平均每人捐款多少元？
25．（10分）在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB＝90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，
∠GOH＝90°，且EG＝7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB＝90°，若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为2：3，求△ABO的周长．
26．（12分）【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”
【判断尝试】
在①梯形；②矩形；③菱形中，是“对直四边形”的是 ．（填序号）
【操作探究】
在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，请在边AD和CD上各找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长．
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若AB＝3米，AD＝1米，∠C＝45°，∠A＝∠B＝90°．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余求分割后得到的等腰三角形的腰长．
2021-2022学年江苏省盐城市射阳三中、六中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上）
1．（3分）下列式子中，属于分式的是（ ）
A．B．2xC．D．
【考点】分式的定义．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：A、是整式，选项错误；
B、是整式，选项错误；
C、是分式，选项正确；
D、是整式，选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．水涨船高
【考点】随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故A符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故B不符合题意；
C、瓮中捉鳖是必然事件，故C不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形，轴对称图形定义进行逐一判断即可．
【解答】解：下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是A，
因为B是轴对称图形不是中心对称图形，
C不是轴对称图形是中心对称图形，
D是轴对称图形不是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，解决本题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形定义．
4．（3分）为了解某校八年级900名学生每天做家庭作业所用的时间，随机抽取其中120名学生进行抽样调查．下列说法正确的是（ ）
A．该校八年级全体学生是总体
B．从中抽取的120名学生是个体
C．每个八年级学生是总体的一个样本
D．样本容量是120
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、该校八年级全体学生每天做家庭作业所用的时间是总体，故A不符合题意；
B、每个学生每天做家庭作业所用的时间是个体，故B不符合题意；
C、从中抽取的120名学生每天做家庭作业所用的时间是一个样本，故C不符合题意；
D、样本容量是120，故D符合题意；
故选：D．
【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC＝9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【解答】解：∵AC＝4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）＝18cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．
6．（3分）若分式的值为0，则x为（ ）
A．﹣1B．2或﹣1C．1D．2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
【解答】解：分式的值为0，则x﹣2＝0，且x+1≠0，
解得：x＝2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确得出分子为零是解题关键．
7．（3分）下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【分析】根据菱形的判断方法、矩形的判断方法逐项分析即可．
【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两边相等的平行四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，也是矩形，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对菱形、矩形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．
8．（3分）如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝6，AD＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
A．B．C．8D．7
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】设AE＝x，根据勾股定理得到AE，进而得出BE的长，根据EG＝AD，GF的长，运用勾股定理即可得到EF．
【解答】解：连接BE，过E作EG⊥BC于G，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴x2+62＝（8﹣x）2
解得x＝，
∴AE＝，
∴BE＝DE＝8﹣＝，
∵∠DEF＝∠BFE，∠DEF＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BF＝BE＝，
∴GF＝，
∴Rt△EFG中，EF＝＝，
即EF的长为，
故选：B．
【点评】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上）
9．（3分）在整数20220420中，数字“0”出现的频率是 ．
【考点】频数与频率．
【分析】根据频率的计算公式：频率＝频数除以总数进行计算即可．
【解答】解：数字“0”出现的频率是：3÷8＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率的计算方法．
10．（3分）调查一批电视机的使用寿命，适合采用的调查方式是 抽样调查 ．（填“普查”或“抽样调查”）
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：调查一批电视机的使用寿命，调查具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AC＝AD，∠D＝72°，BE⊥AC，垂足为E，则∠ABE＝ 18° ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠D＝72°，由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出∠BAE＝∠ACD＝72°，由直角三角形的性质即可得出∠ABE的度数．
【解答】解：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠D＝72°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠ACD＝72°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝18°；
故答案为：18°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形和等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）当a＝2022时，分式的值为 2024 ．
【考点】分式的值．
【分析】先化简分式，再代入求值即可得出答案．
【解答】解：原式＝
＝a+2，
当a＝2022时，
原式＝2022+2
＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查了分式的值，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
13．（3分）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝70°，则∠2的度数是 40° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠ABD＝180°﹣∠1＝110°，∠DBE＝∠1＝70°，进而得出∠DBF＝∠ABD＝110°，再根据∠2＝∠DBF﹣∠DBE进行计算即可．
【解答】解：如图所示，∵AB∥CD，
∴∠ABD＝180°﹣∠1＝110°，∠DBE＝∠1＝70°，
由折叠可得，∠DBF＝∠ABD＝110°，
∴∠2＝∠DBF﹣∠DBE＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
14．（3分）若关于x的方程+＝3的解为正数，则m的取值范围是 m＜且m ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【分析】根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程+＝3的解为正数和x﹣3≠0可以求得m的取值范围．
【解答】解：+＝3，
方程两边同乘以x﹣3，得
x+m﹣3m＝3（x﹣3）
去括号，得
x+m﹣3m＝3x﹣9
移项及合并同类项，得
2x＝﹣2m+9
系数化为1，得
x＝，
∵关于x的方程+＝3的解为正数且x﹣3≠0，
∴，
解得，m＜且m．
【点评】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
15．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝5，BC＝3，则DE的长为 1 ．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
【分析】延长CD交AB于F，证明△FBD≌△CBD，根据全等三角形的性质得到BF＝BC＝3，CD＝DF，进而求出AF，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长CD交AB于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠CBD，
在△FBD和△CBD中，
，
∴△FBD≌△CBD（ASA），
∴BF＝BC＝3，CD＝DF，
∴AF＝AB﹣BF＝2，
∵CD＝DF，CE＝EA，
∴DE＝AF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB＝4，AD＝2，△ADE为等边三角形，点F是直线ED上一点，连接OF，则线段OF的最小值为 ．
【考点】矩形的性质；垂线段最短；等边三角形的性质．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，确定当OF⊥ED时，线段OF的最小值，先计算EM和OM的长，根据直角三角形30度角的性质可得结论．
【解答】解：连接OE，
当OF⊥ED时，线段OF的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝AC，OD＝BD，
∴OD＝OA，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，∠DEA＝60°，
∴OE是AD的垂直平分线，
∴∠OEF＝30°，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，
∴EM＝＝，OM＝2，
Rt△OEF中，OE＝+2，
∴OF＝OE＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断OF与OE的关系，本题的难点是作辅助线．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：＝
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：8x＝9x﹣9，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（6分）先化简：，然后从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你认为合适的整数，作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【分析】先计算括号内再算除法，然后在﹣2＜x＜3的范围内选取使分式有意义的一个数代入求值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
从﹣2＜x＜3的范围内选取x＝1，
当x＝1时，原式＝﹣1．
【点评】本题主要考查了分式的化简计算，此题在解答过程中注意分式有意义的条件．
19．（6分）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，估计袋中红球的个数．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数．
【解答】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4＝0.6，
∴总的球数为：（7+5）÷0.6＝20，
∴红球有：20﹣（7+5）＝8（个）．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
20．（6分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 50 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 0.32 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 72 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本估计总体．
【分析】（1）根据A组的百分比和频数得出样本容量，并计算出B组的频数补全频数分布直方图即可；
（2）由图表得出C组学生的频率，并计算出D组的圆心角即可；
（3）根据样本估计总体即可．
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%＝50，B组的频数＝50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，
补全频数分布直方图，如图：
（2）C组学生的频率是0.32；D组的圆心角＝；
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8＝18人，
该校初三年级体重超过60kg的学生＝人，
故答案为：（1）50；（2）0.32；72．
【点评】此题考查频数分布直方图，关键是根据频数分布直方图得出信息进行计算．
21．（6分）如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．
求证：（1）∠BDF＝∠BAC；
（2）DF＝EH．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF∥AC，根据平行线的性质证明结论；
（2）根据直角三角形的性质得到EH＝AC，等量代换证明结论．
【解答】证明：（1）∵D、F分别是AB、BC边中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DF＝AC，
∴∠BDF＝∠BAC；
（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，
∴EH＝AC，
∴DF＝EH．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
22．（6分）如果记f（x）＝，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝，f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝．
（1）f（6）＝ ；f（）＝ ；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝ +n ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
【考点】分式的加减法．
【分析】（1）把x＝6和x＝代入f（x）＝中计算即可；
（2）利用f（n）+f（）＝1进行计算．
【解答】解：（1）f（6）＝＝；
f（）＝＝；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f（n+1）+f（）]
＝+1×n
＝+n．
故答案为；；+n．
【点评】本题考查了分式的加减法：同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
23．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE＝CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【解答】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3+∠5，∠2＝∠4+∠6，∠1＝∠2
∴∠5＝∠6
∵在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有4种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
24．（6分）在不平凡的2020年新冠疫情期间，甲乙两所学校进行了抗疫捐款活动，其中甲学校共捐款18000元，乙学校共捐款20000元，已知乙学校平均每人捐款比甲学校多20元，且两学校师生人数相等，则乙学校平均每人捐款多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙学校平均每人捐款x元，则甲学校平均每人捐款（x﹣20）元，根据学校师生人数＝捐款总额÷人均捐款金额，结合两学校师生人数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙学校平均每人捐款x元，则甲学校平均每人捐款（x﹣20）元，
依题意得：＝，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：乙学校平均每人捐款200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（10分）在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB＝90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，
∠GOH＝90°，且EG＝7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB＝90°，若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为2：3，求△ABO的周长．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据正方形的性质，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）如图2，作辅助线，构建平行四边形AMEG和平行四边形BNFH，得AM＝GE，BN＝FH，由△ABM≌△BCN，可得FH＝GE＝7；
（3）根据正方形的面积和阴影部分的面积可得：空白部分的面积，因为△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，设AO＝a，BO＝b，则ab＝3，根据勾股定理得：a2+b2＝32，变形后得结论．
【解答】解：（1）AE＝BF，理由是：
如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
又∵∠CBF+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中
∵，
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴AE＝BF；
（2）如图2，过点A作AM∥GE交BC于M，过点B作BN∥FH交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMEG和四边形BNFH均为平行四边形，
∴AM＝GE，BN＝FH，
∵∠GOH＝90°，AM∥GE，BN∥FH，
∴∠AO′B＝90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，
∴AM＝BN，
∴FH＝GE＝7；
（3）如图3，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由（1）得，△ABE≌△BCF，
∴△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，均为×3＝，
设AO＝a，BO＝b，则 ab＝，即ab＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即AO+BO＝，
∴△AOB的周长为3+．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形和多边形的面积，完全平方公式的运用，本题证明△ABE≌△BCF是解题的关键．
26．（12分）【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”
【判断尝试】
在①梯形；②矩形；③菱形中，是“对直四边形”的是 ② ．（填序号）
【操作探究】
在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，请在边AD和CD上各找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长．
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若AB＝3米，AD＝1米，∠C＝45°，∠A＝∠B＝90°．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余求分割后得到的等腰三角形的腰长．
【考点】四边形综合题．
【分析】【判断尝试】直接根据“对直四边形”定义可得：矩形是“对直四边形”；
【操作探究】
①F在边AD上时，如图1，作CF⊥AD，得矩形AECF，根据勾股定理可得EF的长；
②F在边CD上时，如图2，作AF⊥CD，证明△AEF是等边三角形，可得EF的长；
【实践应用】
存在4种情况：①如图3，矩形ABED，F是DC的中点，
②如图4，∠A＝∠BFD＝90°，E是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结论；
③如图5，等腰三角形DEC和等腰三角形BEC，“对直四边形”为ABED，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质可得结论；
④如图6，等腰直角三角形ADE和等腰直角三角形AEF，“对直四边形”为DFBC，根据图形可得结论．
【解答】解：【判断尝试】
在①梯形；②矩形；③菱形中，是“对直四边形”的是②；
故答案为：②
【操作探究】
①F在边AD上时，如图1，∠AEC＝∠AFC＝90°，
Rt△ABE中，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∵AB＝BC＝2，
∴BE＝1，
∴CE＝2﹣1＝1，
∵AD∥BC，AE⊥BC，CF⊥AD，
∴AE＝CF＝＝，
∴EF＝＝2；
②F在边CD上时，如图2，AF⊥CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∵∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∵∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF＝AE＝，
故答案为：2，；
【实践应用】
①如图3，矩形ABED，F是DC的中点，
Rt△DEC中，∵∠C＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
且DE＝EC＝3，
∴DC＝3，
∴DF＝CF＝EF＝，即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为米；
②如图4，∠A＝∠BFD＝90°，E是BC的中点，
同理得△BFC是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴EF＝BE＝CE＝2，即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为2米；
③如图5，作CD和BC的垂直平分线交点E，连接DE，BE，CE，则DE＝BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠DCB＝45°，
∴∠EBC+∠ECB+∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠BED＝90°，
连接BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，且BD＝＝，
∴BE＝＝，
即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为米；
④如图6，等腰直角三角形ADE和等腰直角三角形AEF，“对直四边形”为DFBC，
∵AD＝AF＝1，
∴DF＝，
∴腰长EF＝，
即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为米．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了新定义“对直四边形”的理解、掌握和运用，同时还考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，解本题的关键是作出图形，还考查了分类讨论的数学思想．
F在边AD上时，
F在边CD上时，
EF的长为
EF的长为
F在边AD上时，
F在边CD上时，
EF的长为 2
EF的长为